初中数学课题教学妙招设计

第第页初中数学课题教学妙招设计中学数学课题教学妙招设计1

《正弦和余弦(二)》

一、素养教育目标

(一)知识教学点

使同学了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系.

(二)技能训练点

逐步培育同学观测、比较、分析、综合、抽象、概括的规律思维技能.

(三)德育渗透点

培育同学独立思索、勇于创新的精神.

二、教学重点、难点

1.重点：使同学了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系并会应用.

2.难点：一个锐角的正弦(余弦)与它的余角的余弦(正弦)之间的关系的应用.

三、教学步骤

(一)明确目标

1.复习提问

(1)、什么是∠A的正弦、什么是∠A的余弦，结合图形请同学回答.由于正弦、余弦的概念是讨论本课内容的知识基础，请中下同学回答，从中可以了解教学班还有多少人不清晰的，可以采用适当的补救措施.

(2)请同学们回忆30°、45°、60°角的正、余弦值(老师板书).

(3)请同学们观测，从中发觉什么特征?同学肯定会回答“sin30°=cos60°，sin45°=cos45°，sin60°=cos30°，这三个角的正弦值等于它们余角的余弦值”.

2.导入新课

依据这一特征，同学们可能会猜想“一个锐角的正弦(余弦)值等于它的余角的余弦(正弦)值.”这是否是真命题呢?引出课题.

(二)、整体感知

关于锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系，是通过30°、45°、60°角的正弦、余弦值之间的关系引入的，然后加以证明.引入这两个关系式是为了便于查“正弦和余弦表”，关系式虽然用黑体字并加以文字语言的证明，但不标明是定理，其证明也不要求同学理解，更不应要求同学利用这两个关系式去推证其他三角恒等式.在本章，这两个关系式的用处仅仅限于查表和计算，而不是证明.

(三)重点、难点的学习和目标完成过程

1.通过复习非常角的三角函数值，引导同学观测，并猜想“任一锐角的正弦(余弦)值等于它的余角的余弦(正弦)值吗?”提出问题，激发同学的学习热忱，使同学的思维积极活跃.

2.这时少数反应快的同学可能头脑中已经“画”出了图形，并有了思路，但对部分同学来说仍思路凌乱.因此老师应进一步引导：sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A)(A是锐角)成立吗?这时，同学结合正、余弦的概念，完全可以自己解决，老师要给同学足够的讨论解决问题的时间，以培育同学规律思维技能及独立思索、勇于创新的精神.

3.老师板书：

任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.

sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A).

4.在学习了正、余弦概念的基础上，同学了解以上内容并不困难，但是，由于同学初次接触三角函数，还不娴熟，而定理又涉及余角、余函数，使同学极易混淆.因此，定理的应用对同学来说是难点、在给出定理后，需加以巩固.

已知∠A和∠B都是锐角，

(1)把cos(90°-A)写成∠A的正弦.

(2)把sin(90°-A)写成∠A的余弦.

这一练习只能起到巩固定理的作用.为了运用定理，教材安排了例3.

(2)已知sin35°=0.5736，求cos55°;

(3)已知cos47°6′=0.6807，求sin42°54′.

(1)问比较简约，对比定理，同学马上可以回答.(2)、(3)比(1)那么更深一步，由于(1)明确指出∠B与∠A互余，(2)、(3)让同学自己发觉35°与55°的角，47°6′分42°54′的角互余，从而依据定理得出答案，因此(2)、(3)问在课堂上应当请基础好一些的同学讲清思维过程，便于全体同学掌控，在三个问题处理完之后，将题目变形：

(2)已知sin35°=0.5736，那么cos______=0.5736.

(3)cos47°6′=0.6807，那么sin______=0.6807，以培育同学思维技能.

为了协作例3的教学，教材中配备了练习题2.

(2)已知sin67°18′=0.9225，求cos22°42′;

(3)已知cos4°24′=0.9971，求sin85°36′.

同学独立完成练习2，就说明定理的教学较胜利，同学基本会运用.

教材中3的设置，事实上是对前二节课内容的综合运用，既考察同学正、余弦概念的掌控程度，同时又对本课知识加以巩固练习，因此例3的安排恰到好处.同时，做例3也为下一节查正余弦表做了预备.

(四)小结与扩展

1.请同学做知识小结，使同学对所学内容进行归纳总结，将所学内容变成自己知识的组成部分.

2.本节课我们由非常角的正弦(余弦)和它的余角的余弦(正弦)值间关系，以及正弦、余弦的概念得出的结论：任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.

四、布置作业、

中学数学课题教学妙招设计2

正弦和余弦》

一、素养教育目标

(一)知识教学点

使同学知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实.

(二)技能训练点

逐步培育同学会观测、比较、分析、概括等规律思维技能.

(三)德育渗透点

引导同学探究、发觉，以培育同学独立思索、勇于创新的精神和良好的学习习惯.

二、教学重点、难点

1.重点：使同学知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实.

2.难点：同学很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于老师引导同学比较、分析，得出结论.

三、教学步骤

(一)明确目标

1.如图6-1，长5米的梯子架在高为3米的墙上，那么A、B间距离为多少米?

2.长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上，那么A、B间的距离为多少?

3.假设长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，那么A、B间距离为多少?

4.假设长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，那么倾斜角∠CAB为多少度?

前两个问题同学很简单回答.这两个问题的设计主要是引起同学的回忆，并使同学意识到，本章要用到这些知识.但后两个问题的设计却使同学感到迷惑，这对初三班级这些新奇、好胜的同学来说，起到激起同学的学习爱好的作用.同时使同学对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来.

通过四个例子引出课题.

(二)整体感知

1.请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值.

同学很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值.程度较好的同学还会想到，以后在这些非常直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长.

2.请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，同学又兴奋地发觉，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的.大部分同学可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗?

这样做，在培育同学动手技能的同时，也使同学对本节课要讨论的知识有了整体感知，唤起同学的求知欲，大胆地探究新知.

(三)重点、难点的学习与目标完成过程

1.通过动手试验，同学会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”.但是怎样证明这个命题呢?同学这时的思维很活跃.对于这个问题，部分同学可能能解决它.因此老师此时应让同学开展争论，独立完成.

2.同学经过讨论，或许能解决这个问题.假设不能解决，老师可适当引导：

假设一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其

顶点A1，A2，A3重合在一起，记作A，并使直角边AC1，AC2，AC3……落在同一条直线上，那么斜边AB1，AB2，AB3……落在另一条直线上.这样同学们能解决这个问题吗?引导同学独立证明：易知，B1C1∥B2C2∥B3C3……，∴△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽……，∴

形中，∠A的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值.

通过引导，使同学自己独立掌控了重点，达到知识教学目标，同时培育同学技能，进行了德育渗透.

而前面导课中动手试验的设计，事实上为突破难点而设计.这一设计同时起到培育同学思维技能的作用.

练习题为作了孕伏同时使同学知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来.

(四)总结与扩展

1.引导同学作知识总结：本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手试验、证明，我们发觉，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的.

老师可适当补充：本节课经过同学们自己动手试验，大胆猜想和积极思索，我们发觉了一个新的结论，相信大家的规律思维技能又有所提高，盼望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发觉问题，培育自己的创新意识.

2.扩展：当锐角为30°时，它的对边与斜边比值我们知道.今日我们又发觉，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的.假如知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了.看来这个比值很重要，下节课我们就着重讨论这个“比值”，有爱好的同学可以提前预习一下.通过这种扩展，不仅对正、余弦概念有了初步印象，同时又激发了同学的爱好.

四、布置作业

本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求同学预习正余弦概念.

五、板书设计

中学数学课题教学妙招设计3

《角平分线的性质》

(一)创设情境导入新课

不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么方法?

假如前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢?

设计目的：能聚集同学的思维为新课的开展制造了良好的教学氛围。

(二)合作沟通探究新知

(活动一)探究角平分仪的原理。详细过程如下：

播放奥巴马访问我国的录像资料引出雨伞观测它的截面图，使同学认清其中的边角关系引出角平分线;并且运用几何画板对伞的开合进行动态演示，让同学直观感受伞面形成的角与主杆的关系让同学设计制作角平分仪;并利用以前所学的知识查找理论上的依据，说明这个仪器的制作原理。

设计目的：用生活中的实例感知。以最近大事作引入点，以最常见的事物为载体，让同学感受到生活中到处都有数学，认识到数学的价值。其中设计制作角平分仪，可培育同学的制造力和成就感以及学习数学的爱好。使同学很轻松的完成活动二。

(活动二)通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法.自己动手做做看.然后与同伴沟通操作心得.

分小组完成这项活动，老师可参加到同学活动中，实时发觉问题，予以启发和指导，使讲评更具有针对性。

争论结果展示：老师依据同学的表达，利用多媒体课件演示作已知角的平分线的方法：

已知：∠AOB.

求作：∠AOB的平分线.

作法：

(1)以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N.

(2)分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C.

(3)作射线OC，射线OC即为所求.

设计目的：使同学能更直观地理解画法，提高学习数学的爱好。

议一议：

1.在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗?

2.第二步中所作的两弧交点肯定在∠AOB的内部吗?

设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培育数学严密性的良好学习习惯。

同学争论结果总结：

1.去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线.

2.假设分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否那么两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了.

3.角的平分线是一条射线.它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可.

4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.

(活动三)探究角平分线的性质

思索：已知一角及其角平分线添加帮助线构成全等三角形;构成全等的直角三角形。这样的三角形有多少对?

这样设计的目的是加深对全等的认识。

中学数学课题教学妙招设计4

一、教材分析：

反比例函数的图象与性质是对正比例函数图象与性质的复习和对比，也是以后学习二次函数的基础。本课时的学习是同学对函数的图象与性质一个再知的过程，由于初二同学是首次接触双曲线这种函数图象，所以教学时应留意引导同学抓住反比例函数图象的特征，让同学对反比例函数有一个形象和直观的认识。

二、教学目标分析

依据二期课改“以同学为主体，激活课堂气氛，充分调动起同学参加教学过程”的精神。在教学设计上，我设想通过运用多媒体课件创设情境，在掌控反比例函数相关知识的同时激发同学的学习爱好和探究欲望，引导同学积极参加和主动探究。

因此把教学目标确定为：1.掌控反比例函数的概念，能够依据已知条件求出反比例函数的解析式;学会用描点法画出反比例函数的图象;掌控图象的特征以及由函数图象得到的函数性质。2.在教学过程中引导同学自主探究、思索及想象，从而培育同学观测、分析、归纳的综合技能。3.通过学习培育同学积极参加和勇于探究的精神。

三、教学重点难点分析

本堂课的重点是掌控反比例函数的定义、图象特征以及函数的性质;

难点那么是如何抓住特征精确画出反比例函数的图象。

为了突出重点、突破难点。我设计并制作了能动态演示函数图象的多媒体课件。让同学亲自操作，积极参加并主动探究函数性质，援助同学直观地理解反比例函数的性质。

四、教学方法

鉴于教材特点及初二同学的年龄特点、心理特征和认知水平，设想采纳问题教学法

和对比教学法，用层层推动的提问启发同学深入思索，主动探究，主动猎取知识。同时留意与同学已有知识的联系，减削同学对新概念接受的困难，给同学充分的自主探究时间。通过老师的引导，启发调动同学的积极性，让同学在课堂上多活动、多观测，主动参加到整个教学活动中来，组织同学参加“探究——争论——沟通——总结”的学习活动过程，同时在教学中，还充分利用多媒体教学，通过演示，操作，观测，练习等师生的共同活动中启发同学，让每个同学动手、动口、动眼、动脑，培育同学直觉思维技能。

五、学法指导

本堂课立足于同学的“学”，要求同学多动手，多观测，从而可以援助同学形成分析、

对比、归纳的思想方法。在对比和争论中让同学在“做中学”，提高同学利用已学知识去主动猎取新知识的技能。因此在课堂上要采纳积极引导同学主动参加，合作沟通的方法组织教学，使同学真正成为教学的主体，体会参加的乐趣，胜利的喜悦，感知数学的奇异。

六、教学过程

(一)复习引入——反函数解析式

练习1：写出以下各题的关系式：

(1)正方形的周长C和它的一边的长a之间的关系

(2)运动会的田径竞赛中，运动员小王的平均速度是8米/秒，他所跑过的路程s和所用时间t之间的关系

(3)矩形的面积为10时，它的长*和宽y之间的关系

(4)王师傅要生产100个零件，他的工作效率*和工作时间t之间的关系

问题1：请大家判断一下，在我们写出来的这些关系式中哪些是正比例函数?

问题1主要是复习正比例函数的定义，为后面同学运用对比的方法给出反比例函数的定义打下基础。

问题2：那么请大家再认真观测一下，其余两个函数关系式有什么共同点吗?

通过问题2来引出反比例函数的解析式，请同学对比正比例函数的定

义来给出反比例函数的定义，这不仅有助于对旧知识的复习和巩固，同时还可以培育同学的对比和探究技能。

例题1：已知变量y与*成反比例，且当*=2时，y=9

(1)写出y与*之间的函数解析式

(2)当*=3.5时，求y的值

(3)当y=5时，求*的值

通过对例1的学习使同学掌控如何依据已知条件来求出反比例函数的解析式。在

解题过程中，引导同学运用在求正比例函数的解析式时用到的“待定系数法”，先设反比例函数为，再把相应的*，y值代入求出k，k值的确定，函数解析式也就确定了。

课堂练习：已知*与y成反比例，依据以下条件，求出y与*之间的函数关系式

(1)*=2，y=3(2)*=,y=

通过此题，对同学掌控如何依据已知条件去求反比例函数的解析式的学习状况做一个简约的反馈。

(二)探究学习1——函数图象的画法

问题3：如何画出正比例函数的图象?

通过问题3来复习正比例函数图象的画法主要分为列表、描点、连线三个步骤，为学习反比例函数图像的画法打下基础。

问题4：那反比例函数的图象应当怎样去画呢?

在教学过程中可以引导同学仿照正比例函数图象的的画法。

设想的教学设计是：

(1)引导同学运用在画正比例函数图象中所学到的方法，分小组争论尝试，采纳列表、描点、连线的方法画出函数和的图象;

(2)老师边巡察，边指导，用实物投影仪反映一些同学在函数图象中涌现的典型错误，和同学一起找出错误的地方，分析缘由;

(3)随后老师在黑板上演示画好反比例函数图像的步骤，展示正确的函数图象，引导同学观测其图象特征(双曲线有两个分支)。

初二同学是首次接触到双曲线这种比较非常函数图象，设想同学可能会在下面几个环节中出错：

(1)在“列表”这一环节

在取点时同学可能会取零，在这里可以引导同学结合代数的方法得出*不能为零。也可能由于在取点时的不恰当，导致函数图象的不完整、不对称。在这里应当要指导同学在列表时，自变量*的取值可以选取绝对值相等而符号相反的数，相应的就得到绝对相等而符号相反的对应的函数值，这样可以简化计算的手续，又便于在坐标平面内找到点。

(2)在“连线”这一环节

同学画的点与点之间连线可能会有端点，未能用光滑的线条连接。因而在这里要特别要强调在将所选取的点连结时，应当是“光滑曲线”，为以后学习二次函数的图像打下基础。为了使函数图象清楚明显，可以引导同学留意尽量选取较多的自变量*的值和对应的函数值y，以便在坐标平面内得到较多的“点”，画出曲线。

从而引导同学画出正确的函数图象。

(3)图象与*轴或y轴相交

在这里我认为可以埋下一个伏笔，给同学留下一个悬念，为后面学习函数的性质打下基础。

需要说明的是：利用多媒体课件学习能吸引同学的留意力，引起同学进一步学习的爱好。不过，尽管多媒体的演示既快又精确，我认为在同学第学画反比例函数图象的过程中，老师还是应当在黑板上仔细示范画出图象的每一个步骤，究竟多媒体还是不能替代我们平常老师在黑板上板书。

巩固练习：画出函数和的图象

通过巩固练习，让同学再次动手画出函数图象，改正在初次画图象时涌现在一些问题。老师运用函数图象的课件，用屏幕显示的函数图象验证同学画出的函数图象的精确性。

(三)探究学习2——函数图象性质

1、图象的分布状况

问题5：请大家回忆一下正比例函数的分布状况是怎么样的呢?

提出问题5主要是起到巩固复习，为引导同学学习反比例函数图象的分布状况打下基础。

问题6：观测刚才所画的图象我们发觉反比例函数的图象有两个分支，那么它的分布状况又是怎么样的呢?

在这一环节中的设计：

(1)引导同学对比正比例函数图象的分布，启发他们主动探究反比例函数的分布状况，给同学充分考虑的时间;

(2)充分运用多媒体的优势进行教学，运用函数图象的课件试着任意输入几个k的值，观测函数图象的不同分布，观测函数图象的动态演化过程。把不同的函数图象集中到一个屏幕中，便于同学对比和探究。同学通过观测及对比，对反比例函数图象的分布与k的关系有一个直观的了解;

(3)组织小组争论来归纳出反比例函数的一条性质：当k0时，函数图象的两支分别在第一、三象限内;当k0时，函数图象的两支分别在第二、四象限内。

2、图象的改变状况

问题7：正比例函数图象的改变状况是怎么样的呢?

提出问题7主要是起到巩固复习，为引导同学学习反比例函数图象的改变状况打下基础。

问题8：那反比例函数的图象，是否也具有这样的性质呢?

在这一环节的教学设计是：

(1)回顾反比例函数和的图象，通过实际观测;

(2)依据解析式对_进行取值，比较*在取不同值时函数值的改变状况;

(3)电脑演示及同学小组争论，请同学给出结论。即这个问题需要分成两种状况争论即当k0时，自变量*渐渐增大时，y的值那么随着渐渐减小;当k0时，自变量*渐渐增大时，y的值也随着渐渐增大。

(4)对于同学做出的结论，老师应当要予以确定，同时可以提出：有没有同学需要补充的呢?假设没有，那么可以举例：当k0，分别比较在第三象限*=-2，第一象限*=2时的y的值的大小，那么以上性质是否依旧成立?同学的回答应当是：不成立。这时老师再请同学做小结：需要限定在每一个象限内，才有以上性质成立。

问题9：当函数图象的两个分支无限延伸时，它与*轴、y轴相交吗?为什么?

在这个环节中，可以结合刚才同学所画的错误图象，引导同学可以通过代数的方法分析反比例函数的解析式，由分母不能为零，得*不能为零。由k≠0，得y必不为零，从而验证了反比例函数的图象。当两个分支无限延伸时，可以无限地迫近*轴、y轴，但永久不会与两轴相交。随即强调画图时要留意精确性。

(四)备用思索题

1、反比例函数的图象在第一、三象限，求a的取值范围

2、

(1)当m为何值时，y是*的正比例函数

(2)当m为何值时，y是*的反比例函数

(五)小结：

中学数学课题教学妙招设计5

一、教材分析

(一)教材地位

这节课是九年制义务教育初级中学教材北师大版七班级第二章第一节《探究勾股定理》第一课时，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的进展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。同学通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

(二)教学目标

知识与技能：掌控勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简约实际问题.

过程与方法：经受探究及验证勾股定理的过程,了解利用拼图验证勾股定理的方法，进展同学的合情推理意识、主动探究的习惯，感受数形结合和从非常到一般的思想.

情感立场与价值观：激发同学爱国热忱，让同学体验自己努力得到结论的成就感，体验数学充斥探究和制造，体验数学的美感,从而了解数学,喜爱数学.

(三)教学重点：经受探究及验证勾股定理的过程，并能用它来解决一些简约的实际问题。

教学难点：用面积法(拼图法)发觉勾股定理。

突出重点、突破难点的方法：发挥同学的主体作用,通过同学动手试验，让同学在试验中探究、在探究中领悟、在领悟中理解.

二、教法与学法分析：

学情分析:七班级同学已经具备肯定的观测、归纳、猜想和推理的技能.他们在学校已学习了一些几何图形的面积计算方法(包括割补、拼接),但运用面积法和割补思想来解决问题的意识和技能还不够.另外，同学普遍学习积极性较高，课堂活动参加较主动，但合作沟通的技能还有待加强.

教法分析:结合七班级同学和本节教材的特点,在教学中采纳“问题情境建立模型说明应用拓展巩固”的模式,选择引导探究法。把教学过程转化为同学亲身观测，大胆猜想，自主探究，合作沟通，归纳总结的过程。

学法分析:在老师的组织引导下，同学采纳自主探究合作沟通的研讨式学习方式,使同学真正成为学习的主人.

三、教学过程设计1.创设情境，提出问题2.试验操作，模型构建3.回来生活，应用新知

4.知识拓展，巩固深化5.感悟收获，布置作业

(一)创设情境提出问题

(1)图片观赏勾股定理数形图1955年希腊发行漂亮的勾股树2022年国际数学的一枚纪念邮票大会会标设计意图:通过图形观赏,感受数学美,感受勾股定理的文化价值.

(2)某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，假如梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队员能否进入三楼灭火?