1.5 三角函数的应用 北师大版九年级数学下册导学课件

5三角函数的应用第一章直角三角形的边角关系逐点学练本节小结作业提升学习目标本节要点1学习流程2利用特殊角解直角三角形解决实际问题知识点感悟新知1利用特殊角解直角三角形解决实际问题1.常见的特殊角特别提醒1.解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.2.实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形中或转化到直角三角形中，注意确定水平线.3.物体的倾斜程度通常可用物体的坡度表示，坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越缓.感悟新知(1)方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的角，一般以“北偏…”“南偏…”的形式出现；(2)仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可简记为“上仰下俯”.(3)坡角是坡面与水平面的夹角，坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也就越大.感悟新知2.利用特殊角解直角三角形解决问题的步骤(1)审题，弄清特殊角的类型，将实际问题抽象为数学问题；(2)认真分析题意，画出平面图形，转化为解直角三角形问题；(3)结合特殊角，选用适当的锐角三角函数解直角三角形；(4)按照题目中的要求取值.感悟新知为了维护海洋权益，我国加大了在某海域的巡逻力度.一天，两艘海警船刚好在某岛东西海岸线上的A，B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域.如图1-5-1，AB=60(+)海里，在B

处测得C

在北偏东45°的方向上，在A

处测得C

在北偏西30°的方向上，在海岸线AB

上有一灯塔D，测得AD=120(－)海里.例1感悟新知解题秘方：建立数学模型后，用“化斜为直法”将斜三角形问题转化为解直角三角形问题求解.感悟新知(1)分别求出A

与C

及B

与C的距离AC，BC(结果保留根号).解：如图1-5-1，过点C

作CE⊥AB

于点E，可得∠

ACE=30°，∠BCE=45°.感悟新知设AE=x

海里，则在Rt△ACE

中，CE=x

海里，AC=2x

海里，在Rt△BCE中，BE=CE=x

海里，BC=x

海里.∵AB=AE+BE，∴x+x=60(+)，解得x=60，∴AC=120海里，BC=120海里.感悟新知(2)已知在灯塔D

周围100海里范围内有暗礁群，在A处的海警船沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)？感悟新知解：如图1-5-1，过点D

作DF⊥AC于点F，由题可知∠

DAF=60°.在Rt△AFD中，DF=AD·sin60°=

AD，∴DF=×120(－)=60(3－)≈106.8(海里)>100海里，∴途中无触礁的危险.感悟新知1-1.[中考·安徽]如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B

均在C

的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90m至观测点D，测得A

在D

的正北方向，B

在D

的北偏西53°方向上．求A，B

两点间的距离.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)感悟新知感悟新知感悟新知如图1-5-2，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD

的高度，先在教学楼的底端A

处，观测到旗杆顶端C

的仰角∠CAD=60°，然后爬到教学楼上的B

处，观测到旗杆底端D

的俯角是30°，已知教学楼AB

高4m.例2感悟新知解题秘方：将实际问题转化为解直角三角形问题求解.感悟新知(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD(结果保留根号)；解：∵在教学楼B

处观测旗杆底端D

的俯角是30°，∴∠ADB=30°.在Rt△ABD

中，∵∠BAD=90°，∠ADB=30°，AB=4m，

即教学楼与旗杆的水平距离AD是4m.感悟新知(2)求旗杆CD

的高度.解：在Rt△ACD

中，∵∠ADC=90°，∠

CAD=60°，AD=4m，∴CD=AD·tan60°=4×=12(m).即旗杆CD

的高度是12m.感悟新知2-1.[中考·宿迁]如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°.已知教学楼AB

的高度为20m，求信号塔的高度.(计算结果保留根号)感悟新知感悟新知感悟新知如图1-5-3，李明在大楼30m高(即PH=30m)的窗口P

处进行观测，测得山坡上A

处的俯角为15°，山脚B

处的俯角为60°.已知该山坡的坡度i

为1∶，点P，H，B，C，A在同一个平面内，点H，B，C

在同一条直线上，且PH⊥HC.例3感悟新知解题秘方：将分散的条件集中到△ABP中求解.感悟新知(1)山坡坡角的度数等于_______

°；30感悟新知(2)求A，B

两点间的距离(结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732).解：由题意，得∠PBH=60°，∠APB=60°－15°=45°.∵∠ABC=30°，∴∠

ABP=90°，∴∠BAP=45°，∴PB=AB.感悟新知在Rt△PHB中，∴AB=PB=20≈34.6m.∴A，B两点间的距离约为34.6m.感悟新知3-1.[中考·益阳]沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH=12米，斜坡CD的坡度i=1∶1.此处大堤的正上方有高压线穿过，PD

表示高压线上的点与堤面AD

的最近距离(P，D，H

在同一直线上)，在点C处测得∠

DCP=26°.感悟新知(1)求斜坡CD的坡角α.感悟新知(2)电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，