海南省东方市2023年高考数学一模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

已知函数〃*=（=）ax

1.有三个不同的零点》,士心（其中勺<X]<X3）,则的值为（)

e

A.1B.-JC.aD.-a

2.已知复数二满足罟与=2-『（其中三为z的共轨复数），则目的值为（）

1-I

A.1B.2C.73D.6

f\7C71

3.已知函数/(X)=2COS[GX—耳)3>0)在一孑,上单调递增，则①的取值范围()

-21(21「2一

A.—,2B.I0,—C.—JD.(0,2]

,-------1

f(x)=\2x-3+---

4.函数。3的定义域为()

3

A.[2,3)U(3,+oo)B.(-00,3)U(3,+oo)

C.[2,4w)D.(3,+oo)

2

5.若AA8C的内角A满足sin2A=-§,则sinA-cosA的值为()

AV15RV15y/5n5

A.------B.-------Cr.-----D.--

3333

6.设等差数列{4}的前〃项和为S“，若％=2,4+4=5,则S$=()

A.10B.9C.8D.7

7.设集合A={1,2,3},8={x|f—2x+〃?=o},若AcB={3},则8=()

A.{-1,3}B.{-2,3}C.{-1,-2,3}D.{3}

8.“角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数〃，如果〃为偶数就除以2,如果"是奇数，就将其乘3再加1,

执行如图所示的程序框图，若输入〃=10,则输出i的（）

（开始）

I/=1I

ZEL

/输入”

/输出//

A.6B.7C.8D.9

9.已知数列｛4｝满足4=2,且4，%，包成等比数列•若｛凡｝的前〃项和为5〃，则S〃的最小值为（）

A.一10B.-14C.-18D.-20

10.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩（百分制）的茎叶图如图所示.

甲乙

69

6278

620878

0926

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；

②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；

③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；

④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.

以上说法正确的是（）

A.③④B.①②C.②④D.①③④

11.已知等差数列｛%｝中，4=7,%=15,则数列｛%｝的前10项和品,=（）

A.100B.210C.380D.400

12.3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（）

1111

A.-B.-C.-D.—

24510

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.已知椭圆rq+v\=l的左、右焦点分别为大、F?，过椭圆的右焦点鸟作一条直线/交椭圆于点。.则△耳尸Q

内切圆面积的最大值是.

14.已知实数。。0,对任意X£R,有。一公丫=%+4%+〃2工2+…+々515，且4%+。2=。，贝!I

%+4+%-----%_

15.已知多项式(1+0X)5(1-2x)4的各项系数之和为32,则展开式中含X项的系数为.

16.已知函数〃%)=加+bx2+%,若关于x的不等式/(x)〈0的解集是(-8,-l)u(0,2),则7的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知抛物线C：：/=4%的焦点为~,准线/与x轴交于点/，点尸在抛物线上，直线PE与抛物线C交

于另一点A.

(D设直线"P,M4的斜率分别为勺，k2,求证：勺+k2常数；

(2)①设MMA的内切圆圆心为G(a,6)的半径为r,试用厂表示点G的横坐标。；

②当APMA的内切圆的面积为1万时，求直线期的方程.

18.(12分)已知函数/(x)=gcos2x-sin2x,将/(x)的图象向左移a(a>0)个单位，得到函数y=g(x)的图

象.

TT

(1)若a="求y=g(x)的单调区间；

(2)若y=8(力的一条对称轴是％="，求y=g(x)在xe0,y的值域.

19.（12分）如图，在AABC中，AB>BC,ZABC=120°,AB=3,NABC的角平分线与AC交于点。，BD=1.

(I)求sinA；

(n)求ABCD的面积.

20.(12分)如图，在棱长为2力的正方形ABC。中，E,尸分别为CO,3c边上的中点，现以成为折痕将点C

旋转至点尸的位置，使得尸―E/—A为直二面角.

(1)证明：EF±PA；

(2)求P。与面AB尸所成角的正弦值.

21.(12分)已知数列的前〃项和为S“，且满足a“=gs“+l(/eN*).

(1)求数列｛qJ的通项公式；

(2)若a=log2。,,，。“=定一，且数列｛%｝前〃项和为7；,求7.的取值范围.

22.(10分)已知函数F(x)=—2x3+x2+2q,G(x)=alnx,设/(x)=F(x)-G(x).

6

(1)当。=一3时，求函数“X)的单调区间；

(2)设方程r(x)=c(其中c为常数)的两根分别为明尸(a<0,证明：尸(2¥]<0・

(注：广(x)是/'(X)的导函数)

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

KX（X\2QX

令构造要使函数〃+三一0有三个不同的零点勺42，七（其中勺<丫2<》3）,则方程/+3_°=0

ee\e/e

需要有两个不同的根，“2，贝U/=a2+4a>0>解得“>。或。<-4,结合g（x）=工的图象，并分a>0,a<-4两个情况分

e

Xj]2/X2\[叫

类讨论，可求出'-胃的值.

【详解】

XX<1-X,,

令｝=。构造的）=—»求导得g（X）=—7，当X</时，g（x）>Oi当X>/时，g（X）<0>

eee

故gO在（・00,1）上单调递增，在Q,+8）上单调递减，且x<0时，g㈤<0,》>0时，g（x）>0,gfx；niax=g（l）=可画

（x\2ax

出函数8㈤的图象（见下图），要使函数1+匚-。有三个不同的零点为，》?七（其中,<七<为），则方程

（/,+、=-a

「+af-a=0需要有两个不同的根//,，2（其中。<则/=a~+4a>0,解得a>。或Q<・4,且,_,

■,-1*2a

若°>0,即]j.；=_q<0,则//<0<，2<5贝㈣<0<七</<》3，且g&2）=g&3）=，2，

2

'x.\tx7\lx.\

故/-»71=（1—JO-，2）~=t7-（0+f）+v?]'=0+=A

、e/\e，八e\

+t2=-a>4i2

若a<-4,即由于g附阿=g（〃=-,故o+f,<-<4，故a<-4不符合题意，舍去.

【点睛】

解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.

2.D

【解析】

按照复数的运算法则先求出I，再写出匚，进而求出同.

【详解】

1+z(1+Z)22i.

'T^7­(i-z)(i+z)-T-/,

：.---z=2—z=>z-z=2—/=>£-=----=—z'(2—z)=—1—2z,

1-zi

z=-1+2in|z|=7(-l)2+22=旧.

故选：D

【点睛】

本题考查复数的四则运算、共朝复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.

3.B

【解析】

由——<X《一,可得——CO——<(DX——<—(0——，结合y=cosx在［-兀,0］上单调递增，易得

3233323

兀7C兀兀

一3"-0一31［―兀，°］，即可求出口的范围,

【详解】

,71717171717171

由——<X<一,可得——CD——<CDX——<—69——

3233323

(ITA「冗兀

x=0^/(0)=2cos--,WOG,

I"L3，一

71

又y=8sx在L-n,O］上单调递增，且一§e［-71,0］,

7171

---CD-2--—兀f/c

33a)<2

兀7T兀兀「er717122

所以一可刃一£'3G一£c［一兀,则<5。一.<)，即vG«一，故0<69<—.

DDNrD33

(y>0a)>0

故选:B.

【点睛】

本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.

4.A

【解析】

根据塞函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.

【详解】

5—；1.（2X-3>0

因为函数‘一八7+口声0,

3

x>-

解得2且“3；

____/[5\

f（x）=q2x-3+----U（3,+oo）

,:函数x-3的定义域为12/，故选A.

【点睛】

定义域的三种类型及求法：（1）已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式（组）求解；（2）对实际问题：由实际

意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解；（3）若已知函数介）的定义域为匕口则函数念G））的定义域由不等式

求出.

5.A

【解析】

21TT

由sin2A=2sinAcosA=——,得到sinAcosA=—上<0,得出Ae（2,i）,再结合三角函数的基本关系式，即可

332

求解.

【详解】

21

由题意，角A满足sin2A=2sinAcosA=——,则sinAcosA=--<0,

33

又由角A是三角形的内角，所以•㈤，所以sinA>cosA,

因为（sinA-cosA）-=l-2sinAcosA=l-（--1）=^,

所以sinA-cosA=

3

故选：4

【点睛】

本题主要考查了正弦函数的性质，以及三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的化简、求值问题，着重考查了推理

与计算能力.

6.B

【解析】

根据题意外="1+2d=2,q+%=2q+3d—5,解得％=4,d=—1»得到答案.

【详解】

%=q+2d=2,a1+&=2q+3"=5,解得q=4,d=—1,故§6=6q+15d=9.

故选：B.

【点睛】

本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.

7.A

【解析】

根据交集的结果可得3是集合3的元素，代入方程后可求加的值，从而可求8.

【详解】

依题意可知3是集合B的元素，即32-2x3+m=0,解得机=-3,由_?一2%一3=0,解得x=T,3.

【点睛】

本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.

8.B

【解析】

模拟程序运行，观察变量值可得结论.

【详解】

循环前i=l,〃=10,循环时：〃=5,i=2,不满足条件〃=1；n=16,i=3,不满足条件〃=1；”=8,i=4,不满

足条件〃=1；〃=4,i=5,不满足条件〃=1；〃=2,i=6,不满足条件〃=1；〃=l,i=7,满足条件〃=1,退出

循环，输出i=7.

故选:B.

【点睛】

本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论.

9.D

【解析】

利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得S“，再利用二次函数的性质，可得当〃=4或5时，S“取到最小值.

【详解】

根据题意，可知｛4｝为等差数列，公差d=2,

由4，%,4成等比数列，可得姆=4%，

，(q+4)2=卬(4+6),解得q=-8.

.0on(n-l)c2c/9.281

•.S——8〃H-------x2=〃-9〃=("—)---.

"224

根据单调性，可知当“=4或5时，S,,取到最小值，最小值为-20.

故选：D.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前八项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考

查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当〃=4或5时同时取到最值.

10.A

【解析】

由茎叶图中数据可求得中位数和平均数，即可判断①②③，再根据数据集中程度判断④.

【详解】

由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为气丝=81,乙同学成绩的中位数为2黄=87.5，故①错误；

1

察=-x(72+76+80+82+86+90)=81,石6-X(69+78+87+88+92+96)=85,则/〈和做②错误，③正确;

6

显然甲同学的成绩更集中，即波动性更小,所以方差更小，故④正确，

故选:A

【点睛】

本题考查由茎叶图分析数据特征，考查由茎叶图求中位数、平均数.

11.B

【解析】

设｛/｝公差为d,由已知可得%，进而求出｛4｝的通项公式，即可求解.

【详解】

设｛《,｝公差为d,々=7,%=15,

。2+。4=11,d=%%=4,

2

4,c10x（3+39）…

an—4〃—1,Si。=-----------=210.

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列的基本量计算以及前〃项和，属于基础题.

12.D

【解析】

把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件.计数后可求得概率.

【详解】

3本不同的语文书编号为ARC,2本不同的数学书编号为。力，从中任意取出2本，所有的可能为：

AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10个，恰好都是数学书的只有"一种，.•.所求概率为尸=、.

故选：D.

【点睛】

本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.巴

16

【解析】

令直线/：x=my+},与椭圆方程联立消去x得（3〉+4厅+6阳—9=0,可设尸（4%）,0（孙必），则

6m•可知S.F、PQ=；忻段E-引=J(X+%)2-4y%=12厂々+1

凹+乂=一

3/n2+43m~+42\(3m~+4

m2+l11

又/2△―1―：-16>故邑*Q<3.三角形周长与三角形内切圆的半径的积是三角

（3〃?+4）9（m+1）+—+6

形面积的二倍,则内切圆半径其面积最大值为意.故本题应填答.

点睛：圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑

利用图形性质来解决，这就是几何法.（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目

标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法，判别式法，重要不等式及函数的单调性法等.

14.-1

【解析】

由二项式定理及展开式系数的求法得4c(-4+C；(-4=0,又。工0,所以a=2,令X=1得：

(l-2xl)s=%+q+/+/+4+%，所以%+q+见+4+q+4=T，得解.

【详解】

525

由(1-ax)=an+OyX+a2x+...+a5x,且4q+«2=0,

则4c(-4+C；(-a)2=0,

又a。0,

所以a=2,

令x=1得：

(1一2x1)'=%+q+%+/+q+外,

所以“o+4+外+4+%+%=—1，

故答案为：一1.

【点睛】

本题考查了二项式定理及展开式系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15.-3

【解析】

令x=1可得各项系数和为(1+4)5(1-2)4=32,得出。=1，根据第一个因式展开式的常数项与第二个因式的展开式含

x一次项的积与第一个因式展开式含x的一次项与第二个因式常数项的积的和即为展开式中含x项，可得解.

【详解】

令X=1,

则得(1+0)5(1-2)4=32,

解得a=l,

所以(1+x)5(1-2x)4展开式中含x项为：1xC：(—2x)+(C；x)x1=—8x+5x=-3x,

故答案为：-3

【点睛】

本题主要考查了二项展开式的系数和，二项展开式特定项，赋值法，属于中档题.

16.-3

【解析】

根据题意可知依2+版+c=。的两根为-1,2,再根据解集的区间端点得出参数的关系，再求解”工即可.

a

【详解】

解：因为函数/(工)=公3+法2+B=X(OT2+/zr+c),

:关于x的不等式〃司v()的解集是(-1)u(0,2)

ox?+Zzx+c=O的两根为：T和2；

所以有：(-1)+2=-2且(-1)x2二一；

aa

。且c=~2a；

b+c-a-2a

----=--------=-3o；

aa

故答案为：-3

【点睛】

本题主要考查了不等式的解集与参数之间的关系，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析；(2)®a=—；②x士叵y-l=0.

48

【解析】

(1)设过尸的直线％=冲+1交抛物线于P(M，X),4%,%)，联立y2=4x,利用直线的斜率公式和韦达定理表

示出4+左2,化简即可；

(2)由(1)知点G在X轴上，故G(a,o),设出直线P4,PM方程，求出交点P坐标，因为内心到三角形各边的距

离相等且均为内切圆半径，列出方程组求解即可.

【详解】

⑴设过尸的直线％=冲+1交抛物线于P(M，X),A(x2,y2),M(-l,0)

2

联立方程组12-，得：y-4my-4=Q.

工n七卜|+必=4相

于是，有：＜,

l九小二-4

...k]+k2=+%=*2++M+%

XX

-Xj+1x2+1玉+尤2+l2+]’

又+%内+y+%=；・%%（,+%）+（、+%）=；・（-4）・4/"+4〃7=0，

「・&]+氏2=0；

/、fx=my+]

（2）①由⑴知点G在X轴上，故G（a,o）,联立PAPM的直线方程：\

x=ny—l

（〃2+〃2、

■-P\-----，又点P在抛物线V=4X上，得/一加2=1,

\n-mn-m）

（〃，）=（叶=

|a-l||«+1|/•2l+a—2

又==f"=4Q,

VI+mVl+«’（l+“2）=（a+l）2

.二Cl——；

4

②由题得，S=7rr2=-^r2=-^a=-

228

（解法一）

司（"加2

nm=±叵

8

所以直线Q4的方程为x士华y-l=O

（解法二）

设内切圆半径为，则厂=变.设直线9的斜率为3贝U：

2

直线的方程为：y=Hx+D代入直线B4的直线方程,

可得咤祟合

2k,.1+mk

于是有:------Y2=4---------

1—mk1-mk

得二（1+m2）=],

'上L交

2

又由(1)可设内切圆的圆心为90).则〈

k«+i)l=近，

j+/一三

1

t=-

1+m2=2(/-1)28

即：〈

W)*+仁解得:上用

m=±-----

8

所以，直线Q4的方程为：x±Y34y-l=O.

8

【点睛】

本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线相关的综合问题的求解，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.

18.⑴增区间为.万一附，匕,减区间为，乃左乃+*)(&eZ)；(2)

36

【解析】

(1)由题意利用三角函数图象变换规律求得y=g(x)的解析式，然后利用余弦函数的单调性，得出结论;

(2)由题意利用余弦函数的图象的对称性求得a,再根据余弦函数的定义域和值域，得出结论.

【详解】

由题意得/(x)=2cos2x+,

I。

(1)y=/(x)向左平移4个单位得到g(x)=2cos2x+—+—=2cos2x+—,

4LV6J\3J

27r5nrr

增区间：解不等式一万+2左乃＜2*+：＜2匕1(左eZ),解得女万一葺—；(keZ),

2万jrjr

减区间：解不等式2%万＜2%+号＜2左乃+万(2€2),解得左左一\+左万(ZeZ).

I57rTCI

综上可得，＞=8(制的单调增区间为卜乃一泊«万一3_)(我2),

减区间为(左万一2,后万+.J(keZ)；

(2)由题易知，g(x)=2cosI2.x+—+2aI,

因为y=g(%)的一条对称轴是*=。，

所以弓+乙+2。=女乃，keZ,解得。=红一X,攵eZ.

6626

又因为ae[o,1,所以a=即g(x)=2cos(2x+5%

T

E、rc冗c、兀>7111；贝！1cos伍+包卜-1,—

因为xe0,-'所以"+小，-

TI6；2

所以>=g(x)在xe0,1的值域是卜2,6].

【点睛】

本题主要考查三角函数图象变换规律，余弦函数图象的对称性，余弦函数的单调性和值域，属于中档题.

⑼⑴答(II)孚.

【解析】

试题分析：(I)在ZVLBO中，由余弦定理得A£>=J7,由正弦定理得些=―些一，可得解;

sinAsin/ABD

(n)由(I)可知cosA,进而得sinC,在ABCD中，由正弦定理得BC,所以凶8的面积

S=-xBDxBCxsinNCBD即可得解.

2

试题解析：

(I)在AARD中，由余弦定理得

AD2=AB2+BD2-2ABxBDxcosZABD=9+l-2x3xlx-=7,

2

,由正弦定理得丝ADBOxsinZABD6

所以AD=J7所以sinA=

sinAsinZABDAD―2币-14

(U)由(I)可知cosA=Jl-sin2A=宗.

在AABC中,sgsiMg小争片;嚼考

qABBCbyABxsiM3

在MCE)中，由正弦定理得.二二^~7,所以3C=-；—=—.

smCSIIL4sinC2

所以AfiCD的面积S=』xBDxBCxsinNCB£>=Lxlx3x^=^.

22228

20.（1）证明见详解；（2）逅

6

【解析】

（1）在折叠前的正方形ABC。中，作出对角线AC,BD,由正方形性质知AC,30,又EFHBD,则AC_L£F于

点”，则由直二面角可知面ABEFD,故PH_LEF.又AH工EF，则所_L面Q4H，故命题得证；

（2）作出线面角/也月，在直角三角形中求解该角的正弦值.

【详解】

解：（1）证明：在正方形ABC。中，连结AC交所于H.

因为ACA.BD,EF〃BD,故可得AC_LEE,

即所_LAH,EE_LC〃

又旋转不改变上述垂直关系，

且A〃,C”u平面PAH,

.•.£7」面24”,

又•.•Q4u面Q4H，所以所_LB4

<2）因为尸一所一A为直二面角，故平面。石尸，平面AEE,

又其交线为EF，且PH±EF,PHu平面PEF,

故可得PH_L底面A3产，

连结£>〃，则NBC归即为与面A8/所成角，连结8D交AH于。,

在RtAODH中,

DH