高等数学（上册）

“十四五”职业教育规划教材

高等数学

(上册)

主编刘崇华杨巍

副主编关革强李建军卢国云

主审韩志刚

内容简介

本套教材根据高等数学课程的特点及高职高专教育教学的改革与发展需要而编写目的是

“”,

更好地适应高职高专院校育人的需要

。

本套教材分上下两册本书是上册内容包括函数极限与连续导数与微分导数的应用不

、,,、,,,

定积分定积分及其应用微分方程

,,。

本书通俗易懂从生活实际工程技术中选编了大量题目并配备有教案和课件便于教学适

,、,,,

合作为高职高专理工类专业高等数学课程的教材

“”。

图书在版编目CIP数据

()

高等数学上册刘崇华杨巍主编北京中国铁道

./,.—:

出版社有限公司

,2022.1

十四五职业教育规划教材

“”

ISBN978-7-113-28572-2

高刘杨高等数学高等

Ⅰ.①…Ⅱ.①…②…Ⅲ.①-

职业教育教材

-Ⅳ.①O13

中国版本图书馆数据核字第号

CIP(2021)241170

书名:高等数学上册

()

作者:刘崇华杨巍

策划:王春霞编辑部电话:

(010)63551006

责任编辑:王春霞徐盼欣

封面设计:刘颖

责任校对:安海燕

责任印制:樊启鹏

出版发行:中国铁道出版社有限公司北京市西城区右安门西街号

(100054,8)

网址:

/51eds/

印刷:三河市宏盛印务有限公司

版次:年月第版年月第次印刷

202211202211

开本:印张:字数:千

850mm×1168mm1/1611258

书号:

ISBN9787113285722

定价:元

32.00

版权所有侵权必究

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,,。:(010)63550836

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:(010)63549461

前言

为了适应高职高专教育教学的改革与发展,满足高职高专各专业对数学的基本要

求,我们在总结了多年教学实践经验的基础上,结合“高等数学”课程的特点,编写了这套

《高等数学》教材。

本套教材编写的主要指导思想是:

()以课程思政为导向。教材融入了我国数学家的一些事例,从我国科学技术、工程

1

建设成就中取材,改编成数学案例。这些案例对于了解国情,培养民族自豪感、爱国主义

精神,可以起到积极的作用。

()内容精简,遵循“以必需、够用为度”的原则。本书对传统高等数学的内容进行了

2

精心整合,在适度保持数学自身的系统性与逻辑性的同时,淡化理论的证明或推导,代

之以直观的图形、具体的数据、现实的背景进行讲解,使学生易于理解和应用。同时,根

据高职高专学生的基础现状,精心设计了例题和习题,例题与习题配置比例适当;例题

与知识点对应,习题与例题对应;依循序渐进的原则设置,淡化计算的复杂度和技巧,以

便于教学。

()加强教学内容与实际生产与生活的联系、突出应用。注重从实际问题引入教学,

3

揭示数学源于实践、应用于实践的思路与方法。教材中选编了大量包含生活、社会、工程

技术等领域背景的应用案例,不仅能加深学生对数学概念、方法的理解,也有利于培养

学生的创新思维和创新精神。

()融入数学建模思想,设立数学实验的内容。本教材尝试将数学建模思想和方法

4

融入应用案例中,以提高学生的建模意识和能力。为了激发学生的学习兴趣,提高使用

计算机解决数学问题的意识和能力,本书还在附录中介绍了利用软件进行数

MATLAB

学实验的相关内容。

()注意与初等数学的衔接。编写本教材的过程中,我们对初等数学,尤其是高中数

5

学的教学内容做了研究,充分考虑到了高职高专学生的数学基础,较好地处理了高等数

学与初等数学的衔接。

()每章附有思维导图,便于师生对本章内容的结构与要点进行掌握。

6

()加强数学与专业的适应性。本教材配套有教案或课件,编制了与化工类专业、机

7

械类专业、医药类专业、电子类专业相对应的内容,供教师在教学中使用,可向编者索取

(或从中国铁道出版社有限公司:///

2193746589@http

/下载)。

51eds

高等数学上册

Ⅱ()

本套教材分上、下两册。上册主要内容包括函数、极限与连续,导数与微分,导数的

应用,不定积分,定积分及其应用,微分方程,设计的教学时间为学时左右;下册主要

60

内容包括空间解析几何与向量代数、多元函数微积分、级数与拉普拉斯变换、线性代数、

概率与统计,可根据专业情况确定选学内容。本书为上册。

本套教材由刘崇华、杨巍任主编,关革强、李建军、卢国云任副主编。其中,上册教材

第章由杨巍主要编写,第章由刘崇华主要编写;下册教材第章由杨巍编

1~34~67~10

写,第章由刘崇华编写;上册数学实验由刘崇华编写,下册数学实验由杨巍编写;

11~13

李建军参与第章编写,卢国云参与第章编写,关革强参与第章编写,李学明参与

146

第章编写,朱俊丽参与第章编写。

711

本套教材由韩志刚教授主审。在编写本套教材过程中,周秋民、吴莉莎、梁雪珍、

陈芝君提出了有益建议,在此表示感谢!

由于编者水平有限,教材中疏漏及不妥之处在所难免,敬请广大读者批评指正。

编者

年月

20218

目录

第1章函数、极限与连续………………1

函数的概念和性质…………

§1.11

一、函数的概念………………

1

二、函数的几种性质…………

4

三、初等函数…………………

6

习题………………

1.110

极限及其运算………………

§1.212

一、数列的极限……………

12

二、函数的极限……………

14

三、极限的运算法则………

16

四、两个重要的极限………

17

习题………………

1.219

无穷小与无穷大……………

§1.319

一、无穷小定义……………

19

二、无穷大定义……………

20

三、无穷大与无穷小的关系………………

20

四、无穷小的性质…………

20

五、无穷小的比较…………

21

习题………………

1.321

函数的连续性………………

§1.422

一、函数的连续性概述……………………

22

二、闭区间上连续函数的性质……………

24

习题………………

1.425

函数关系建立与数学建模………………

§1.526

一、函数关系的建立………

26

二、一元线性回归方程的建立……………

27

三、数学模型、数学建模与简介……………

CUMCM28

习题………………

1.530

高等数学上册

Ⅱ()

第章思维导图……………………

132

复习题………………

133

第2章导数与微分……………………35

导数的概念…………………

§2.135

一、变化率问题举例………

35

二、导数的定义和求导数举例……………

36

三、导数的实际意义举例…………………

39

四、导数的几何意义………

39

五、可导与连续的关系……………………

40

习题………………

2.140

函数的求导法则……………

§2.241

一、导数的四则运算法则…………………

41

二、反函数的求导法则……………………

42

三、基本初等函数的求导公式……………

43

四、复合函数的求导法则———链式法则………………

43

习题………………

2.245

隐函数的导数………………

§2.346

一、隐函数的导数…………

46

二、对数求导法……………

46

习题………………

2.347

高阶导数……………………

§2.448

习题………………

2.448

函数的微分…………………

§2.549

一、微分的定义……………

49

二、微分的几何意义………

50

三、微分的基本公式与运算法则…………

50

四、微分在近似计算中的应用……………

52

习题………………

2.553

第章思维导图……………………

254

复习题………………

255

第3章导数的应用……………………56

洛必达法则…………………

§3.156

一、0型与∞型未定式……………………

56

0∞

目录

Ⅲ

二、其他类型的未定式……………………

58

习题………………

3.159

函数的单调性与曲线的凹凸性…………

§3.259

一、函数的单调性…………

59

二、曲线的凹凸性和拐点…………………

61

习题………………

3.262

曲线的弯曲程度曲率………………

§3.3———63

一、曲率的概念……………

63

二、曲率的计算公式………

64

三、曲率圆……………………

65

习题………………

3.366

函数的极值与最值…………

§3.466

一、函数的极值……………

66

二、函数的最值……………

68

习题………………

3.470

蜂房的极值问题……………

§3.571

习题………………

3.574

第章思维导图……………………

375

复习题………………

376

第4章不定积分………………………78

不定积分的概念与性质…………………

§4.178

一、原函数与不定积分的概念……………

78

二、基本积分公式…………

80

三、不定积分的性质………

80

四、直接积分法……………

81

习题………………

4.182

换元积分法…………………

§4.282

一、第一类换元法凑微分法……………

()83

二、第二类换元法…………

86

习题………………

4.288

分部积分法…………………

§4.389

习题………………

4.392

简易积分表的使用…………

§4.492

一、在积分表直接查到……………………

92

高等数学上册

Ⅳ()

二、先进行变量代换,再查表……………

93

三、用递推公式……………

93

习题………………

4.494

第章思维导图……………………

495

复习题………………

496

第5章定积分及其应用………………98

定积分的概念与性质………

§5.198

一、引例………………………

98

二、定积分的定义…………

100

三、定积分的几何意义……………………

101

四、定积分的性质…………

102

习题……………

5.1104

定积分的计算……………

§5.2104

一、微积分基本公式牛顿莱布尼茨公式…………

()104

二、定积分的换元积分法和分部积分法………………

106

习题……………

5.2108

无限区间上的广义积分…………………

§5.3109

习题……………

5.3110

定积分的应用……………

§5.4110

一、定积分的微元法………

110

二、定积分在几何上的应用……………

112

三、定积分在物理上的应用……………

115

习题……………

5.4118

第章思维导图…………………

5120

复习题……………

5121

第6章微分方程………………………122

微分方程的基本概念……………………

§6.1122

习题……………

6.1123

一阶微分方程……………

§6.2124

一、可分离变量的微分方程……………

124

二、一阶线性微分方程……………………

125

习题……………

6.2126

二阶微分方程……………

§6.3127

目录

Ⅴ

一、可降阶的二阶微分方程……………

127

二、二阶线性微分方程……………………

128

习题……………

6.3130

微分方程应用举例………

§6.4131

习题……………

6.4133

第章思维导图…………………

6134

复习题……………

6135

附录A常用初等数学公式……………136

附录B简易积分表……………………138

附录C数学实验………………………147

附录D习题参考答案…………………153

参考文献…………………164

第1章

函数、极限与连续

数学是研究现实世界数量关系与空间形式的科学

.

———恩格斯

函数是高等数学研究的主要对象极限是研究函数变化趋势的工具连续是描述函数变化特

,,

性的一个概念它们都是高等数学的基础本章在中学数学基础上介绍函数的概念图像和性质

,.、,

函数关系的建立介绍极限概念及其运算讨论函数连续性概念和连续函数的性质为学习微积

;;,

分打下基础

.

§1.1函数的概念和性质

一、函数的概念

在客观世界中事物具有各种各样量的属性如事物的大小范围程度等这些属性在某

,“”,、、,

种尺度标准下是可以度量的度量的结果为用语言或文字符号表示的数量随事物的运动变化

“”