理科数学2021年高考数学押题预测卷（新课标Ⅱ卷）02（全解全析）

2021年高考数学押题预测卷(新课标n卷)02

理科数学•全解全析

123456789101112

BABCBCADACDB

1.已知集合(7={x|y=k)g2(x+2)},A={X|(X-1)(X-Q)<0},若CuA=[L+oo),则实数()。

A、-4

B、-2

C、0

D、2

【答案】B

【解析】VU={x|j=log2(x+2)}={x|x>-2),又C"=[l,+8),AA=(-2,1),

又A={X|(X-1)(X—Q)<0},・二一2、1是方程(X—1)(X—Q)vO的两个根，,。=一2,故选B0

2.设复数z满足I(3+2i)=-严"，则复数z=()。

-2+3Z

A、

13

2+3Z

B、

13

3-2/

C、

13

3+2i

D、

13

【答案】A

；2O21

-/(3-2z)-3/+2Z2-2-3i普，故选。

【解析】z=A

3+2i-(3+2i)(3-2i)1313

3.某装修公司为了解客户对照明系统的需求，对照明系统的两种设计方明系统评分面达图案在稳固性、创

新性、外观造型、做工用料以及成本五个方面的满意度评分进行统计，根据统计结果绘制出如图所示的雷

达图，则下列说法正确的是()。

A、客户对两种设计方案在外观造型上没有分歧

B、客户对设计一的满意度的总得分高于设计二的满意度的总得分

C、客户对设计二在创新性方面的满意度高于设计一在创新性方面的满意度

D、客户对两种设计方案在稳固性和做工用料方面的满意度相同

【答案】B

【解析】根据雷达图可列表如下:

评分类别稳固性创新性外观造型做工用料成本

设计一得分8分8分8分10分10分

设计二得分8分8分10分8分9分

根据表格分析可得A、C、D错误，选项B正确，故选B。

4.二次函数"依2+法+c（a/o）的图像如图所示，则正比例函与反比例函数y=a~b+c在

同一坐标系中的大致图像是（）。

【解析】由二次函数图像可知。＞0、c＞0,由对称轴》=心＞0,可知力＜0,

故a-6+c>0,

2a

当x=l时，a+b+c<01BPb+c<0<

二正比例函数y=S+c）x的图像经过二、四象限,

反比例函数y="一1+］的图像经过一、三象限，

x

故选C。

5.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相

等，相传这个图形是阿基米德最引以为豪的发现。现有一底面半径与高的比值为4的圆柱，则该圆柱的表

2

面积与其内切球的表面积之比为（）。

A、4:3

B、3:2

C、2:1

D、8:3

【答案】B

【解析】设内切球的半径为R，则圆柱的面半径为R，高为2R,

故圆柱的衣面积5|=2兀/?2+2兀/?-27?=6兀/?2,内切球的表面积52=4兀产，

该圆柱的表面积与其内切球的表面积之比为图■=9咚=3,故选B。

_1

6.如图的程序框图，若输入Q=log23，Z?=log,3,c=312

2

A、•og32

B、log23

、

C10gl3

2

1

D、3万

【答案】C

【解析】此程序图的功能是输出的a、b、。中的最小数,

又a=log23>log22=1、Z?=logj3<h=logi1=0>0<c=3^<3°=1,

22

：.a>c>b,输出的值为8=log]3,故选C。

2

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()。

A、2

B、4

正视图仰视图

16

C、

T

22

D、

y俯视图

【答案】A

【解析】根据几何体的三祝图可知，还原到正方体如图,

该几何体是底面为直角形(上底是卜底是2,高是2),

高为2的四棱推P—ABCO,

,该几何体的体积V=LX,X(1+2)X2X2=2,故选A。

32

8.已知函数/(x)=sincox-百COSCOX(CD>0),若集合｛XG(0,兀)|/(3)=-1｝含有4个元素，则实数①的取

值范围是()。

A、[粉

(―21

B、

2’2

25

C、

26

【答案】D

【解析】/(x)=2sin(cox--),V2sin((ox--)=-1,sin(cox--)=——，

3332

JTTTIT/JT

解得：cox——=——+2质或cox——=——+2kn(kwZ),

3636

.7i2kjiq3兀2kli,,)

••x=---1----或x-----1----(k£Z),

6coCD2coco

设直线y=-1与y=/3)在(0,+oo)上从左到右的第四个交点为A,第五个交点为B，

则4畸+于此时…喘+乎此时

由于方程/（幻=-1在（0,兀）上有且只有四个实数根，则4<兀4/,

p1.3冗2冗7t4兀&ZJ4F1725i1一

即---1---<TI<——+——，解得一V（D<一，故选D。

2coco6coco26

9.半径为2的圆。上有三点A、B、C满足加+诟+41=6,点P是圆内一点，则两为+而•记的

取值范围为（）。

A、HM4）

B、［0,4）

C、［4,14］

D、［4,16］

【答案】A

【解析】如图，与交于点。，由次+M+=6得：

四边形084c是菱形，且。4=。8=2,则AO=OD=1,BD=DC=K,

由图知丽=丽+丽，正=方+反，而丽=-灰，

PBPC=PD-DB=|PD|2-|。8|2=|PD\2一3,

同理诙=丽+而，丽=丽+而，而万^=一丽，

APAPO=PD-DO”。|2-lOOkpof—]

：.PAPO+PBPC^2\PD\1-4,

•.•点P是圆内一点，5!ijO<|PDl<3,：.-4<PAPO+PBPC<\4,故选A。

10.南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”

图，即现在著名的“杨辉三角下图是一种变异的杨辉三角，它是将数列｛4｝各项按照上小下大，左小右

大的原则写成的，其中｛%｝是集合｛2*+2'|04s<r,且s、reZ）中所有的数从小到大排列的数列，4=3、

a2=5>%=6、。4=9、％=1°…下列结论错误的是()。

3

A、第四行的数是17、18、20、245,

Ra—910

°、an(n+\)一〉乙

2...................................

C、%(〃一1).=21+1

-2~

D、^]()0—16640

【答案】C

【解析】A选项，用(s,，)来表示每一项，则第一行:3(0,1),第二行：5(0,2)、6(1,2),

第三行：9(0,3)、10(1,3)、12(2,3),

第四行：17(0,4)、18(1,4)>20(2,4)、24(3,4),对，

B选项,册(〃+1)表示第〃项第〃列，则%5旬=2*2〃=3.2"T,对,

C选项，*(.幻表示第〃项第1项，则%("T)+=2°+2"=1+2",错，

D选项，am第14行第9项，《00=28+214=16640,对，

故选C。

11.己知函数=+"+。在玉处取得极大值，在X2处取得极小值，且满足为€(-1,0),

X,e(0,1),则“+20+4的取值范围是()。

a+2

A、[0,3]

B、(0,3)

C、[1,3]

D、(1,3)

【答案】D

V/(x)=-^x3+/?x+c,f'(x)=x2+ax+b,

•.•函数/(x)在区间(-1,0)内取得极大值，在区间(0,1)内取得极小值，

/(幻=/+办+匕=0在(-i,o)和(0,1)内各有一个根，/,(0)<0,,f(-i)>o,,r(i)>o,

b<0

即11-4+6>0,在坐标系中画出其表示的区域，竺竺±±=l+2x"1,

,。+2。+2

\+a+b>0

令吁筌，其几何意义为区域中任意一点与点(-2,7)连线的斜率,

分析可得0<史工<1,则1<"+2"+4<3,...竺竺主±的取值范围是(1,3),故选D。

。+2a+2。+2

22

12.已知双曲线C：^--p-=l(fl>0,匕>0)的左、右焦点分别为《、鸟，过外的直线与双曲线C的

右支交于M、N两点，若|MN|=|MF||,则双曲线C的离心率的取值范围是()。

A、Q乖)

B、(1,75)

C、(1,3)

D、(V5.3)

【答案】B

【解析】如图，由双曲线的定义知|吗I—|g|=2。，

,?\MN\=\MF]\,：.\MN\-\MF2\=2a,BP|NF2\=2a,

ifn\NFi\-\NF2\=2a,：.\NFt\=4a,

在AN。巴中，|与外|=2a,设/耳”=0,

TT

由于则0<0<],

由余弦定理得：(2c)2=(4a)2+(24)2-2x4“x2a•cos0,

即(与2=5-4cos。,VO<cos0<l,Al<(-)2<5,即故选B。

aa

13.对任意实数X,有d=即+q-(x-2)+a2,(x-2)2+%.(x-2)3,则/=。

【答案】6

【解析1=<2Q+<?!,(x—2)+%—2)~+的,(x—2)3,

而x3=[(X-2)+2]3=C；•(x_2)°23+C；•(x_2)122+《•(x_2)221+C；•(x_2)32°,

乂X)=劭+q•(X—2)+O-)•(x-2)〜+113,(x—2)3,

由对应相等得：a2=c；2'=3x2=6

14.随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼・秋官》

记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”。现某

机构对国内排名前五的5家快递公司的某项指标进行了3轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试

结束后都要根据该轮测试的成绩对这5家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这3轮测试中恰

好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为。

【答案】—

72

c2X?701

【解析】每轮测试中有2家公司排名不变的概率为士?=义==，

另1206

因而3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为C；x（：）2x，=^。

15.已知数列｛%｝满足q=1,a„=log„（n+l）（n>2,neN+）„定义：使乘积.以为正整数的

左（公以）叫做“幸运数”，则在［1,2021］内的所有“幸运数”的和为。（用数字作答）

【答案】2036

【解析】：/=log”(〃+1)=旦”»,

1g〃

陵+1)

4=10g2(Z+l),

Igklg2

为使Iog2（%+1）为正整数，即满足2"=%+1,则％=2"-1,

则在［1,2021］内的所有“幸运数”的和为：

2|-1+22-1+---+210-1=2(1-2^10=1023x2-10=2036。

1-2

16.如图，圆形纸片的圆心为0,半径为4c、m,该纸片上的正方形438的中心为0,E、F、G、H为

圆O上的点，MBE.MCF、kCDG、AZM”分别是以AB、BC、CD、D4为底边的等腰三角形，沿

虚线剪开后，分别以AB、BC、CD、04为折痕折起A4BE、MCF、ACDG.AZMH,使得E、F、

G、”重合，得到一个四棱锥，当正方形A8CO的边长为cm时，四棱锥体积最大。

【答案】—

5

【解析】连接0G交C。于点M,则OG_LDC,点M为CO的中点,

连接OC,AOCM为直角三角形，

设正方形的边长为2x,则OM=x,由圆的半径为4,贝i」MG=4—x,

设E、F、G、”重合于点尸，PM=MG=4-x>x,则0<x<2,

高PO=J(4r)2-f=J16-8X,V=g(2x)2J16-8x=苧反—丁

设y=2x4-x5,y'=8x3-5x4=x3(8-5x),

Q

当0<x<1时y'>0,y=2x4-%5单调递增，

Q

当g<x<2时y'<（）,y=2x4-x5单调递减，

...当x=§时，V取得最大值，此时2X=3,即答案为更。

555

17.（本小题满分12分）

在AABC中，角A、8、C所对的边分别为。、力、c,已知边c=2,且〃611124-4・$1113=20也。一〃・sin3。

(1sinC+sin(B-A)=sin2A,求AA3C的面积；

(2)记A3边的中点为M,求|CM|的最大值，并说明理由。

【解析】(1)在AABC中，A+B+C=TC,*.*c=2,{2sinA-6Z-sinB=2sinC-Z?sinB,

/.asinA—asin8=c・sinC—Osin8,1分

则由正弦定理得：a2-ab^c2-b2,U\ia2+b2-c2^ab,2分

由余弦定理得：cosC=cr+b~~C'=-,则C=工，

3分

2ab23

,/sinC+sin(B—A)=sin2A,

sin(A+B)+sin(B-A)=2sinA-cosA,

/.sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosA,

2cosAsinB=2sinAcosA,

7T

；・cosA=0或sin8=sinA,即A=—或A=3,5分

2

当A=时，B屋,b=一哈2与当

.c_1,_12V3O_2A/3

6分

当A=JB时，AABC为正三角形，a=b=c=2,

5M«c=^c-sinA=^x2x2x-y=^3；

7分

(2)；A8边的中点为M,：.CM^-(CA+CB).

2

A|CM|2=-(|CA|2+|Cfi|2+2|G4|-|CB|)

4

=—(b2+a2+2ab-cosC)=—(tz2+tr+ab),9分

44

由余弦定理可知：c?=/+)2—2。人.cosC,c=2,C=—>a2+b2=ab+4,

3

/.|CM|2=—(2ah+4)=—«Z?+1,XVa2+b2>lab,ab+4>2ab>Aab<4<11分

42

.,.|O7|2<3,.,.|awi<V3,故|CM|的最大值为百。12分

18.(本小题满分12分)

如图所示，四棱锥P—A8C£)中，平面PAD,平面ABC。，PAYPD,PA=PD,ABLAD,AB=1,

AD=2,AC=CD=后°

⑴求证：PD_L平面尸AB；

(2)求直线PB与平面PC。所成角的正弦值;

(3)在棱/>4上是否存在点使得〃平面PC。？若存在，求——的值；若不存在，说明理由。

【解析】⑴证明：•••平面平面ABC。，平面/平面ABCQ=A。，AB±AD.

AB_L平面PA。，又；POu平面PAD，；.ABLPD，2分

又P4J_P£>，赫口%=4,平面AW；3分

(2)解：取AD的中点O,连接尸O、CO,,:PA=PD,：.PO=AD.

,：POu平面PAD.平面PAD,平面ABCD.：.POL平面ABCD,

♦；COu平面ABC。，.IPO_LCO，：AC=C。，ACOA.AD,5分

如图，建立空间直角坐标系。-孙z,

由题意可知A(0,l,0)、3(1,1,0)、C(2,0,0)、0(0,-1,0),P(0,0,l),6分

-n-PD=0--=()

设平面PC。的个法向量为〃=(x,y,z),则《____.，即4yz,

n-PC=0[2x-z=0

令z=2,则x=l，y=-2,An=(l,-2,2),又丽=(1,1,—1),8分

.「黄、_/丽V3

•*cos<几PB>=—=；—,i=----,

\n\-\PB\3

Z7

二直线PB与平面PCD所成角的正弦值为—；9分

3

(3)解：设M是棱P4上一点，则存在九使得赤=九而，.•.点M(0,l—入，入)，1()分

则丽=(-1,-九，X),：平面尸CD，...要使5M〃平面PCD,

则-3---M---*•〃—=(),即(一1,—九，X).(1,-2,2)=0,解得九二三I，II分

4

二在棱PA上存在点M,使得〃平面尸CD,此时州=1。12分

AP4

19.(本小题满分12分)

为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有

面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额。

⑴若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元。求：

①顾客所获的奖励额为60元的概率；

②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；

(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或

标有面值20元和40元的两种球组成。为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的

奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由。

【解析】(1)设顾客所获的奖励额为X,1分

11

①依题意，得P(X=60)=SC./C=±1,即顾客所获的奖励额为60元的概率为1已，2分

Cl22

②依题意，得X的所有可能取值为20、60,3分

P(X=6O)=L,P(X=20)=4=1，即X的分布列为

2Cl2

X2060

j_

P

22

顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)=20xl+60xl=40(元)，5分

22

(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，，先寻找期望为60元的可能方案，

对于面值由10元和50元组成的情况，

如果选择(10,10,10,50)的方案，•••60元是面值之和的最大值，.♦.期望不可能为60元，

如果选择(10,50,50,50)的方案，：60元是面值之和的最小值，...期望也不可能为60元，

因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案A,设顾客所获的奖励额为y,

则Y的分布列为:

Y2060100

121

P—

636

121

则丫的数学期望为七(丫)=20乂一+60乂一+100、一二60(元)，

636

方差为。(y)=(20-60)2x,+(60—60)2x2+(100—60)2=&分

6363

对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20,20,20,40)和(20,40,40,40)的方案,

•••可能的方案是(20,20,40,40),记为方案B,设顾客所获的奖励额为Z,

则Z的分布列为：

Z406080

j_2j_

P

636

121

则Z的数学期望为£（Z）=40x—+60x—+80x—=60（元），

636

i2i4（x）

方差为0（Z）=（40—60）2X-+（60-60）2X—+（80-60）2X-=—，11分

6363

由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案3奖励额的方差比方案A的小，

二应该选择方案12分

20.（本小题满分12分）

已知圆。：/+y2=4,点尸（0,石），以线段F尸为直径的圆内切于圆O,记点P的轨迹为C。

⑴求曲线C的方程；

⑵若A0i，%）、B{X2,%）为曲线C上的两点，记，*=（卬£）、〃=（々,券），且，“！•〃，试问AAOB的面

积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。

【解析】⑴取F（0,-Q）,连接尸F,设动圆的圆心为：两圆相内切，

：.\OM\=2--\PF\,又|OM|=，|PF'|,：.\PF\+\PF'\=4>\FF'\=273,

2分

22

.•.点P的轨是以尸'、F为焦点的椭圆，其中加=4,2c=26，

______2

2

tz=2>C=5/3'。=J。？—/=1,C的轨迹方程为—FX=1;4分

4

(2)当A4_Lx轴时，有否=尤2、由机JL鹿得I弘1=2|西|,

2/y

又4+=1，，1%1=k、I1=V2,

42

116

•*-5AA(?B=-X|x,1X21Y)|=-X^X2V2=1.6分

当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为>=履+m，

联立4,,得：(22+4)/+2%加+加2-4=0,8分

4x2+/=4

1

,1I12kmm-4,ZR.八

贝I」X{+X2=——2~1西•巧=下一~，由机-L〃得帆♦〃=0,即4玉•%2+%•%=0，

4内•x2+(kX[+m)•(g+m)=0,

整理得：（炉+4）玉+女机（玉+工2）+〃产=。，2AH2=+4,10分

21

SMOti=gxIn?IXIX]—々|=gxIIXyl(x}+X2)-4xix2=21m=,

综上所述，AAO3的面积为定值1。12分

21.（本小题满分12分）

已知函数/。)=。0—1)・，一匕」11X，其中aNl,beR0

(1)当无21时，证明不等式InxWa・(x-1)恒成立；

(2)若？>e(e=2.718…)，证明f(x)有且仅有两个零点。

a

1—nX

【解析】(1)令机(x)=lnx-Q・(x-l),则加(x)=-------,1分

x

当xNl时，m"(x)<0,二m(x)在［1,+8)上单调递减，3分

/.m(x)<m(\)=Ot即不等式lnx〈4・(x-l)恒成立；4分

hn•x~,。八一h

⑵/(X)的定义城为(0,+8),且/'(九)=〃[(1一1)/+/]—,

XX

令g(x)=〃・x?,gXx)=ax(x+2)ex>0,则g(x)在(0,+oo)上单调递增，

当2>e时，]n2>1,；・8⑴=ae-〃v0,6分

aa

^(ln—)=tz(ln—)2叱-b=a(ln-)2•--Z?=Z?[(ln—)2-1]>0,7分

aaaaa

故g(x)=0在(0,+oo)上有唯一解，从而尸(x)=0在(0,+8)上有唯一解，

不妨设为玉,，贝(H<Xo<ln2,

a

当xe(0,/)时，/'1)=更立<区鱼2=0,；./(x)在(0,与)上单调递减，

XX

r

当X£(如+8)时，f(x)=丛。>."))=0Tf(x)在(xo,+co)上单调递增，

XX

因此与是/(x)唯一极值点，8分

VO<l<xo,A/(xo)</(l)=O,即/*)在(0,与)上有唯一零点，9分

/(In—)=a•(In----l)-ea-Z?ln(ln—

aaa

=Q•(In—1)-----。•In(In—)=Z?[In—l-ln(ln—)],

aaaaa

VIn->1,由(1)可知In?-l>ln(ln2),/(in-)>0,

aaaa

即/(X)在(如+8)上有唯一零点，II分

综上，f(x)在(0,+00)上有且仅有两个零点。12分

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

X­(1'cost

c.”为参数,a>0)以坐标原点为极点，无轴正半

{y=2sinto

轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为p・cos©+二)=-2A/2。

(1)设尸是曲线C上的一个动点，当2当时，求点P到直线/的距离的最大值。

(2)若曲线C上所有的点均在直线/的右下方，求。的取值范围。

【解析】(1)由p-cos(0+—)=-2>/2得--(p-cos0-p-sinG)=-2V2，即/：x-