高考数学总复习 第二章第2课时 函数的单调性与最值课时闯关（含解析）

第二章第2课时函数的单调性与最值课时闯关（含答案解析）一、选择题1．(2012·郑州质检)函数y＝1－eq\f(1,x－1)()A．在(－1，＋∞)上单调递增B．在(－1，＋∞)上单调递减C．在(1，＋∞)上单调递增D．在(1，＋∞)上单调递减答案：C2．若函数f(x)＝ax＋1在R上递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的增区间是()A．(2，＋∞) B．(－∞，2)C．(－2，＋∞) D．(－∞，－2)答案：B3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x，x≥0，,4x－x2，x＜0.))若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选C.由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f(2－a2)＞f(a)得2－a2＞a，即a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1.4．已知函数y＝f(x)满足：f(－2)＞f(－1)，f(－1)＜f(0)，则下列结论正确的是()A．函数y＝f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，在区间[－1,0]上单调递增B．函数y＝f(x)在区间[－2，－1]上单调递增，在区间[－1,0]上单调递减C．函数y＝f(x)在区间[－2,0]上的最小值是f(－1)D．以上的三个结论都不正确解析：选D.仅由几个函数值的大小关系无法确定函数的单调性，可以举反例说明．5．若f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(axx≥1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)))x＋2x＜1))是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞) B．[4,8)C．(4,8) D．(1,8)解析：选B.函数f(x)在(－∞，1)和[1，＋∞)上都为增函数，且f(x)在(－∞，1)上的最高点不高于其在[1，＋∞)上的最低点，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞1,4－\f(a,2)＞0,a≥4－\f(a,2)＋2))，解得a∈[4,8)，故选B.二、填空题6．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|，|x|≥1，,x，|x|＜1，))则f(x)的值域为________.解析：当|x|＜1时，－1＜f(x)＜1；当|x|≥1时，f(x)≥1.综上知：值域为(－1，＋∞)．答案：(－1，＋∞)7．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．解析：y＝－(x－3)|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋3x，x＞0，,x2－3x，x≤0.))作出该函数的图象，观察图象知递增区间为[0，eq\f(3,2)]．答案：[0，eq\f(3,2)]8．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是________．解析：(1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；(2)当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－eq\f(1,a)，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a＜0，且－eq\f(1,a)≥4，解得－eq\f(1,4)≤a＜0.综上所述－eq\f(1,4)≤a≤0.答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))三、解答题9．求函数f(x)＝2x2＋(x－1)|x－1|的最小值．解：当x≥1时，f(x)＝2x2＋(x－1)(x－1)＝3x2－2x＋1＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)))2＋eq\f(2,3)，故x＝1时，取最小值2.当x＜1时，f(x)＝2x2－(x－1)(x－1)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，故x＝－1时，取到最小值－2.综上所述，f(x)的最小值为－2.10．已知函数f(x)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,x)(a>0，x>0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f(x)在[eq\f(1,2)，2]上的值域是[eq\f(1,2)，2]，求a的值．解：(1)证明：设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0.∵f(x2)－f(x1)＝(eq\f(1,a)－eq\f(1,x2))－(eq\f(1,a)－eq\f(1,x1))＝eq\f(1,x1)－eq\f(1,x2)＝eq\f(x2－x1,x1x2)>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的．(2)∵f(x)在[eq\f(1,2)，2]上的值域是[eq\f(1,2)，2]，又f(x)在[eq\f(1,2)，2]上单调递增，∴f(eq\f(1,2))＝eq\f(1,2)，f(2)＝2，易得a＝eq\f(2,5).11．(2012·贵阳质检)已知f(x)＝eq\f(x,x－a)(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．解：(1)证明：任设x1＜x2＜－2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x1＋2)－eq\f(x2,x2＋2)＝eq\f(2x1－x2,x1＋2x2＋2).∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)任设1＜x1＜x2，则f(x1)