浙江省宁波市慈溪市西部教研共同体2023-2024学年九年级上学期期中联考数学试题含答案解析

2023学年第一学期九年级期中考试数学试卷一、选择题（每小题3分，本题共10个小题，满分30分）1.若，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据比例的性质即可求解．【详解】∵∴∴故选C．【点睛】此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知比例的运算法则．2.有下列事件：①367人中必有2人的生日相同；②抛掷一枚均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定不小于2；③在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化；④如果a，b为实数，那么a+b＝b+a．其中是必然事件的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】必然事件指的是一定发生的事件，据此分别判断即可．【详解】①中，一年最多366天，则367人中，必有2人生日相同，是必然事件；②中，骰子朝上面最小为1，两次之和最小为2，即一定不小于2，是必然事件；③中，标准大气压下，低于0℃，冰不会融化，不是必然事件；④中，根据加法交换律，a+b＝b+a一定成立，是必然事件故选：C【点睛】本题考查必然事件的判定，注意事件可分为3类：随机事件，必然事件，不可能事件．3.如图下列条件不能判定的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据两个三角形相似的判定逐项验证即可得到答案．【详解】解：A、，补充，根据两个三角形相似的判定定理“两组对应角相等的两个三角形相似”确定A正确，不符合题意；B、，补充，根据两个三角形相似的判定定理“两组对应角相等的两个三角形相似”确定B正确，不符合题意；C、，补充，得到，根据两个三角形相似的判定定理“两条对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”确定C正确，不符合题意；D、根据两个三角形相似的判定定理，该选项不符合题意；故选：D．【点睛】本题考查两个三角形相似的判定，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键．4.将抛物线的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的平移规律可得答案．【详解】解：根据平移规律可知，得到的抛物线的解析式是，故选：B．5.若抛物线与y轴交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是【】A.抛物线开口向上B.抛物线的对称轴是x=1C.当x=1时，y的最大值为﹣4D.抛物线与x轴的交点为（－1，0），（3，0）【答案】C【解析】【分析】把（0，-3）代入抛物线解析式求c的值，然后再求出顶点坐标、与x轴的交点坐标．【详解】把(0,−3)代入y=x2−2x+c中得c=−3，抛物线为y=x2−2x−3=(x−1)2−4=(x+1)(x−3)所以：抛物线开口向上，对称轴是x=1，当x=1时，y的最小值为−4，与x轴的交点为(−1,0),(3,0)；C错误.故选C.6.如图，如果与都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么与的相似比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质，设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明，即可解决问题．【详解】解：设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：，∴；同理可求：，∵，∴，∴，∴与的相似比为，故选：B．7.如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】连接OB，OC，由正方形ABCD的性质得，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论．【详解】解：连接OB，OC，如图，∵正方形ABCD内接于，∴∴故选：B．【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8.如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（）．A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，由题意可得，的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可．【详解】解：设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，过点作，如下图：则的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，由题意可得：，由勾股定理可得：，∴，故选：D【点睛】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆与正多边形的性质，确定出圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值的位置．9.如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（）A.或 B.或 C. D.【答案】D【解析】【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【详解】与关于y轴对称抛物线的对称轴为y轴，因此抛物线与直线的交点和与直线的交点也关于y轴对称设与交点为，则，即在点之间的函数图像满足题意的解集为：故选D．【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解与关于y轴对称是解题的关键．10.已知二次函数的图象如图所示抛物线的顶点坐标是，有下列结论；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质和函数图象，可以判断各个小题是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴，故①正确；∵抛物线与x轴没有交点，∴，故②错误；由抛物线的顶点坐标是，可设抛物线为，∵过点，∴，解得，∵，∴，∴，故③正确，∵抛物线的最低点是，∴若点在该抛物线上，则，故④正确．故选：C．二、填空题（每小题4分，本题共6个小题，满分24分）11.如图，四边形内接于圆，若，则的度数是________．【答案】##80度【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答．【详解】解：∵四边形内接于，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键．12.已知一个扇形的半径为，面积为，则此扇形的弧长为__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了扇形面积的计算，解此类题目的关键是观察所给的已知条件：如果已知扇形的半径和圆心角，则利用公式解答；如果已知扇形的半径和弧长则利用公式解答．本题已知扇形的半径和弧长，则利用公式解答，把对应的数值代入即可求得弧长．【详解】解：，，．故答案为：．13.从小明、小聪、小慧和小颖四人中随机选取2人参加学校组织的社工活动，则小明被选中的概率是________．【答案】【解析】【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；据此作答：记小明为A、小聪为B、小慧为C、小颖为D，画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式计算可得．【详解】解：记小明为A、小聪为B、小慧为C、小颖为D，画树状图如下：由树状图可知，共有种等可能结果，其中小明被选中（其中含有A）的有6种结果，∴小明被选中的概率是故答案为：．14.如图，四条平行直线l1，l2，l3，l4被直线l5，l6所截，AB∶BC∶CD＝1∶2∶3，若FG＝3，则线段EF和线段GH的长度之和是________．【答案】6【解析】【分析】【详解】∵l1//l2//l3，∴EF：FG=AB：BC，即EF：3=1：2，解得EF=；∵l2//l3//l4，∴FG：GH=BC：CD，即3：GH=2：3，解得GH=，则线段EF和线段GH的长度之和==6．点睛：本题考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，熟记定理找准对应线段是解题的关键．15.如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则的度数是_______．【答案】或【解析】【分析】分①点P在BC的延长线上，②点P在CB的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：①当点P在BC的延长线上时，如图∵，，∴∴∵以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，∴AC=PC∴∵∴∴②当点P在CB的延长线上时，如图由①得，∵AC=PC∴∴故答案为：或【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论不重不漏是解题的关键．16.如图（1）中，，D是的中点，延长至点E，使，延长交于点F，探究的值．（1）先将问题特殊化．如图（2），当时，则__________；（2）如图（3）中，，D是的中点，G是边上一点，（），延长至点E，使，延长交于点F．则________（用含n的式子表示）．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）取的中点连接，可证是等边三角形，结合条件可推出，即可求解；（2）取的中点，连接，证可得，再证即可求解．【详解】解：（1）取的中点连接，如图所示：∵D是的中点，∴，∵，，∴是等边三角形，∴，∴是等边三角形，∵D是的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∵是等边三角形，∴，∵，∴，∴；（2）取的中点，连接，如图所示：∵D是的中点，∴，又是的中点，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：①；②【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形、中位线定理等知识点．综合性较强，根据题意作出正确的辅助线是解题关键．三、解答题（本题有8小题，共66分；17-19每题6分，20-21每题8分，22-23每题10分，24题12分）17.如图，半圆O的直径，弦，（1）求弦的长（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，扇形的面积公式，等底等高三角形的面积相等，等边三角形的判定与性质等知识．（1）连接由同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半可得,证明是等边三角形，可得；（2）把阴影部分的面积转化为扇形的面积，判断出阴影部分的面积=扇形的面积，根据扇形的面积公式即可求解【小问1详解】连接如图，∴，又∴是等边三角形，∴；【小问2详解】∵，∴的面积=的面积，∴阴影部分的面积=弓形的面积的面积=扇形的面积．18.即将在泰州举办的江苏省第20届运动会带动了我市的全民体育热，小明去某体育馆锻炼，该体育馆有A、B两个进馆通道和C、D、E三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同．用列表或画树状图的方注列出小明一次经过进馆通道与出馆通道的所有等可能的结果，并求他恰好经过通道A与通道D的概率．【答案】【解析】【分析】通过列表展示所有6种等可能的结果数，找出恰好经过通道A与通道D的结果数，然后根据概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，求解．【详解】解：列表如下：CDEAACADAEBBCBDBE∵由表可知共有6种等可能的结果数，其中恰好经过通道A与通道D的结果有1种，∴P(恰好经过通道A与通道D)=．答：他恰好经过通道A与通道D的概率为．【点睛】此题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是列出所有等可能的结果．19.【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形；【问题再解】如图3，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）【答案】见解析【解析】【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线所在直线即为所求；【问题联想】如图2，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；【问题再解】如图3先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆,与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形所交的圆弧即为所求．【详解】【初步尝试】如图所示，作∠AOB的角平分线所在直线OP即为所求；【问题联想】如图，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；【问题再解】如图，先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆,与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形所交的圆弧CD即为所求．【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握基本作图方法．20.如图，已知二次函数图象经过点和．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．（2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围．【答案】（1），顶点坐标为；（2）【解析】【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标；（2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围．【小问1详解】解：∵二次函数图象经过点和．∴，解得：，∴抛物线为，∴顶点坐标为：；【小问2详解】当时，，∴解得：，，如图，当时，∴．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．21.如图，已知是⊙的直径，是所对的圆周角，．（1）求的度数；（2）过点作，垂足为，的延长线交⊙于点．若，求的长．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）连结，根据圆周角性质，得；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；（2）根据含角的直角三角形性质，得；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）连结，是直径，，（2），，∴，，且是直径．【点睛】本题考查了圆、含角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．22.在边长为3的正方形中，点E在边上（不与点A，D重合），射线与射线交于点F．（1）若，求的长．（2）求证：．（3）以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点G．若，求的长．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．（1）通过证明，由相似三角形的性质可求解；（2）通过证明，可得，可得结论；（3）设，则，，由勾股定理可求解．【小问1详解】解：四边形是正方形，，，，，，；小问2详解】证明：，，又，，，；【小问3详解】解：设，则，，在中，，，，．23.如图，在中，，，以为直径的交于．（1）求证：；（2）弦交于，若，求的值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）首先连接，由为的直径，可得，又由中，，由三线合一，可得；（2）首先过点作于，连接，易证得，设圆的半径为，然后由勾股定理求得的长，又由，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得与的长，则可求得的值．【小问1详解】证明：连接，为的直径，，即，中，，．【小问2详解】解：过点作于，连接．为的直径，，为公共角，，，设圆的半径为，则，，，，，，，，，，在中，，，，，．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．24.根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形或圆弧形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．

问题解决：任务1：确定桥拱形状是抛物线：在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2：拟定设计方案：在任务1的基础上，给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．任务3：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长任务4：拟定通行方案：在任务3的基础上，该河段水位涨达到最高时，有一艘货船它漏出水面高米，船体宽9米需要从拱桥下通过，给出船航行线路，并判断是否能顺利通行．【答案】任务1：图见解析，；任务2：方案一：从顶点处开始悬挂，共可挂7盏灯笼，最左边一盏挂点的横坐标是；方案二：从对