六年级奥数《不定方程与整数分拆及代数法解题》（含答案解析）

小幸六年鳗奥数・题含智案解析

不定方程与分拆

内容概述：

求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问

题.

补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可

参考《思维导引详解》五年级［第15讲余数问题］.

解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解.

本讲讲解顺序：③=>包括1、2、3题=@=②=>①包括4、5题二③0包括6、7题,

其中③④步骤中加入百鸡问题.

复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程.

整数分拆问题：11、12、13、14、15.

典型问题：

1.在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个？

【分析与解】设这个两位数为命，则数字和为4+。，这个数可以表达为

\Oa+b,有(l()a+/?)+(a+h)=4

即10a+3=4a+4b,亦即/?=2a.

注意到。和。都是0到9的整数，且a不能为0,因此a只能为1、2、3或4,相应地力

的取值为2、4、6、8.

综上分析，满足题目条件的两位数共有4个，它们是12、24、36和48.

2.设A和B都是自然数，并且满足4+0=12,那么A+B等于多少？

11333

【分析与解】将等式两边通分，有3A+11B=17,显然有B=l,A=2时满足，此时A+B=2+l=3.

3.甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支.张明用5角钱恰好可以买这两种不同的

铅笔共多少支？

【分析与解】设购买甲级铅笔x支，乙级铅笔y支.

有7x+3y=50,这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性

质来求解的方法：

将系数与常数对3取模(系数7,3中，3最小)：

得x=2(mod3),所以x可以取2,此时y取12；x还可以取2+3=5,此时y取5；

x=2x=5

即＜，对应x+y为14、10

y-\2[y=5

所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支.

4.有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张.问这些纸币的总面值是否能

够恰好是100元？

【分析与解】设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张，

列方程如下：

a+b+c+d-60(1)

1[a+10^+100c+l000d=10000(2)

⑵⑴得%+99c+999d=9940……③

注意到③式左边是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值

不能恰好为100元.

5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损

耗忽略不计.问：剩余部分的管子最少是多少厘米？

【分析与解】24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截

去的总长度必是12的倍数，但374被12除余2,所以截完以后必有剩余.剩余管料长不小

于2厘米.

另一方面，374=27X12+4X12+2,而36+12=3,24+12=2,有3X9+2X2=31.即可截成9

根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米.

因此剩余部分的管子最少是2厘米.

6.某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子

参加.男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了

216棵树.那么其中有多少名男职工？

【分析与解】设男职工x人，孩子y人，则女职工3y-x人(注意，为何设孩子数为y人,

而不是设女职工为y人)，

那么有13x+10(3y—x)+6y=216,化简为3x+36_y=216,BPx+12y=72.

x-12x=24/x=36x=48Jx=60

有《y=21y=l

y=5y=41y=3

x-12

但是，女职工人数为3y—x必须是自然数，所以只有4时，3y—x=3满足.

1丁=5

那么男职工数只能为12名

7.一居民要装修房屋，买来长0.7米和0.8米的两种木条各若干根.如果从这些木条中

取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：0.7+0.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米.那

么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的

恰当拼接而实现的？

【分析与解】设0.7米，0.8米两种木条分别x,y根，则0.7x+0.8y=3.4

3.6,…

即7x+8y=34,36,37,38,39

将系数，常数对7取模，有y三6,1,2,3,4(mod7),于是y最小分别取6,1,

2,3,4.

但是当y取6时，8X6=48超过34,x无法取值.

所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的.

8.小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封角，她共用了1

元2角2分.那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封？

【分析与解】显然，为了使3种信的总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是

航空信，最后才是平信.但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分.

所以，2分，10"+2分应该为平信的邮费，〃最小取3,才是8的倍数，所以平信至少

要寄4封，此时剩下的邮费为122-32=90,所以再寄4封挂号信，航空信1封即可.

于是，小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封.

9.有三堆祛码，第一堆中每个祛码重3克，第二堆中每个祛码重5克，第三堆中每个祛

码重7克.现在要取出最少个数的祛码，使它们的总重量为130克.那么共需要多少个祛码?

其中3克、5克和7克的祛码各有几个？

【分析与解】为了使选取的祛码最少，应尽可能的取7克的祛码.130+7：18

……4,所以3克、5克的祛码应组合为4克，或4+7女克重.

设3克的硅码x个，5克的祛码y个，则3x+5y=4+7左.

当2=0时，有3x+5y=4,无自然数解；

当％=10寸，有3x+5y=ll,有x=2,y=l,此时7克的祛码取17个，所以共

需2+1+17=21个法码，有3克、5克和7克的祛码各2、1、17个.

当左＞1时，7克的祛码取得较少，而3、5克的祛码却取得较多，不是最少的取

祛码情形.

所以共需2+1+17=20个祛码，有3克、5克和7克的祛码各2、1、17个.

10.5种商品的价格如表8—1,其中的单位是元.现用60元钱恰好买了10件商品，那么

有多少种不同的选购方式?

表8-1

品种ABCDE

单价2.94.77.210.614.9

【分析与解】设B、C、I)、E、A商品依次买了b、c>d、e、(10-b-c-d-e)

件，则有

2.9(10-人-c—d—e)+4.7H7.2c+10.6"14.9e=60.

1泌+43c+77d+120e=310,显然e只能取0,1,2.

I」当仁©有188+43c+77d=310,其中d可取0,1,2,3,4.

(1)当d=0时，有18。+43c=310,将系数，常数对6取模得：

c=4(mod6),于是C最小取4,那么有18b=310-43X4=138,b不为自然

数.所以d=0时。不满足；

⑵片当7时:有］%+43C=233,将系数，常数对6取模得：

c三5(mod6),于是E最小鼠5,那么有18b=233-43X5=18,6=1

庸足；

(3)|当d=2时有1助+43cF56,将系数，常数对6取模得：

C三0(mod6),于是C最小取0,那么有18b=156,b不为自然数，所以d=2

时，不满足；

⑷|当d=3时有1泌+43。=79,将系数、常数对6取模得：

c三l(mod6),于是(2最小'i取」那么有18b=79—43=36.,吊=2匕满足|

(5)当d=4时，有1泌+43c=2,显然不满足.

e=l有I8b+43c+77d=190,其中d可以取0、1、2.

⑴)国力=0时有1妨+430=190,将系数、常数对6取模有：

c=4(mod6),于是历最小，阪4那么有18b=190-43X4=18,底工"满足

⑵当d=l时，有1%+43c=113,将系数、常数对6取模有：

c=5(mod6),于是c最小取5,即18。+215=113,显然d=l时，不满足;

⑶国d=2时.

有1助+43c=36,显然有.历皂，三国寸满足

Uli当士

有18Z?+43c+77d=70,d只能取0,

有1助+43c=70,将系数、常数对6取模有：

c=4(rood6),于是c最小取4,那么有18b+172=70,显然不满足

最后可得到如下表的满足情况：

E的D的B的C的4(=10-£-D-B-C)

件数件数件数件数的件数

•

第一种情况01153

第二种情况03214

第三种情况10144

第四种情况12205

--------------------------------------

共有4种不同的选购方法.

11.有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同.每个同学都把身上带

的全部钱各自买了画片.画片只有两种：3分一张和5分一张.每11人都尽量多买5分一

张的画片.问他们所买的3分画片的总数是多少张？

【分析与解】钱数除以5余0,1,2,3,4的人，分别买0,2,4,1,3张3分的画片.因

此，可将钱数8分至5角2分这45种分为9组，每连续5个在一组，每组买3分画片

0+2+4+1+3=10张，9组共买10X9=90张，去掉5角1分钱中买的2张3分画片，5角2分

中买的4张3分画片，43个人买的3分画片的总数是90-2-4=84张.

12.哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和.”试将168表

示成两个两位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是1.

【分析与解】个位数字是1的两位质数有11,31,41,61,71.

其中168-11=157,168-31=137,168-41=127,168-61=107,都不是两位数，只有

168-71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+97是惟一解.

13.(1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是

多少？

(2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多

少？

【分析与解】(1)首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等，不然10个互不相等

的质数和最小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29,显然大于50.

所以，其中一定可以有某几个质数相等.

欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2,且最多可有9

个2,那么最大质数不超过50—2X9=32,而不超过32的最大质数为31.

又有50=2+2+2+…+2+3+31,所以满足条件的最大质数为31.

^2'

(2)最大的质数必大于5,否则10个质数的之和将不大于50.

所以最大的质数最小为7,为使和为60,所以尽可能的含有多个7.

而恰好有即

60+7=8........4,60=7X_+__7_+_7_+__…__+__7/+4,4=2+2,60=\7_+__7_+__7+__…__+__7/+2+2.

8个78个7

8个7与2个2的和为60,显然其中最大的质数最小为7.

14.有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有

多少种？

【分析与解】注意到所有38枚硬币的总币值恰好是100分(即1元)，于是除了50分和

100分外，其他98种币值就可以两两配对了，即

(1,99)；(2,98)；(3,97)；(4,96)；•••；(49,51)；

每一对币值中有一个可用若干个贰分和伍分硬币构成，则另一个也一定可以，显然50分

和100分的币值是可以组成的，因此只需要讨论币值为1分，2分，3分，…，48分和49

分这49种情况.

1分和3分的币值显然不能构成.

2分，4分，6分，…，46分，48分等2：4种偶数币值的都可以用若干个贰分硬币构成.

5分，7分，9分，…，47分，49分等23种奇数币值的只须分别在4分，6分,8分，…

46分、48分的构成方法上，用一枚伍分硬币去换两枚贰分硬币即可，譬如，37分币值的，

由于36分币值可用18枚贰分硬币构成，用一枚伍分硬币换下两枚贰分硬币，剩下的币值即

为37分.

综合以上分析，不能用30个贰分和8个伍分硬币构成的1分到1元之间的币值只有四种，

即1分，3分，97分,99分.

15.小明买红、蓝两支笔，共用了17元.两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵.小

强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把35元恰

好用完.那么红笔的单价是多少元？

【分析与解】如下表

表1表2

再依次考虑：

首先，不能出现35的约数.否则只买这种笔就可以刚好用完35元，所以含有7,5,1的组

合不可能.

然后，也不能出现35—17=18的约数.否则先各买一支需17元，那么再买这种笔就可以花

去18元，一共花35元.所以含有9,6,3,2的组合也不可能.

所以，只有13+4的组合可能，经检验13x+4y=35这个不定方程确实无自然数解.所以红笔

的单价为13元.

补充问题：

1.庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知每7个大和尚每天共吃41个馒头，每29个

小和尚每天共吃11个馒头.平均每个和尚每天恰好吃1个馒头，问：庙里至少有多少个和尚.

2.小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候.早晨见面，

小花狗叫两声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声.细心的小娟对它

们叫声统计了15天，它们并不是，每天早晚都见面，在这15天内它们共叫61声.问：波

斯猫至少叫了多少声？

3.《张邱建算经》百鸡问题：今有百钱，鸡翁直钱五，鸡母直钱三，鸡雏三直一，百钱买百

鸡，问鸡翁、母、雏各几何？

定义新运算

一、知识要点

定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的

一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新

定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算

符号，如：*、△、。等，这是与四则运算中的“+、一、X、不同的。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适

合于各种运算定律的。

二、精讲精练

【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*(5*4)。

【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之

差。这里的“*”就代表一种新运算。在定义新运算中同样规定了要先算小括号

里的。因此，在13*(5*4)13*5=(13+5)+(13-5)=18+8=26

中，就要先算小括号里的5*4=(5+4)+(5-4)=10

(5*4)。13*(5*4)=13*10=(13+10)+(13-10)=26

练习1:

1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)X(a-b).□求27*9。

2.设a*b=a2+2b,那么求10*6和5*(2*8)。

3.设a*b=3a—bXl/2,求(25*12)*(10*5)。

【例题2】设p、q是两个数，规定：pAq=4Xq-(p+q)4-2o求3Z\(4Z\6)。

【思路导航】根据定义先算4Z\6。在

这里是新的运算符号。34(446)

=3A[4X6-(4+6)4-2]

=3A19

=4X19-(3+19)4-2

=76-11

=65

练习2：

1.设p、q是两个数，规定pZ\q=4Xq—(p+q)+2,求5^(6A4)O

2.设p、q是两个数，规定p4q=p2+(p-q)X20求30A(5A3)O

3.设M、N是两个数，规定M*N=M/N+N/M,求10*20—1/4。

【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+22+222+2222,

3*3=3+33+333,4*2=4+44,那么7*4=；210*2=。

【思路导航】经过观察，可以发现本题的新运算“*”被定义为。因此

a*b=a+aa+aaa+...+aa....a7*4=7+77+777+7777=8638

b个a210*2=210+210210=210420

练习3：

1.如果1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+22+222+2222,

3*3=3+33+333,...那么4*4=。

2.规定，a*b=a+aa+aaa+'...+aa...*a那么8*5=。

(b-iyha

3.如果2*1=1/2,3*2=1/33,4*3=1/444,那么(6*3)4-(2*6)=

【例题4】规定②=1X2X3,③=2X3X4,④=3X4X5,⑤=4X5X6,••…

如果1/⑥-1/⑦=1/⑦XA,那么，A是几？

【思路导航】这题的新运算被定义为：

@=(a-1)XaX(a+1),据此，可以A=(1旗一1@)+1/⑦

求出1/⑥一1/⑦=1/(5X6X7)-1/(6=(1/⑥-1/⑦)X⑦

X7X8),这里的分母都比较大，不易直接=⑦/⑥T

求出结果。根据1/⑥-1/⑦=1/⑦XA,可=(6X7X8)/(5X6X7)-1

得出A=(1/⑥-1/⑦)+1/⑦=(1/@-=1又3/5-1

1/⑦)X⑦=⑦/⑥-lo即=3/5

练习4：

1.规定：②=1X2X3,③=2X3X4,④=3X4X5,⑤=4X5X6,...如

果1/⑧-1/⑨=1/⑨XA,那么A=

2.规定：③=2X3X4,④=3X4X5,⑤=4X5X6,⑥=5X6X7,..

如果1/⑩+1/(1D=1/(1DX口，那么口=o

3.如果珠2=1+2,2派3=2+3+4,……5X6=5+6+7+8+9+10,那么xX3

=54中，x=<>

【例题5】设a(Db=4a—2b+l/2ab,

求z。(401)=34中的未知数x。

【思路导航】先求出小括号中的401=4X4-2X1+1/2X4X1=16,再根据x

016=4x-2X16+1/2XxX16=12x-32,然后解方程12x-32=34,求出x

的值。列算式为

401=4X4-2X1+1/2X4X1=16

xO16=4x-2X16+1/2XxX16

=12x-32

12x-32=34

12x=66

x=5.5

练习5：

1.设aG)b=3a—2b,已知xG)(401)=7求x。

2a-b

2.对两个整数a和b定义新运算"△"：aAb=(a+b)X(a-b),求6A4+9

△8o

4xy

3.对任意两个整数x和y定于新运算，“*"：x*y=磔+3y(其中小是一

个确定的整数)。如果1*2=1,那么3*12=o

代数法解题

一、知识要点

有一些数量关系比较复杂的分数应用题，用算术方法解答比较繁、难，甚至

无法列式算式，这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。

二、精讲精练

【例题1】某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12

个，乙种零件全部合格，甲种零件只有4/5合格，两种零件合格的共有42个，

两种零件个生产了多少个？

【思路导航】本体用算术方法解有一定难度，可以根据两种零件合格的一共

有42个，列方程求解。

解：设生产乙种零件x个，则生产甲种零件(x+12)个。

(x+12)X4/5+x=42

4/5x+9+x=42

9/5x=42-9又3/5

x=18

18+12=30(个)

答：甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个。

练习1:

1.某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的3/4

得优，男、女生得优的一共有42人，男、女生参赛的各有多少人？

2.有两盒球，第一盒比第二盒多15个，第二盒中全部是红球，第一盒中的

2/5是红球，已知红球一共有69个，两盒球共有多少个？

3.六年级甲班比乙班少4人，甲班有1/3的人、乙班有1/4的人参加课外

数学组，两个班参加课外数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少人？

【例题2】阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少1/4,

女生减少1/6,剩下的男、女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？

【思路导航】根据剩下的男、女人数相等的题意来列方程求解。

解：设女生有x人，则男生有(x+10)人

(1-1/6)x=(x+10)X(1-1/4)

x=90

90+90+10=190人

答：原来一共有190名学生在阅览室看书。

练习2：

1.某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多5人。今年

参加无线电小组的同学减少1/5,参加航模小组的人数减少1/10,这样，两个组

的同学一样多。去年两个小组各有多少人？

2.原来甲、乙两个书架上共有图书900本，将甲书架上的书增加5/8,乙

书架上的书增加3/10,这样，两个书架上的书就一样多。原来甲、乙两个书架

各有图书多少本？

3.某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多700个。今天生产的甲种零件

比昨天少1/10,生产的乙种零件比昨天增加3/20,两种零件共生产了2065个。

昨天两种零件共生产了多少个？

【例题3】甲、乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的1/5比乙校参

加人数的1/4少1人，甲、乙两校各有多少人参加？

【思路导航】这题中的等量关系是：