专题12 不等式与线性规划（精讲）

第31页（共33页）专题12·不等式与线性规划命题规律高考重点考查应用基本不等式确定最大值和最小值问题、证明不等式成立、解答恒成立问题，线性规划作为不等式的直接应用，命题形式以选择、填空为主，新课标对不等式既考查基础知识、基本技能、方法，还考查运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。题型归纳题型1不等式链【解题技巧】1.公式：（）．2.技巧：上式由左至右分别为调和平均数、几何平均数、代数平均数、平方平均数．另外，不等式链可进行平方，会得到一个新的不等式链也可直接适用，注意此时a,b∈R．【例1】（2022•咸阳二模）若x＞0，y＞0且x+y＝2，则下列结论中正确的是（）A．x2+y2的最小值是1 B．xy的最大值是14C．2x+1y的最小值是4【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．【解答】解：因为x＞0，y＞0且x+y＝2，由（x+y2）2≤x2+y22得x2+y2由基本不等式可得xy≤(x+y2)2=1，当且仅当x2x+1y=12（2x+2yx+x+yy）=12（3+2yx+xy）（x+y）2＝x+y+2xy=2+2xy≤2+2＝4，当且仅当所以x+y≤故选：D．【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．【例2】（多选）（2023•玉溪模拟）已知a＞0，b＞0，且a+b＝4则下列结论一定正确的有（）A．（a+2b）2≥8ab B．1aC．ab有最大值4 D．1a【分析】由已知结合不等式的性质及基本不等式分别检验各选项即可判断．【解答】解：因为a＞0，b＞0，且a+b＝4，A：（a+2b）2﹣8ab＝（a﹣2b）2≥0，A错误；当a＝b＝2时取等号，B显然错误；因为a+b＝4，所以ab≤(a+b2)2=4，当且仅当a1a+4b=a+b4a+a+bb=54+b4a+故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式最值求解中的应用，还考查了不等式的性质，属于基础题．题型2“1”的灵活运用【解题技巧】1.技巧：化1法流程为：=1\*GB3①条件化1，与问题相乘，=2\*GB3②将乘积式展开为四项，其中两个含参，另外两个为常数，=3\*GB3③对其适用均值定理推论进行求最值。2.注意：要先观察条件与问题的形式，需满足条件与问题分别为（或可整理为）两个含单参数的单项式相加的形式，且这四个单项式有两个参数在分母，另外两个参数在分子．【例1】（2022•杭州模拟）已知a＞0，b＞0，且a+1b=2，则4a【分析】利用基本不等式“1”的代换求目标式，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：由a＞0，b＞0，则4a+b=12(所以4a+b的最小值是故答案为：92【点评】本题主要考查了乘1法及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．【例2】（2023•抚松县校级一模）已知x＞12，y＞3，且2x+y＝7，则1【分析】由已知12x−1+4y−3=（12x−1+【解答】解：因为x＞12，y＞3，且2x+y＝7，所以2x则12x−1+4y−3=（12x−1+4y−3）（2x﹣1+y﹣3）×13=13（5+y−3此时12x−1故答案为：3．【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是乘1法的应用，属于中档题．题型3积定求和、和定求积【解题技巧】1.公式：若，则（当且仅当时取“=”）．推论：（1）若，则(2)（3）2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”3.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。与函数有关的题型还会用到配系数法．【例1】（2022秋•咸阳期末）已知x＞0，y＞0，若4x+y＝1，则（4x+1）（y+1）的最大值为（）A．94 B．14 C．3【分析】利用基本不等式求解即可．【解答】解：由题意知，x＞0，y＞0，∴4x+1＞0，y+1＞0，则(4x+1)(y+1)≤[当且仅当4x+1=y+14x+y=1，即x=18∴（4x+1）（y+1）的最大值为94故选：A．【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了灵活解决问题的能力，属于基础题．【例2】（2023•湖北模拟）已知m＞0，n＞0，直线y=1ex+m+1与曲线y＝lnx﹣nA．16 B．12 C．8 D．4【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出m，n的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案．【解答】解：对y＝lnx﹣n+2求导得y'=1由y'=1x=1e得x＝e，则1所以1m当且仅当m=n=1故选：D．【点评】本题考查了导数的几何意义和不等式中“1”的整体代换，属于中档题．题型4积和混合【解题技巧】技巧：根据和与积的关系等式，结合均值不等式可以求出积或和的最值，这样的方法叫做“和积化归”．1．有“和”、“积”无常数，可以同除，化回到“1”的代换型．2．有“和”、“积”有常数求积型，可以借助基本不等式构造不等式求解．3..有“和”、“积”有常数求和型，可以借助基本不等式构造不等式求解．【例1】（2022•镇海区校级模拟）若正实数x，y满足xy（x+y）＝4，则2x+y的最小值为（）A．3 B．22 C．23 【分析】（2x+y）2＝y2+4x（x+y）=y【解答】解：正实数x，y满足xy（x+y）＝4，则（2x+y）2＝y2+4x（x+y）=y当且仅当y＝2时取等号，此时x=3所以2x+y≥23故选：C．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．【例2】（2022•浙江模拟）已知正实数x，y满足：x2+xy+2xy=2【分析】根据题意，将x2+xy+2xy=2，变形可得（x+y）（x+2y）＝4，则3x+2y+2【解答】解：根据题意，若x2+xy+2xy=2，则x2+xy+2xy+则3x+2y+2y=2（x+y）+（x+2y）≥22(x+y)(x+2y)=42，当且仅当x+故答案为：42．【点评】本题考查基本不等式性质以及应用，注意x2题型5多次均值【解题技巧】连续适用均值定理要注意不等号方向的统一，以及取等情况的合理性．【例1】（2022秋•闵行区校级月考）若不等式a2+b22+3≥x（a+b）对于任意正数a，【分析】根据已知条件，结合分离参数法，以及基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：∵不等式a2+b22+3≥x（a+∴x≤a2+b2∵a2当且仅当a=ba+b4=3a+b，即∴x≤3，故实数x的最大值为3故答案为：3．【点评】本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题．题型6线性型:z=ax+by【解题技巧】形如z=ax+by，将问题转化为一次函数在轴截距的问题．要注意斜率正负，截距与Z的正反比例关系．【例1】（2023•九江二模）已知实数x，y满足条件x+2y≥1x−y≤1y−1≤0，则z＝3x﹣4A．﹣7 B．1 C．2 D．3【分析】根据题意，作出可行域，结合图像可知，当l：y=34x−14【解答】解：由约束条件可得可行域的区域，如图所示，因为z＝3x﹣4y，可转化为y=34x−结合图像可得，当直线l过点A时，z取得最大值，且x+2y=1x−y=1，解得x=1y=0，即点所以zmax＝3×1﹣0＝3．故选：D．【点评】本题主要考查简单线性规划，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．【例2】（2023•抚州模拟）已知实数x，y满足2x−y−2≤0，x−2y−2≥0，x≥0，则y﹣3A．−83 B．﹣2 C．﹣1【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．【解答】解：因为实数x，y满足2x−y−2≤0，x−2y−2≥0，设z＝y﹣3x，平移直线y＝3x可得：当z＝y﹣3x过点A时，z取最小值，由2x−y−2=0x−2y−2=0⇒x=23y=−23，即故z的最小值为：−23−故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于基础题．题型7非线性型【解题技巧】一、形如：，将问题转化为与两点间距离的平方的问题。需要注意的是，如果配方后有常数，则需要多走一步．如．距离型也可以转化为“动圆”型来解释。二、形如：，将问题转化为与连线斜率的问题．1.分式型，如果是斜率型，要注意分离常数，还要注意x，y的系数要提出来．2.齐次分式型，可以同除换元，但是要注意同除时，是否要讨论为0的情况．3.复杂分式型，实质是划归后（主要是同除或者分离常数），可换元转为基础型．【例1】（2023•贵州模拟）已知实数x，y满足x+y−1≤0x−y+1≥0y≥−1，则A．2 B．338 C．1712 【分析】由不等式组作出可行域，根据t=y−3x−3的几何意义求出t的范围，利用对勾函数单调性即可求出【解答】解：令t=y−3x−3，则z=t+1则A（﹣2，﹣1），B（2，﹣1），C（0，1），设点P（x，y），D（3，3），其中P在可行域内，∴t=y−3由图可知当P在点C时，直线PD斜率最小，∴tmin当P在B点时，直线PD斜率最大，∴tmax＝kDB＝4，∴z＝t+12t在t∈[23，4]，由对勾函数的单调性可知：当t∈[23又当t=23时，z=t+12t=因为1712＜338，所以当故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．【例2】（2022•绥化开学）设实数x，y满足约束条件x−y−1≤0，x+y−1≤0，x≥−1，则x2+y2+4A．[−72，13] B．[﹣3，13] C．[1，17] D．[2−8【分析】先作出不等式组对应的平面区域，所求式子可化为x2+y2+4y＝x2+（y+2）2﹣4，其中x2+（y+2）2表示可行域中的点到点（0，﹣2）的距离的平方，再利用数形结合法求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，如图所示：x2+y2+4y＝x2+（y+2）2﹣4，其中x2+（y+2）2表示可行域中的点到点（0，﹣2）的距离的平方，联立x+y−1=0x=−1得，A（﹣1，2），∴x2+y2+4y的最大值为（﹣1）2+22点（0，﹣2）到直线x﹣y﹣1＝0的距离d=|0−(−2)−1|∴x2+y2+4y的最小值为d2﹣4=−72，∴x2+y2+4y的取值范围为[故选：A．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题．题型8含参型【解题技巧】不等式组含参，是“旋转型”还是“平移型”，与参数位置有关。要随时根据参数范围确定不等式所对应的范围区域。注意区分参数所在位置而采取的不同处理方法．【例1】（2022秋•河南月考）已知不等式组x+y≤4ax−y＞5x+ay≥2，表示的平面区域不包含点（3，1）则实数A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，2] C．[2，+∞） D．（﹣1，+∞）【分析】利用不等式组表示平面区域，即可解出．【解答】解：由不等式组x+y≤4ax−y＞5则点（3，1）不满足不等式组，∴3a﹣1≤5或3+a＜2，∴a≤2或a＜﹣1，即a∈（﹣∞，2]，故选：B．【点评】本题考查了不等式组表示平面区域，学生的数学运算能力，属于基础题．【例2】（2022春•寿县校级月考）若动直线ax﹣y+a＝0与区域x+y≥02x−y≥0x−1≤0有交点，则A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【分析】由约束条件作出可行域，由直线系方程可知动直线ax﹣y+a＝0过定点P（﹣1，0），数形结合得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立x=12x−y=0，解得A（1，2），直线ax﹣y+a＝0过定点P由图可知，使动直线ax﹣y+a＝0与区域x+y≥02x−y≥0x−1≤0有交点的a的最大值为k而kPA=2−0故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．题型9最优解无数个型【解题技巧】最优解无数，则线性目标函数，与约束条件区域的某一条边所在直线平行．【例1】（2022•安徽模拟）已知实数x，y满足y≥2|x|−1y≤x+1，且z＝kx+y（k为常数）取得最大值的最优解有无数多个，则kA．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】由约束条件作出可行域，由图可知，要使z＝kx+y取得最大值的最优解有无数多个，则﹣k＝1，则答案可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，要使z＝kx+y取得最大值的最优解有无数多个，则﹣k＝1，即k＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．【例2】（2022•赣州二模）已知实数x，y满足x−y+3≥0x+y−4≥02x−y−7≤0，若目标函数z＝y﹣ax取得最大值时的最优解有无数个，则a的值为【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由题意求得a值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由目标函数z＝y﹣ax，得y＝ax+z，∵目标函数z＝y﹣ax取得最大值时的最优解有无数个，∴直线y＝ax+z与直线y＝x+3重合，即a＝1．故答案为：1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．题型10含绝对值型【解题技巧】注意绝对值所在的位置，采取不同的策略：1．目标函数整体位置如．2．单个变量位置，可以数形结合，或者分类讨论．3．双绝对值位置，较少，开分类讨论．【例1】（2023•江西模拟）若x，y满足约束条件2x−y≥−2y+2≥0x+2y≤2，则z＝3|x|+A．﹣2 B．0 C．4 D．16【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合目标函数的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出实数x，y满足约束条件2x−y≥−2y+2≥0则A（−25，65），B（﹣2，﹣2），C目标函数z＝3|x|+y=3x+y，x≥0当分段函数的图象经过D（0，﹣2）时取得最小值，则z＝3|x|+y的最小值为﹣2，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，结合目标函数的几何意义是解决本题的关键，属于中档题．【例2】（2022•市中区校级开学）已知实数x，y满足不等式组x+y−1≥02x−y+4≥04x+y−4≤0，则|3x+4A．16 B．12 C．5 D．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，令z=5×|3x+4y−4|5，所以z表示可行域中的点到直线3x+4y﹣4＝0距离的5倍，数形结合即可求出【解答】解：作出不等式所表示的可行域，如图：令z=5×|3x+4y−4|5，所以z表示可行域中的点到直线3x+4由图可知，点A到直线3x+4y﹣4＝0距离最大，此时z取得最大值，联立方程2x−y+4=04x+y−4=0，解得x=0y=4，即所以zmax＝|3×0+4×4﹣4|＝12．故选：B．【点评】本题主要考查了线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于中档题．最新模拟一．选择题1．（2022春•江西期中）已知a＞0，b＞0，且a+1b=2A．92 B．2 C．9 【答案】A【题型】“1”的灵活运用【解析】解：由题意可得4a因为a＞0，b＞0，所以ab+4ab≥4，则4a+b≥∴4a+b的最小值是故选：A．2．（2022春•丽江期末）已知x，y为正实数，且x+2y＝xy，则x+2y的最小值是（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【题型】积和混合【解析】解：∵x，y为正实数，且x+2y＝xy，∴2x∴x+2y＝（x+2y）（2x+1y）当且仅当xy=4yx，即x＝4，y＝2时取等号，∴故选：C．3．（2022秋•万州区校级月考）已知正数a，b满足（a+5b）（2a+b）＝36，则a+2b的最小值为（）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】D【题型】积定求和、和定求积【解析】解：因为(a+5b)(2a+b)≤[(a+5b)+(2a+b)2]2所以9(a+2b)24≥36，又a＞0，b＞0．所以a+2故选：D．4．（2023•秦都区校级模拟）设x，y满足约束条件x+2y≤12x+y≥−1x−1≤0，则z＝4x﹣2A．﹣10 B．﹣6 C．4 D．10【答案】B【题型】线性型:z=ax+by【解析】解：由约束条件x+2y≤12x+y≥−1联立x+2y=12x+y=−1，解得A（﹣1，1）．化目标函数z＝4x﹣2y为y＝2x−由图可知，当直线y＝2x−z2过A时，直线在z有最小值为﹣6．故选：B．5．（2023•咸阳二模）若x，y满足约束条件x≥0x+y≤2y≥x，则z＝2x+A．2027 B．2026 C．2025 D．2024【答案】B【题型】线性型:z=ax+by【解析】解：由约束条件作出可行域，如图所示：由此可知目标函数在B点处取大值，联立y=xy=−x+2，解得x=1所以z的最大值为2+1+2023＝2026．故选：B．6．（2023•贵州模拟）已知实数x，y满足x+y−1≤0x−y+1≥0y≥−1，则A．32 B．2 C．3 【答案】D【题型】非线性型【解析】解：由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，则A（﹣2，﹣1），B（2，﹣1），C（0，1），设点P（x，y），D（3，3），其中P在可行域内，∴z=y−3由图可知：当P在B点时，直线PD斜率最大，∴zmax故选：D．7．（2023•碑林区校级模拟）已知x，y满足约束条件x≥0y≥0x+y≥1，则z＝（x+3）2+yA．8 B．9 C．10 D．10【答案】C【题型】非线性型【解析】解：由题意，作出不等式组x≥0y≥0又由(x+3)2+y2表示可行域内一点（x结合图象可得，当可行域内取点A时，此时距离最短，联立方程x=0x+y=1，解得x=0y=1，即A（0，1），所以|PA|所以目标函数z＝（x+3）2+y2的最小值为|PA|2＝10．故选：C．8．（2022•金华模拟）已知x，y满足不等式组(x+1)2−y2≤0y≤2A．﹣1≤a≤1 B．0≤a≤1 C．a≤﹣1 D．a≥1【答案】A【题型】含参型【解析】解：不等式组(x+1)令z＝ax+y，化为y＝﹣ax+z，由图可知，若z＝ax+y有最大值，则﹣1≤﹣a≤1，即﹣1≤a≤1．故选：A．9．（2022•齐齐哈尔一模）已知实数x，y满足约束条件x+y−3≤0x−2y−3≤0x≥m，若目标函数z＝y﹣2x的最大值是7，则实数A．−173 B．−43 C．【答案】B【题型】含参型【解析】解：画出不等式组x+y−3≤0x−2y−3≤0目标函数z＝y﹣2x可化为y＝2x+z，平移目标函数，当目标函数过点A时，z取得最大值，由x=mx+y−3=0，解得A（m，3﹣m所以z的最大值为zmax＝3﹣m﹣2m＝3﹣3m，令3﹣3m＝7，解得m=−4故选：B．10．（2022•仁寿县校级模拟）已知实数x，y满足约束条件x+y−2≤02y−1≥02x−y+2≥0，则z＝|3x﹣4A．45 B．20 C．654 【答案】B【题型】含绝对值型【解析】解：根据题意，作出不等式组相应平面区域，设t＝3x﹣4y﹣12，则z＝|t|，y=3平移直线y=34x−12+t4，由图象可知当直线得直线y=由图象可知当直线得直线y=34x−12+t4由2y−1=0x+y−2=0，得x=32y=12，即B（即﹣20≤t≤−192，则192≤t≤20，则z＝|3故选：B．11．（2022•海宁市模拟）已知实数x，y满足约束条件x−y≤0x+y≤23x−y+2≥0，则z＝|x﹣2A．10 B．7 C．5 D．2【答案】B【题型】含绝对值型【解析】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，B（0，2），联立x−y=03x−y+2=0，解得A（﹣1，﹣1），令t＝x﹣2y由图可知，当直线t＝x﹣2y+6过A时，t有最大值为7，过B时，t有最小值为2．∴z＝|x﹣2y+6|的最大值是7．故选：B．二．多选题（共4小题）12．（2022秋•玄武区校级期末）已知正数a，b满足a2A．ab的最大值为1 B．a+b2的最小值为C．a2+b2的最大值为32【答案】AC【题型】不等式链【解析】解：对于A：由正数a，b满足a2+b24=1，得1≥2a2×b2对于B：(a+b2)2=a2+ab+b24=1+ab≤2，所以a+b2≤2对于C：a2+b2=2a×122+b2≤2×a对于D：方法一：1a2+1b2=a2+b2a2b方法二：1a令t＝1+34b又49t+169t≥249t×故1a2+1b2≥94故选：AC．13．（2022秋•雨花区校级月考）下列不等式中恒成立的是（）A．a2+b2≥2（a﹣b﹣1） B．1aC．x+9x+5≥4，（x＞﹣5） 【答案】ACD【题型】不等式链【解析】解：选项A，a2+b2﹣2（a﹣b﹣1）＝（a2﹣2a+1）+（b2+2b+1）＝（a﹣1）2+（b+1）2≥0，当且仅当a＝1，且b＝﹣1时，等号成立，所以a2+b2≥2（a﹣b﹣1），即A正确；选项B，当a＝b＝﹣1时，1a+1b=−2，2选项C，x+9x+5=x+5+4x+5=x+5+4x+5选项D，a+b2≤(a+b2)2故选：ACD．14．（2022•襄城区校级开学）已知x＞0，y＞0，且x+y＝3，则下列结论中正确的是（）A．lnx+lny有最大值94 B．x2C．4x+1y有最小值43【答案】BD【题型】不等式链【解析】解：因为x＞0，y＞0，且x+y＝3，所以xy≤（x+y2）2=94，当且仅当x＝y=32时取等号，所以lnx+lny＝ln（xy）≤由x＞0，y＞0，且x+y＝3得0＜x＜3，所以12x2+y2=4x+1y=13（4x+4yx+x+yy）=53令f（y）＝xy2＝（3﹣y）y2＝﹣y3+3y2，0＜y＜3，则f′（y）＝6y﹣3y2＝﹣3y（y﹣2），易得，当0＜y＜2时，f′（y）＞0，函数f（y）单调递增，当2＜y＜3时，f′（y）＜0，函数f（y）单调递减，故y＝2时，f（y）取得最大值f（2）＝4，此时x＝1，y＝2，D正确；故选：BD．15．（2022春•慈溪市月考）已知正实数x，y满足xy＝x+4y，则（）A．x＞4 B．4y2C．x+y的最小值为9 D．x2+y2的最小值为81【答案】AC【题型】不等式链【解析】解：因为xy＝x+4y，所以（x﹣4）y＝x，即y=xx−4=11−4x，又x，y为正实数，则0＜1−因为xy＝x+4y，所以4y2x−y=x(y−1)yx−y＝y2﹣2y＝（y﹣1）2﹣1，又y因为xy＝x+4y，且x，y为正实数，即xy≠0，则1=x+4yxy=1y+4x，所以x+y＝（x+y）×（1y+4x）因为x+y≥9，所以（x+y）2≥81，则x2+y2≥12(x+y)2=812，当且仅当x＝y时，等号成立，由xy＝x+4y，当x＝y时，故选：AC．三．填空题16．（2022秋•辽宁期中）已知x，y均为正数，若x+2y﹣3xy＝0，则x+y的最小值．【答案】1+【题型】积和混合【解析】解：因为x，y均为正数，若x+2y﹣3xy＝0，则1y则x+y=13（x+y）（2x+1y）=13（3故答案为：1+217．（2021秋•徐汇区校级期中）已知a、b、c均为正实数，则ab+bca2+【答案】2【题型】多次均值【解析】解：a、b、c均为正实数，则a2+12b2≥2ab，12b2+c∴ab+bca2+b2+c2=∴ab+bca2+故答案为：218．（2021•全国Ⅰ卷模拟）已知实数x，y满足约束条件x−y≥0x+y−4≥0x≤4，若z＝ax﹣y取得最大值时的最优解有无数个，则实数a的值为【答案】﹣1【题型】最优解无数个型【解析】解：由约束条件作出可行域如图，由z＝ax﹣y，得y＝ax﹣z，由图知，要使z＝ax﹣y取得最大值时的最优解有无数个，则a＜0且y＝ax﹣z与直线y＝﹣x+4重合，则a＝﹣1．故答案为：﹣1．真题在线一．选择题1．（2022•乙卷）若x，y满足约束条件x+y≥2，x+2y≤4，y≥0，则z＝2x﹣A．﹣2 B．4 C．8 D．12【答案】C【题型】线性型:z=ax+by【解析】解：作出可行域如图阴影部分所示，由图知，当（x，y）取点C（4，0）时，目标函数z＝2x﹣y取得最大值，且最大为8．故选：C．2．（2021•乙卷）若x，y满足约束条件x+y≥4，x−y≤2，y≤3，则z＝3x+A．18 B．10 C．6 D．4【答案】C【题型】线性型:z=ax+by【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立y=3x+y=4，解得A由z＝3x+y，得y＝﹣3x+z，由图可知，当直线y＝﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3×1+3＝6．故选：C．3．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是（）A．y＝x2+2x+4 B．y＝|sinx|+4C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+【答案】C【题型】积定求和、和定求积【解析】解：对于A，y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3，所以函数的最小值为3，故选项A错误；对于B，因为0＜|sinx|≤1，所以y＝|sinx|+4|sinx|≥2|sinx|⋅4|sinx|=4，当且仅当|sinx|=4|sinx|，即|sinx|＝2时取等号，因为|sinx对于C，因为2x＞0，所以y＝2x+22﹣x=2x+42x≥2对于D，因为当x=1e时，y=ln1故选：C．4．（2020•全国）若a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，则ab的最大值为（）A．16 B．36 C．13【答案】C【题型】积定求和、和定求积【解析】解：方法一：由a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，消去c得到4a+3b＝4，令a＞0，b＞0．则4a+3b≥24a⋅3b，即ab≤33，∴ab≤13，当且仅当4a＝3故选：C．方法二：由a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，消去c得4a+3b＝4，则a=1−34b，令y∴y=−34b2+b=−34(b−23故选：C．5．（2019•浙江）若实数x，y满足约束条件x−3y+4≥0，3x−y−4≤0，x+y≥0，则z＝3x+2A．﹣1 B．1 C．10 D．12【答案】C【题型】线性型:z=ax+by【解析】解：由实数x，y满足约束条件x−3y+4≥03x−y−4≤0联立x−3y+4=03x−y−4=0，解得A（2，2），化目标函数z＝3x+2y为y=−32x由图可知，当直线y=−32x+12z过z有最大值：10．故选：C．6．（2016•山东）若变量x，y满足x+y≤22x−3y≤9x≥0，则x2+yA．4 B．9 C．10 D．12【答案】C【题型】非线性型【解析】解：由约束条件x+y≤22x−3y≤9∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，联立x+y=22x−3y=9，解得B∵|OB|2=(32+(−1)故选：C．7．（2015•上海）已知a＞0，b＞0，若a+b＝4，则（）A．a2+b2有最小值 B．ab有最小值 C．1a+1b有最大值【答案】A【题型】积定求和、和定求积【解析】解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝4，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣2ab≥16﹣2（a+b2）2故选：A．二．多选题8．（2022•新高考Ⅱ）若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（）A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1【答案】BC【题型】积和混合【解析】解：方法一：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x−y2）2+(32y)2=1，令x−y2=cosθ32y=sinθ，则x=∵x2+y2=(33sinθ+cosθ)故C对，D错，方法二：对于A，B，由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3(x+y2)∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A错，B对，对于C，D，由x2+y2﹣xy＝1得，x2+y2﹣1＝xy≤x2+y22，∴x2∵﹣xy≤x2+y22，∴1＝x2+y2﹣xy≤x2+y2故选：BC．9．（2020•山东）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥12 B．2a﹣bC．log2a+log2b≥﹣2 D．a【答案】ABD【题型】不等式链【解析】解：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2