河南省信阳某中学2022-2023学年高二年级上册10月巩固测试数学试题（含答案解析）

河南省信阳高级中学2022-2023学年高二上学期10月巩固测

试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

JT

1.已知P：“直线/的倾斜角q：“直线/的斜率欠＞1”,则〃是9的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.已知直线2x-y-3=O的倾斜角为。，则sin26的值是.

A.-B.-C.-D.-

4455

3.设O—A8C是四面体，。是“1BC的重心，G是。Q上的一点，且OG=3GQ,若

OG=xOA+yOB+zOC,则x+y+z等于（）

43

A.1B.-C.-D.2

34

4.已知直线y=2x是二ABC中二C的平分线所在的直线，若点A,B的坐标分别是（一4,

2）,（3,1）,则点C的坐标为

A.(—2,4)B.(—2,—4)C.(2,4)D.(2,~4)

5.如图所示，在三棱柱ABC-A4G中，是等边三角形，平面A8C,

AA=AB=2,D,E,F分别是BB-A%,AG的中点，则直线E尸与8所成角的

余弦值为（）

04D.0

6.如图，在边长为2的正方形A8CO中，E,尸分别为3C,C。的中点，H为EF的

中点，沿4E,EF,融将正方形折起，使B,C,。重合于点。，在构成的三棱锥0-44

中，下列结论错误的是（）

;；|F\/>

•H\\//W

1\J..jrJ\IX

BEC£

A.AO_L平面E0尸

B.三棱锥0-越产的体积为g

C.直线AH与平面£。尸所成角的正切值为2近

D.AE_L平面。4”

二、填空题

7.直线/：以+（。+1）>2=0的倾斜角大于45。，则a的取值范围是.

8.设meR,过定点A的动直线x+阳=0和过定点B的动直线〃吹-丫-，"+3=0交于

点P（x,y）,贝”24卜归却的最大值是.

9.已知曲线C：。一1尸+（。一»=25.过点N（-2,3）的直线/被C所截得的线段长度为8,

则直线/的方程为.

10.已知直线/：如+>+3祖-石=0与圆V+y2=]2交于A,B两点，过A,8分别作

/的垂线与x轴交于C,£>两点，若|48|=26,贝力。|=.

11.已知实数为、々、%、满足：N2+城=],石+以2=1,%%2+乂%=；，则

庄沪+左小的最大值为.

V2V2

12.如图，已知棱长为1的正方体488—48/。。/中，E,F,〃分别是线段43,AD,

44’的中点,又P,0分别在线段小以，AQi上,且小尸―（081）.

设平面MET*平面A/P0=/,现有下列结论：□///平面N8CZ）；DIDAC；□直线/与平面

8CG8/不垂直；□当x变化时，/不是定直线.其中成立的结论是.（写出所有成

试卷第2页，共4页

立结论的序号)

三、解答题

13.已知圆A1过C(l,-1),£)(-1,1)两点，且圆心M在电广2=0上.

(1)求圆M的方程；

(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,是圆M的两条切线，A,8为切点，求

四边形PAMB面积的最小值.

14.如图，在四棱锥尸-他。中，平面平面ABC£),

PA±PD,PA=PD,AB±AD,AB=l,AD=2,AC=CD=>/5.

(1)求证，平面RS；

(2)求直线总与平面PC。所成角的正弦值；

(3)在棱PA上是否存在点使得以0〃平面PCO?若存在，求笔的值；若不存在,

说明理由.

15.已知直线1：x+后y+4=0,半径为2的圆C与1相切，圆心在x轴上且在直线1

的右上方.

(1)求圆C的方程；

(2)过点M(l,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方)，问在x轴上是否存在

定点N,使得x轴平分NANB?若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

16.如图，三棱锥尸-"。的底面是等腰直角三角形，其中AB=AC=2,PA=PB,

平面尸AB_L平面ABC,点E,F,M,N分别是A8,AC,PC,BC的中点.

p

(1)证明：平面EMN，平面口钻；

7T

(2)当PF与平面ABC所成的角为§时，求二面角M-EN-8的余弦值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

TT

【分析】由P：“直线/的倾斜角则直线/的斜率％〉1或左<0或不存在，

4

再由集合法判断必要不充分条件即可

【详解】P：“直线/的倾斜角则直线/的斜率％>1或攵v0或不存在；

又4：“直线/的斜率%>1"，

所以2是4的必要不充分条件，

故选：B.

2.C

,八工厂八c.2sin0cos02tanO4„

【详解】试题分析：tan6=2,sm28=-------7-=--------,选C.

sirr。+cos*1+tarre5

考点：二倍角公式

3.C

【分析】取BC的中点E,连接AE,然后利用三角形法则以及三角形重心的性质和中线的

性质即可求解.

【详解】如图所示，

取8c的中点E,连接AE,

因为OG=3GG1,

所以砺=彳西=j(丽+频=^OA+^x-AE=^OA+-AE

=-OA+-x-(AB+AC)=-OA+-(OB-OA+OC-OA)=-(OA+OB+OC),

422444

13

所以x+y+z=3x：=：,

44

故选：C.

答案第1页，共14页

4.C

【分析】求出4—4,2）关于直线y=2x的对称点为（x,.，可写出8C所在直线方程，与直

线y=2x联立，即可求出C点坐标.

^^x2=-lr

【详解】设题一4,2）关于直线y=2x的对称点为（x,y）,贝,，解得，

y+2_?x-4+x[y=_2

,22

-2-1（x=2

□5。所在直线方程为y—l=1a—3）,即3x+y—10=0.联立直线尸2x,解得.

4-37，=4

则C（2,4）.故选C.

【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点，属于中档题.

5.D

【分析】方法一：根据异面直线夹角的定义，延长AG，4C,使GM=AG，CN=AC,连

接尸,MN,分析图形结合余弦定理可求直线EF与所成角的余弦值;

方法二：将三棱柱补成四棱柱，结合异面直线夹角的定义确定夹角，根据余弦定理与勾股定

理可求得直线EF与CQ所成角的余弦值；方法三：根据三棱柱的几何性质，建立空间直角

坐标系，按照空间坐标运算求解直线E尸与CD所成角的余弦值即可.

【详解】解：方法一：延长AG，AC,使GM=AG，CN=AC,连接

AG，CM,DM,B\M,B\F,MN,如图所示.

在三棱柱ABC-中，是等边三角形，至，平面ABC,AAt=AB=2,

易知EF//AC、I/CM,CD=旧,CM=2品,

DM=+=QBQ:BF+FM。=占+行+3?=旧.

设直线EF与CO所成角为e,

答案第2页，共14页

6+（2&）2一拒2

DC2+CM2-DM2

易知cos0=|cosZDCM\==0,

2DCCM2x亚x2近

口直线E尸与CD所成角的余弦值为0.

故选：D.

方法二：如图，将三棱柱补成四棱柱，其中两个三棱柱全等.

取尸B中点Q,连接。Q,由棱柱性质易知EF//OQ,

□NC。。为的与CO所成角或其补角.连接CQ,

由题知8C=2,3Q=1,3Z）=1,CD=45,DQ=yf2,又NC8Q=120。,

在△C8Q中由余弦定理可得

CQ2=BQ2+BC2-2BQ-BCcosZCBQ=]2+22-2xlx2x7

在ACQQ中，CQ2=CD2+DQ2=1,IZCD(2=90°

□直线EF与C£＞所成角的余弦值为0.

故选：D.

方法三：如图，取AC中点为。，连接。8,。尸，在三棱柱48C-A8c中，是等边三

角形，平面A8C,然=48=2,

易得/O_L平面A8C,则尸。，。3,尸。，AC,又AB=BC=2,。为AC中点，所以03_LAC,

则以。为原点，以OCO尸为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

答案第3页，共14页

所以0（0,0,0）,C（0,l,0）,0（g,0,l）,F（0,0,2）,E（0,-l,l）,

Eh'-CD0-1+1

则瓯=(0,1,1),①所以cos而，而=

HR立X石

□直线EF与CO所成角的余弦值为0.

故选：D.

6.D

【分析】利用线面垂直的判定定理即可判断A,利用体积法即可判断B,作出三棱锥的直观

图，作出要求的空间角即可判断C,利用线面垂直的判定定理证明所工平面04〃即可判断

D

【详解】翻折前，ABYBE,AD±DF,故翻折后，OA1.OE,OAA.OF,

又OEcOF=O,0E,0尸u平面£0尸，平面EOF,故A正确；

由题意可知，三棱锥的侧棱4。，底面OEF,

则%3=匕-的=gx；x"lx2=g,故B正确；

连接。“，AH,则N0H4为A”与平面EOF所成的角，

答案第4页，共14页

A

<OE=OF=\,"是E尸的中点，OELOF9

；.OH=-EF=^-.又OA=2,..tan/OHA=g=2&,故C正确；

22OH

•.•。4，平面£0f，EFu平面EOF,：.OA±EF,

又OHLEF,。4门。”=0,。4,0”<=平面04”，.・.£尸_1_平面。4”.

口AE与E尸不平行，

.：A£不可能与平面OAH垂直，故D错误.

故选：D.

7.1-8,-；)U(0,+°0)

【分析】当a=-l时，符合题意；当时-1时，只需-二〈0或-一即可，解不等式综

合可得.

【详解】当。=一1时,直线/的倾斜角为90°,符合要求;当在一1时,直线/的斜率为，

只要-/7>1或者-=<0即可，解得一17<一!或者"一1或者心0.综上可知，实数。

a+\〃+12

的取值范围是(一8,一;)口(0,+8).

【点睛】本题考查直线的倾斜角，涉及解不等式和分类讨论，属基础题.

8.5

【详解】试题分析：易得A(0,0),8(l,3).设P(x,y),则消去加得：x2+y2-x-3y=0,所以

点P在以AB为直径的圆上，P4,,所以F+样|2=|AB|2=10,|PA|x|PB|<9斐=5.

法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以84，P3,点P的轨迹是以AB为直径的圆.以

答案第5页，共14页

下同法一.

【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.

9.乂=一2或5x-12y+46=0

【分析】根据直线与圆的位置，分2种情况讨论：口当直线/的斜率不存在，口当直线/的斜

率存在时，每种情况下先设出直线的方程，利用直线/被C所截得的线段长度为8,可得关

于火的方程，解可得&的值，综合即可得答案.

【详解】解：圆C：(x-»+(y-l)2=25的圆心半径/'=5

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=-2,则圆心到直线/的距离1=1-(-2)=3,

此时所截得的线段的长为2>/7彳==8，

所以/:x=-2符合题意.

当直线/的斜率存在时，设/的方程为y-3=k(x+2),

|3%+2|

即+22+3=0,圆心到/的距离1=

J22+1

此时所截得的线段的长为坊7二居=2卜-仁耳|=8,得号*=3,解得“=青

所以直线/的方程为=5x-y+2§3=0,即5x—12y+46=0,

126

综上，直线/的方程为x=-2或5x-12y+46=0.

故答案为：-2或5x—12y+46=0.

10.4

【分析】由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m的值，既而求得CD的长可

得答案.

【详解】因为|A网=26,且圆的半径为r=26,所以圆心(0,0)到直线皿+y+3m-6=0

则由窑"解得吟一等'

的距离为=3，代入直线/的方程，得

尸去+25所以直线/的倾斜角为3。。

由平面几何知识知在梯形ABDC中,

\CD\=4.

cos300

故答案为4

答案第6页，共14页

【点睛】解决直线与圆的综合问题时.，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几

何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧

密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较

为简捷地得到解决.

11.

【分析】设A（xi,yi）,B（X2,y2）,0A=（xi,yi）,0B=（X2,y2）,由圆的方程和向量

归+%-1|,H+y2Tl

数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1,^/T

的几何意义为点A,B两点到直线x+y-1=0的距离出与ch之和，由两平行线的距离可得所

求最大值.

【详解】设A(xi>yi).B(X2.y2)，

OA=(xi,yi),OB=(X2,y2),

由x/+y[2=l,X22+y22=UXlX2+y»2=；,

可得A,B两点在圆x2+y2=l上，

且丽•丽=1x1xcosDAOB=y,

即有口人08=60。，

即三角形OAB为等边三角形，

AB=1,

归+昆+^T的几何意义为点A,B两点

V2V2

到直线x+y-1=0的距离di与d2之和，

显然A,B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=l平行,

可设AB：x+y+t=O,(t>0),

由圆心O到直线AB的距离d=kl

可得2、1-二=1,解得t=

V22

即有两平行线的距离为,

丁2

即、二1+且职的最大值为夜+6,

725/2

答案第7页，共14页

故答案为四+G.

【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置

关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题.

12.□□□

【分析】□根据线面平行的性质证明出线线平行，进而证明出〃/平面N8CZ)；口结合E1EF,

EFUAC,故证得阻力C,IQEFQBD,而所,8£>与平面8CC向不垂直，故证明出结论；□

得到/是过点M且与直线E/平行的定直线.

【详解】连接8。，BQi，［AF=4Q=x,

D,

QA

AEB

DPQUBiDiUBDQEF,易证PQ□平面MEK

又平面平面MPQ=l,

DPQI,同理可证：10EF,

口/口平面/8C。，故：］成立；

XEFQAC,alDAC,故口成立；

口/口所匚出。，而与平面8CC向不垂直口直线/与平面8CC向不垂直，故口成立；

当x变化时，/是过点M且与直线E尸平行的定直线，故门不成立.

故答案为：□□口

13.(1)(x-l)2+(y-l)2=4；(2)2G

【分析】(1)设圆M的方程为：(x-o)2+(y-b)2=，(r>0),由已知列出方程组，解之可

得圆的方程；

(2)由已知得四边形的面积为5=$.“+$,,“，即有S=2|PA|,又有

S=24PM1-4.因此要求S的最小值,只需求|加|的最小值即可，根据点到直线的距离公

式可求得答案.

答案第8页，共14页

【详解】解：（1）设圆M的方程为：（万一4+（〉一32=/（厂＞0）,

(l-fl)2+(-l-&)2=-a=1

根据题意得(一1一。)2+(1-力2=r2n•b=1,

。+人一2=0r=2

故所求圆”的方程为：（x-iy+（y—l）2=4；

（2）如图,

四边形RWB的面积为$=久.+$.网，即S=；（|AM||PA|+忸

5C\AM\=\BM\=2,\PA\=\PB\,所以S=2|%，

而网=J|PW1-4,即S=2j|PM『-4.

因此要求S的最小值，只需求|「河|的最小值即可，

|尸网的最小值即为点M到直线3x+4y+8=0的距离

所以时面，1=%等=3,

四边形R4A仍面积的最小值为24PM『T=2百.

、81

14.（1）证明见解析；（2）3；（3）存在，4

【分析】试题分析：（口）由面面垂直的性质定理知ABZ3平面上仞，根据线面垂直的性质

定理可知,再由线面垂直的判定定理可知即_£平面上你；（口）取Q的中点O,

连结尸O,CO,以0为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz,利用向量法可求出直线PB与

答案第9页，共14页

平面PCD所成角的正弦值；（口）假设存在，根据A,P,M三点共线，设而=根

据BM口平面PCD,即丽.〃=（）（〃为平面PCD的法向量），求出Z的值，从而求出”的

AP

值.

试题解析：（口）因为平面上仞_L平面&CD,ABJ.AD,

所以平面E0.

所以加

又因为34_LQD,

所以?乃_1_平面E43.

（□）取q的中点o,连结做9

因为34=如，所以PO_LQ.

又因为POu平面卫4D,平面EM_L平面45cZ）,

所以PO_L平面幺BCD.

因为COu平面幺5c0,所以尸O_LCO.

因为〃C=C。，所以COJL3.

如图建立空间直角坐标系°一位.由题意得，

4（U0）,BQD）,q2,0,0）刀（0「L0）,P（0Ol）

设平面PCD的法向量为〃=（x，y,z）,则

n-PD=0,[―y—z=0,

（一即4c

n-PC=09[2x-z=0,

令z=2,则x="=-2.

所以”=（1,一2,2）.

-------/~DD\〃'PB>/3

又PB=QL-I），所以8s〈〃7B〉=丽[=一百.

答案第10页，共14页

(□)设M是棱上4上一点，则存在2口0』使得而=zNp

因此点”(OJ-ZZ),砺

因为a平面PCD，所以皿“平面尸CD当且仅当丽',〃=()，

.1

即(T-24)a-22)=0,解得42一屋

AM1

所以在棱上4上存在点M使得3MII平面PCD,此时备一W.

【考点】空间线面垂直的判定定理与性质定理；线面角的计算；空间想象能力，推理论证能

力

【名师点睛】平面与平面垂直的性质定理的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其

中一个平面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时

可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离

等.

15.(1)X2+/=4；(2)见解析

【分析】(1)设圆心(a,0),由圆心到直线的距离等于半径列等式解得a=O或a=-8,再

根据圆心在直线1的右上方可得a=0,从而可得圆的方程;

(2)联立直线与圆的方程消去y的一元二次方程，根据韦达定理和斜率公式列式化简可得.

』la+4l

【详解】⑴设圆C的方程为:(x-a)2+y2=4,由和=2得a=0或a=-8,又圆心在在

答案第11页，共14页

直线1的右上方，故a=0.

故所求圆C的方程为：x2+y2=4.

x=ty+l

{x2+y2=4=>(t2+l)y2+2ty-3=0

设A(x“3B(x2,y2),故%+%=言,％力=言，假设存在N(gO)使得x轴平分

/ANB,则

yY2

kAN+kBN=0=>'+=0=»yl(x2-m)+y2(x,-m)=0^>y,(ty2+l-m)+y2(ty|+l-m)=0

x(-mx2-m

即2日也+(1-m)(yi+y2)=0,故2t•j^+O-m)=0对任意teR恒成立，

即(8—2m)t=0恒成立，故m=4,即N(4,0)

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，也考查了韦达定理和斜率公式的应用，属于中档

题.

16.(1)证明见解析；(2)-也.

7

【分析】(1)首先根据面面垂直的性质定理证明线面垂直，再通过线面垂直证明面面垂直；

(2)首先找到直线PF与平面ABC所成角，计算得到PE的长，方法一是由向量法求角，

再根据角是钝角，进而求得角的余弦值；方法二是根据几何法找角，再边长求角的余弦值.

【详解】(1)证明：由题意可得，ABJ.AC,

点、E,N分别是A8,8c的中点，

故R