高考数学大一轮复习 4.4 解三角形精练-人教版高三数学试题

4.4解三角形挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.正弦、余弦定理的应用1.理解正弦定理与余弦定理的推导过程2.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题2016天津,3利用余弦定理解三角形★★★2015天津,13利用余弦定理解三角形三角形面积公式2014天津,122014天津文,16正弦定理、余弦定理2.解三角形的综合应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2018天津,152017天津,15利用正弦定理、余弦定理解三角形三角恒等变换★★★分析解读1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题时,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决实际生活中的相关问题.本节内容在高考中常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题和填空题中.破考点【考点集训】考点一正弦、余弦定理的应用1.在△ABC中,a=1,∠A=π6,∠B=πA.6+22B.6-答案A2.在△ABC中,∠A=π3,BC=3,AB=6,则∠C=答案π3.在△ABC中,a=2,c=4,且3sinA=2sinB,则cosC=.

答案-1考点二解三角形的综合应用4.在△ABC中,a=1,b=7,且△ABC的面积为32,则c=答案2或235.在△ABC中,a=5,c=7,cosC=15,则b=,△ABC的面积为答案6;666.在△ABC中,a=3,∠C=2π3,△ABC的面积为334,则b=答案1;13炼技法【方法集训】方法1三角形形状的判断1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c-acosB=(2a-b)cosA,则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D2.在△ABC中,若tanAtanBA.直角三角形B.等腰或直角三角形C.等腰三角形D.不能确定答案B方法2解三角形的常见题型及求解方法3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若A=π3,a=3,b=1,则c=答案24.(2014课标Ⅰ,16,5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为.

答案35.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos2B+cosB=0.(1)求角B的值;(2)若b=7,a+c=5,求△ABC的面积.解析(1)由已知得2cos2B-1+cosB=0,即(2cosB-1)(cosB+1)=0.解得cosB=12因为0<B<π,所以cosB=12.所以B=π(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB.将B=π3,b=7整理得(a+c)2-3ac=7.因为a+c=5,所以ac=6.所以△ABC的面积S=12acsinB=3过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组考点一正弦、余弦定理的应用1.(2016天津,3,5分)在△ABC中,若AB=13,BC=3,∠C=120°,则AC=()A.1B.2C.3D.4答案A2.(2015天津,13,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为315,b-c=2,cosA=-14,则a的值为答案83.(2014天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=14a,2sinB=3sinC,则cosA的值为答案-14.(2014天津文,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a-c=66b,sinB=6(1)求cosA的值;(2)求cos2A解析(1)在△ABC中,由bsinB=csinC,及sinB=6sinC,可得b=所以,cosA=b2+c2-(2)在△ABC中,由cosA=64可得sinA=104于是cos2A=2cos2A-1=-14,sin2A=2sinA·cosA=15所以cos2A-π6=cos2A·cosπ6评析本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.考点二解三角形的综合应用1.(2018天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acosB-(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析(1)在△ABC中,由正弦定理可得bsinA=asinB,又由bsinA=acosB-π6即sinB=cosB-π6因为B∈(0,π),所以B=π3(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=7.由bsinA=acosB-π6因为a<c,故cosA=27因此sin2A=2sinAcosA=437,cos2A=2cos2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=437×12-2.(2017天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=35(1)求b和sinA的值;(2)求sin2A解析(1)在△ABC中,因为a>b,所以A>B,故由sinB=35,可得cosB=45.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB=13,所以b=由正弦定理得sinA=asinBb所以,b的值为13,sinA的值为313(2)由(1)及a<c,得cosA=213所以sin2A=2sinAcosA=1213,cos2A=1-2sin2A=-5故sin2A+π4=sin2Acosπ4方法总结利用正、余弦定理求边或角的步骤:(1)根据已知的边和角画出相应的图形,并在图中标出;(2)结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解;(3)在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形中常用结论的运用.评析本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一正弦、余弦定理的应用1.(2018课标Ⅱ,6,5分)在△ABC中,cosC2=5A.42B.30C.29D.25答案A2.(2016课标Ⅲ,8,5分)在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于1A.31010B.1010C.-答案C3.(2018浙江,13,6分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=7,b=2,A=60°,则sinB=,c=.

答案2174.(2018课标Ⅰ,17,12分)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=22,求BC.解析(1)在△ABD中,由正弦定理知BDsin∠A=故5sin45°=2sin∠由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=1-225(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=25在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×22×25所以BC=5.方法总结正、余弦定理的应用原则:(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其中一对的比值或等量关系就可以通过该定理解决问题,在解题时要学会灵活运用.(2)运用余弦定理时,要注意整体思想的应用.(3)在利用正、余弦定理判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,避免漏解.(4)在利用正弦定理求三角形解的个数问题时,可能会出现一解、两解或无解的情况,所以解答此类问题时需要进行分类讨论,避免漏解或增解.考点二解三角形的综合应用1.(2018课标Ⅲ,9,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为a2A.π2B.π3C.π答案C2.(2017浙江,14,6分)已知△ABC中,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.

答案152;3.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一垂直于路面的山CD在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.

答案10064.(2017课标Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为a2(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.解析(1)由题意得S△ABC=12acsinB=a23sinA,即由正弦定理得12sinCsinB=sin故sinBsinC=23(2)由题意及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-12即cos(B+C)=-12.又B、C为三角形内角,所以B+C=2π3,故A=由题意得12bcsinA=a由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故△ABC的周长为3+33.思路分析(1)首先利用三角形的面积公式可得12acsinB=a方法总结(1)应用正弦定理、余弦定理将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计算,例如:将12csinB=a3sinA变形为1(2)三角形面积公式:S=12absinC=12acsinB=(3)三角形的内角和为π.这一性质经常在化简中起到消元的作用,例如:在△ABC中,sin(B+C)=sinA.5.(2016课标Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=7,△ABC的面积为33解析(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.所以cosC=12,又C为三角形内角,所以C=π(2)由已知,得12absinC=3又C=π3由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.∴a+b=5.所以△ABC的周长为5+7.6.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求sin∠B(2)若AD=1,DC=22解析(1)S△ABD=12S△ADC=12因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sin∠Bsin∠C=AC(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC=2,DC=22,所以BD=2在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.7.(2015陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,3b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求△ABC的面积.解析(1)因为m∥n,所以asinB-3bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-3sinBcosA=0,又sinB≠0,从而tanA=3,由于0<A<π,所以A=π3(2)解法一:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,而a=7,b=2,A=π3得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC的面积为12bcsinA=3解法二:由正弦定理,得7sinπ3从而sinB=217又由a>b,知A>B,所以cosB=27故sinC=sin(A+B)=sinB=sinBcosπ3+cosBsinπ3=所以△ABC的面积为12absinC=38.(2015湖南,17,12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA.(1)证明:sinB=cosA;(2)若sinC-sinAcosB=34解析(1)证明:由a=btanA及正弦定理,得sinAcosA=a(2)因为sinC-sinAcosB=sin[180°-(A+B)]-sinAcosB=sin(A+B)-sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=cosAsinB,所以cosAsinB=34由(1)知sinB=cosA,因此sin2B=34又B为钝角,所以sinB=32由cosA=sinB=32从而C=180°-(A+B)=30°.综上所述,A=30°,B=120°,C=30°.评析本题考查了正弦定理,三角恒等变换,考查了运算求解能力,熟练、准确地应用公式是求解关键.C组教师专用题组考点一正弦、余弦定理的应用1.(2017山东,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A2.(2015广东,11,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3,sinB=12,C=π6,则b=答案13.(2015安徽,16,12分)在△ABC中,∠A=3π4,AB=6,AC=32解析设△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(32)2+62-2×32×6×cos3π4=18+36-(-36)=90,所以a=310又由正弦定理得sinB=bsin∠BACa=3由题意知0<B<π4,所以cosB=1-sin2在△ABD中,由正弦定理得AD=AB·sin=3cosB=考点二解三角形的综合应用1.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.

答案92.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=a2解析(1)证明:由题意及正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)由S=a24得12absinC=a因为B,C∈(0,π),所以C=π2当B+C=π2时,A=π当C-B=π2时,A=π综上,A=π2或π3.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=7.(1)求cos∠CAD的值;(2)若cos∠BAD=-714,sin∠CBA=21解析(1)在△ADC中,由余弦定理得cos∠CAD=AC2+AD2(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.因为cos∠CAD=277,cos∠BAD=-所以sin∠CAD=1-cos2∠CADsin∠BAD=1-cos2∠BAD于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BAD·cos∠CAD-cos∠BAD·sin∠CAD=32114×277--7在△ABC中,由正弦定理,得BCsinα=故BC=AC·sinα【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018天津南开二模,3)△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知b=5,c=2,cosB=23A.2B.3C.2D.3答案D2.(2018天津一中4月月考,4)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2=a2-2bc,A=2π3A.π6B.π6或3π4C.答案A3.(2018天津南开中学第四次月考,4)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=π3A.3B.932C.3答案C4.(2018天津河西一模,5)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2acosA=3A.53B.23C.3答案A5.(2018天津河东一模,3)△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,则△ABC的面积是()A.33B.332答案A6.(2017天津五校联考(2),5)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2=(b+c)2-4,△ABC的面积为3,则A等于()A.30°B.60°C.150°D.120°答案D7.(2017天津河西二模,5)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则A=()A.π6B.π4C.π答案C二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018天津和平二模,10)在△ABC中,AB=3,cosA=23,△ABC的面积S=352答案69.(2019届天津耀华中学统练(2),12)△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=3bc,sinC=23sinB,则A=.

答案π10.(2019届天津河西期中,13)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC答案1三、解答题(共60分)11.(2019届天津耀华中学第一次月考,15)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acosC+3asinC-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为3,求b,c.解析(1)由acosC+3asinC-b-c=0及正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC-sinB-sinC=0.因为B=π-A-C,所以3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0.由于sinC≠0,所以3sinA-cosA-1=0,即sinA-π6又0<A<π,故A=π3(2)△ABC的面积S=12bcsinA=3又a2=b2+c2-2bccosA,故b2+c2=8.解得b=c=2.12.(2019届天津一中月考,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-3sinA)·cosB=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范围.解析(1)由已知得-cos(A+B)+cosAcosB-3sinAcosB=0,即有sinAsinB-3sinAcosB=0,因为sinA≠0,所以sinB-3cosB=0,又cosB≠0,所以tanB=3,又0<B<π,所以B=π3(2)因为a+c=1,cosB=a2+c2-b22ac=12,所以a2+c因为a+c=1,所以0<a<1,于是有14≤b2<1,即有113.(2019届天津南开中学第一次月考,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且b-c=1,cosA=13,△ABC的面积为22(1)求a的值;(2)求cos2