北京邮电大学 计算机学院 高等数学 D10级数习题课20131

习题课级数的收敛、求和与展开三、幂级数和函数的求法四、函数的幂级数和付式级数展开法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法第十章求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数)时,时为数项级数;时为幂级数;当一、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限3.任意项级数审敛法(柯西审敛原理)为收敛级数Leibniz判别法:若且则交错级数收敛,概念:且余项若收敛,称绝对收敛若发散,称条件收敛例1.

若级数均收敛,且证明级数收敛.证:

则由题设收敛收敛收敛练习提示:

题1.判别下列级数的敛散性:提示:(1)据比较判别法,原级数发散.因调和级数发散,利用比值判别法,可知原级数发散.用比值法,可判断级数因n充分大时∴原级数发散.用比值判别法可知:时收敛;时,与p

级数比较可知时收敛;时发散.再由比较法可知原级数收敛.时发散.发散,收敛,题2.

设正项级数和也收敛.提示:

因

存在N>0,又因利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛,证明级数当n>N时

题3.

设级数收敛,且是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛.问级数提示:

对正项级数,由比较判别法可知级数收敛,收敛,级数发散.例如,取题4.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:提示:(1)P>1

时,绝对收敛;0<p≤1

时,条件收敛;p≤0

时,发散.(2)因各项取绝对值后所得强级数

原级数绝对收敛.故因单调递减,且但所以原级数仅条件收敛

.由Leibniz判别法知级数收敛

;而由正项级数比值法原级数绝对收敛.与P级数比较原绝对收敛.或积分审敛法因由正项级数比较审敛法，原级数绝对收敛.～题5.

判别级数的敛散性.法1

由性质推论知原级数发散。法2.

由比较审敛法的极限形式知非单调降由莱…知收敛.收敛，由性质知…题6.

判别级数的敛散性.解:

由积分审敛法知级数发散。题7.

由比较审敛法，原级数绝对收敛。能判断收敛吗？收敛，而若正项级数不能！如题8.

求极限解:

题7.

若级数部分和收敛。从而有界证二、求幂级数收敛域的方法•

标准形式幂级数:先求收敛半径R,再讨论•非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.题1.求下列级数的敛散域:练习提示:解:当因此级数在端点发散,时,时原级数收敛.故收敛域为解:

因故收敛域为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散;例2.解:

分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在∵原级数=∴其收敛半径注意:例3.已知解:令的收敛半径R,求的收敛半径也是R，的收敛半径和收敛区间.的收敛半径仍是R.的收敛半径也是R.既绝对收敛级数发散收敛区间为|x-1|<R,既-R+1<x<R+1.•求部分和式极限三、幂级数和函数的求法求和•

映射变换法

逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部分和等•初等变换法:分解、套用公式（在收敛区间内）•

数项级数求和例4.

求幂级数法1

易求出级数的收敛域为法2先求出收敛区间则设和函数为例5.

求法1法2作幂级数练习:解:(1)显然x=0

时上式也正确,故和函数为而在x≠0题1.求下列幂级数的和函数：级数发散,(2)显然x=0

时,和为0;根据和函数的连续性,有x=1时,级数也收敛.即得练习:解:

原式=的和.题2.求级数练习:法1:

和函数求S(x)在（0,1）的最大值.题3.证明法2:记令唯一驻点四、函数的幂级数和付式级数展开法•

直接展开法•间接展开法练习:1.

将函数展开成

x

的幂级数.—利用已知展式的函数及幂级数性质—利用泰勒公式解:1.函数的幂级数展开法2.

设,将f(x)展开成x

的幂级数,的和.(01考研)解:于是并求级数3.

将展成x-1的幂级数。解:先令展成t的幂级数作业P2111;2(1),(3);3(2),(3),思(4),(5),思(6);4(1);7；2.函数的付式级数展开法系数公式及计算技巧;收敛定理