湖南省衡阳市2022年高一数学第一学期期末监测模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处二

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的

1.若关于、.的方程在区间（0」：上有解，则实数不的取值范围是

人.m

lOgiX=—

071-m

A-(0,l)

C,(-oo,1)u(2,+s)0)u(l,+c»)

2.已知偶函数/（x）在区间（F,0］单调递减，则满足l）W/（x）的“取值范围是（）

A.[l,+oo)B.(-oo,l]

D.—,1

n

工若函数y=sin2x的图像向左平移了个单位得到），=/（幻的图像'则

A./(x)=cos2xB.=sin2x

C.f(x)=-coslxD./(x)=-sin2x

4,若过两点A（4,y）,B（2,-3）的直线的斜率为1,则丁等于。

A6R6

22

C.-lD.1

5.已知向量2=(0,-1),B=(一；,g],则下列结论正确的是O

C.[a-b]LbD.\a-b\=]^\

97r

6.下列与彳的终边相同的角的集合中正确的是o

o

A.{a|a=227r+45°(后GZ)1aa=女・3600+工)(女EZ)>

C.{a|a=h360O-315o(ZwZ)}D.<aa=k7r+-^~(kGZ)>

7.在AABC中，下列关系恒成立的是

A.tan(A+B)=tanCB.cos(A4-B)=cosC

A+BCD.cosA±^.£

C.sin=sin—sin

2222

8.复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱

1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或

者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息()元.(参考数据:

1.02254=1.093,1.02255=1,117,1.04014=1.170,1.04015=1.217)

A.176B.100

C.77D.88

9.函数/(x)图象大致为()

x+\

10.函数，(x)=ln(x+7PTT}sinx的图象大致形状为()

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

x2+(4a-3)x+3a,x<0

11.已知函数/(尤)=,(a>0且力1)在H上单调递减，且关于x的方程|/(到=2-x

log“(x+1)+1,x..0

恰有两个不相等的实数解，则。的取值范围是.

12.两条直线x+2y+2=0与ox+4y-2=()互相垂直，贝!|4=

13.定义max{a,b}为a,Z>中的最大值，函数/(x)=max{log2(x+l),2-x,}(x>-l)的最小值为c,如果函数

3

g(x)=6Tx+—,x>c、

4在R上单调递减，则实数机的范围为.

m,x<c

14.已知sine-3cosa=0,则si/a+sin2a

15.已知函数2X-1-)

f(%)

+1)/>-1

16.如图，在直四棱柱ABC。-ABC。中，当底面A8C。满足条件.时，有A,。J.用R.(只需填写一

种正确条件即可)

45

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知向量之=(2cosx,l),5=(cosx,J^sin2x+/〃)，函数.f(x)=a石

(1)若xeR时，不等式-3</(x)<3恒成立，求实数，”的取值范围;

(2)当x«0,句时，讨论函数/⑴的零点情况.

18.设集合A=1x|x2-》一2<0|},3={幻(%—。)(九一3。)<0,々>0},语句语句

(1)当。=1时，求集合A与集合8的交集；

(2)若2是4的必要不充分条件，求正实数。的取值范围.

19.如图，已知四棱锥P—ABC。中，底面ABCO为平行四边形，氤M,N,。分别是尸A,BD，PD的中点

(1)求证：MN//平面PCD;

(2)求证：平面MNQ//平面P8C

20.上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间

隔f(单位：分钟)满足2WY20,reN",经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔f相关，当10W20

时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当2W/<10时，载客量会减少，减少的人数与(10-。的平方成正比，且

发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p(t).

(1)求P⑺的解析式；

(2)若该时段这条线路每分钟的净收益为。=纹”里竺-360(元)，问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线

t

路每分钟的净收益最大？

21.设函数f(x)=1--(x>0)

X

(1)作出函数/Xx)的图象；

(2)当0<水6,且F(a)=F(b)时，求上+?的值；

an

(3)若方程f[x)=必有两个不相等的正根，求〃的取值范围

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的

1、A

【解析】由题意可得：函数在区间⑴，1、上的值域为，0,

y=logi,x''

..实数T：的取值范围是加，D

故选A

点睛：本小题考查的是学生对函数最值的应用的知识点的掌握.本题在解答时应该先将函数在区间「0,1)上

)'=I。"X'

的值域求出，即可得到关于出的不等关系，从而即可解得实数*的取值范围

2、D

【解析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得f(|2x-l|)<f(|x|),即|2x-l|4|x|,gp(2x-l)2<x2,解

不等式可得x的取值范围，即可得答案

【详解】根据题意，偶函数/(x)在区间(y,0］单调递减，则/(x)在［0,”)上为增函数，

则〃2x-l)<〃x)=/(|2L(k|)=|2l<W=(2x-l)24x2,

解可得：1<%<1,

即X的取值范围是1,1;

故选〃

【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性综合应用，注意将/(2x-l)w/(x)转化为关于X不等式，属于基础题

3、A

TT

【解析】函数y=s%2x的图象向左平移:个单位，得到的图象对应的函数为：

4

/(x)=sin2(x+—)=sin(2x+—)=cos2x

本题选择A选项.

4、C

【解析】根据斜率的计算公式列出关于y的方程，由此求解出y.

【详解】因为颔8=手；=1，所以丁=一1，

2-4

故选：C.

5、B

【解析】采用排除法，根据向量平行，垂直以及模的坐标运算，可得结果

【详解】因为Oxg—(—1)x(—

所以A不成立；

由题意得：

所以B成立;

由题意得：

所以C不成立;

因为归一小日弓邛卜Fl，

所以忖一加卜恸，所以D不成立.

故选：B.

【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，属基础题.

6、C

【解析】由任意角的定义判断

O""OJT

【详解】上2d=405°=720°-315°,故与其终边相同的角的集合为｛。|。=三+2版■次eZ｝或

44

{a|a=-315°+h360°,左GZ}

角度制和弧度制不能混用，只有C符合题意

故选：C

7、D

【解析】利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为兀，逐个去分析即可选出答案

【详解】由题意知，在三角形ABC中，A+B+C=7i,

对A选项，tan（A+B）=tan（7€-C）=-tanCHtanC,故A选项错误；

对B选项，cos（A+B）=cos（7t-C）=-cosC^cosC,故B选项错误；

对C选项，sin=sin=cos-sin-,故C选项错误；

2222

A+B兀一CC

对D选项，cos-----=cos-----=sin—,故D选项正确.故选D.

222

【点睛】本题考查了三角函数诱导公式，属于基础题

8、B

【解析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可

得到答案

【详解】由题意，某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%,若在银行存放5年，可得金额为

4=1000（1+2.25%）5=1117元，即利息为117元，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝时，利率可达4.01%,若

存放5年，可得金额为d=1000（l+4.01%）5=1217元，即利息为217元，所以将这1000元选择合适方式存满5年,

可以多获利息217-117=100元，故选B

【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项

公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题

9、A

【解析】根据函数图象的特征，利用奇偶性判断，再利用特殊值取舍.

5m（—%）

【详解】因为/（r）=/1=-/（力

（-X）+1

所以/（X）是奇函数，排除B,C

故选：A

【点睛】本题主要考查了函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

10、A

【解析】首先判断函数的奇偶性，再利用工£（（）,»）上的函数值的正负即可判断；

【详解】解：因为“力二历卜+^^卜由X，定义域为R,且

/（一x）=In[-X+sin（-x）

_____/]\_____

=-lnl+1I-sinx=-In------———sinx=ln（x+Jx2+1）・sinx=/（x）

\'<X+VA：24-1）\）

所以/"”也1+百口卜缶》为偶函数，函数图象关于），轴对称，故排除8、D；

又当xe（0,万）时sinxe（0,l],x2G（0,^2）,%2+1e（l,^2+1）,所以4+1>1，则x+GTT>l，所以

ln（x+V7+T）>0,所以/（x）>0,即可排除C；

故选:A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

123

11、5

334

【解析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出。的大致范围，再根据/（x）为减函数，得到不等式组，利用

函数的图象，方程的解的个数，推出。的范围

X2+(4a—3)x+3a,x<0

【详解】函数〃力=<(。>0且aw1),

log„(x+l)+l,x.O

UM

2

在R上单调递减,则:0<a<1

2

0+(4a-3)-0+3«>log,,(0+l)+l

!3

解得，彳领b-

34

由图象可知，在[0,+8）上，|/（刈=2-%有且仅有一个解,

故在（一甩0）上，|/（x）|=2—x同样有且仅有一个解，

当3a>2即4>§时,联立,2+（44-3卜+34=2-%,

93

则A=（4Q—2）—4（3。-2）=0,解得或1（舍去），

当lW3aW2时由图象可知，符合条件,

-121⑶

综上：。的取值范围为u-.

_D3JI-J

故答案为~1岛21⑶

【点睛】本题考查函数的单调性和方程的零点,对于分段函数在定义域内是减函数，除了每一段都是减函数以外,还要注

意右段在左段的下方，经常会被忽略，是一个易错点；复杂方程的解通常转化为函数的零点，或两函数的交点，体现了数学

结合思想，属于难题.

12、-8

【解析】先分别求出两条直线的斜率，再利用两条直线垂直的充要条件是斜率乘积等于-1,即可求出结果

【详解】•.•直线x+2y+2=0的斜率4=_』，直线方+4)，—2=0的斜率％,=_幺，

24

且两直线x+2y+2=0与ax+4y-2=0互相垂直，

匕&2=-1，・'•(一］卜］一,解得。=一8,故答案为一8

【点睛】本题主要考查两直线垂直的充要条件，属于基础题.在两条直线的斜率都存在的条件下，两条直线垂直的充要

条件是斜率乘积等于-1

13、同

【解析】根据题意，将函数/(x)写成分段函数的形式，分析可得其最小值，即可得c的值，进而可得

(2/n-l)<0

/、(2加-1)XH—

g(x)=f)4,由减函数的定义可得,0<m<l,解得加的范围，即可得答案

mx,x<13

+—<m

【详解】根据题意，/(x)=max{log2(x+l),2—x,}(x>—1),

2-x,x<l

则r(x)=(/、，

例2(%+1)，

根据单调性可得/(x)先减后增，所以当x=l时，/(X)取得最小值2,则有c=l,

,3

则g(x)=<®"—l卜+"“21,因为g(x)为减函数，

mx,x<1

(2?7:-1)<0

必有《0<m<l

3

+—<m

解可得：OVmW」,即m的取值范围为(0,：；

4

故答案为„.

【点睛】本题考查函数单调性、函数最值的计算，关键是求出c的值.

14、-##1.5

2

【解析】首先根据同角三角函数的基本关系求出tana,再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最

后代入计算可得;

sincif

【详解】解：因为sina-3cosa=(),所以tana=------=3,所以sin?a+sin2a=sin2a+2sinacosa

cosa

sin*2<z+2sinacosa

sin2<z+cos2a

_tan2a+2tana

tan2a+1

32+2X33

32+l~2

3

故答案为：4

2

15、2

【解析】根据自变量的范围，由内至外逐层求值可解.

【详解】V-1<-1

.•./(-1)=(-1)2-2X(-1)=3

又

，/(/(—D)=/(3)=log2(3+l)=log24=2

故答案为：2.

16、ACJ_a>(答案不唯一)

【解析】直四棱柱ABCO-ABCQ,AC是AC在上底面A4GA的投影，当旦。时，可得ACJ.反〃，

当然底面ABCD满足的条件也就能写出来了.

【详解】根据直四棱柱ABC。—44G2可得：BB,〃DD\,且BBi=DQ,所以四边形BBQD是矩形，所以

BD〃B、D\,同理可证：AC//Ac>>当Ac，应)时，可得：且CG，底面A£G2,而gqu底

面A£GQ,所以cqiBQi，而AGncc=G，从而与2,平面ACG，因为ACu平面ACG，所以

AC_L4A，所以当AC_L8。满足题意.

故答案为：AC1BD.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)-2<m<0；(2)见解析

【解析】⑴由题意得/(无)=2疝(2%+今)+m+1,结合不等式恒成立，建立m的不等式组，从而得到实数用的取

值范围；

(2))令/(力=()得：2sin(2x+")=F-l,即sin(2x+V)=?!二|，对m分类讨论即可得到函数/(x)的零点

情况.

【详解】(1)由题意得，/(x)=5•^=2COS2X+V3sin2x4-m

.二/(x)=>/5sin2x+cos2x+/%+1=2sinl2x+^-l+m+l

当xwR时，vsinI2x+^je

/./(x)e[m-l,m+3],又一3v/(x)<3恒成立，则，

m+3<3

解得：-2<m<0

⑵令/(x)=0得：2sin2x+?=-机一1,得:sinf2x+—-m-1

I62

7113万人c乃万137r,--m-\

・.・工£[0,4]「・2x+?£令u=2xH—e—,---,贝!]sinu=------

~6'~6~6166」2

“由图知：

—AT?—1—777—1

1。当」—>1或」一<-1,即m<—3或加>1时，0个零点；

22

o当士」=1或二二1=一1,即加=_3或〃2=1时，1个零点；

22

I—1/77—1i

3。当上<一巴」<1或_1<一”」<上，即一3<m<—2或—2<1时，2个零点；

2222

4。当二^Z1=_L,即加=—2时，3个零点.

22

综上：1°加<—3或加>1时，0个零点；

2。加=一3或机=1时，1个零点；

3°-3<〃?<一2或一2<〃?<1时，2个零点；

4°加=一2时，3个零点.

【点睛】本题考查三角函数的图像与性质的应用，三角不等式恒成立问题，函数的零点问题及三角函数的化简，属于

中档题.

18、(1){x|l<x<2}；

【解析】（1）解一元二次不等式求集合A、B,应用集合的交运算求交集即可.

（2）根据必要不充分关系有8噎A,即可求。的范围.

【小问1详解】

由题设，A={x|-l<x<2},当。=1时8={x[l<x<3},

所以An5={x[l<x<2}

【小问2详解】

由题设，B={x\a<x<3«},且A={x|-1<x<2},

na[3〃422

若"是4的必要不充分条件，则8U4,又“为正实数，即｛,解得。<。<彳，

*[a>03

故。的取值范围为(o,g.

19、(1)见解析(2)见解析

【解析】(1)根据三角形的中位线，可得MN//PC,由此证得MN//平面PCD.(2)利用中位线证明

MQ//AD,ADHBC,故MQ//BC,由⑴得MN//PC,证明MN,MQ分别平行于平面，由此可得平面

MNQ//平面PBC.

【详解】(1)由题意：四棱锥P-ABCD的底面A3CO为平行四边形，点M,N,。分别是融，BD，的中

点，

N是AC的中点，

：.MNIIPC,

又PCu平面PCD,MNz平面PCD,

MN//平面PCD

(2)由(1),知MNI/PC,

,:M,。分别是24,PO的中点，

:.MQ//AD//BC,

又VMQa平面PBC,BCu平面PBC,

：.MQ//平面PBC

同理MN//平面PBC,MQ1平面MNQ,A/Nu平面MNQ,MQcMN=M,

平面版VQ//平面PBC

【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，考查面面平行的判定定理.要证明线面平行，需在平面内找到一条直线和

要证的直线平行，一般寻找的方法有三种：一是利用三角形的中位线，二是利用平行四边形，三是利用面面平行.要证

面面平行，则需证两条相交直线和另一个平面平行.

-20/+200/+200,?4,<

20、(1)p«)=<QeN")；(2)6分钟.

1200,?-420

【解析】(i)2W