高二数学寒假讲义练习（人教B用 选择性必修一）第03讲 圆锥曲线（学生卷）

第03讲圆锥曲线【易错点总结】1.椭圆的定义如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距.其数学表达式：集合M＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则点P的轨迹为椭圆；(2)若a＝c，则点P的轨迹为线段；(3)若a＜c，则点P的轨迹不存在.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b22.双曲线的定义一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距.其数学表达式：集合M＝{P|||PF1|－|PF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)若a<c，则点P的轨迹为双曲线；(2)若a＝c，则点P的轨迹为两条射线；(3)若a>c，则点P的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b23.抛物线的定义(1)一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下【重难点剖析】考点一：椭圆方程及其性质1．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则点到另一个焦点的距离是（

）A．6 B．26 C．4 D．142．己知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．36 B．25 C．20 D．163．已知椭圆的一个焦点为，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．4．已知为圆的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．5．设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．考点二：双曲线方程及其性质6．一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（

）A． B．C． D．7．设，分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则（

）A． B．的焦距为C．的离心率为 D．的面积为8．已知是双曲线的左、右焦点，点M是过坐标原点O且倾斜角为60°的直线l与双曲线C的一个交点，且则双曲线C的离心率为（

）A．2 B． C． D．9．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线C的一条渐近线方程为（

）A． B． C． D．10．设为坐标原点，为双曲线的两个焦点，为双曲线的两条渐近线，垂直于的延长线交于，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．考点三：抛物线方程及其性质11．已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．812．已知点P在抛物线上．若点P到抛物线焦点的距离为4，则点P的坐标是（

）A． B． C．或 D．13．已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（

）A． B． C．2 D．14．如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为（

）A．1 B．2 C．3 D．415．已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（

）A． B． C． D．【基础过关】一、单选题1．若是椭圆上动点，则到该椭圆两焦点距离之和是（

）A． B． C． D．2．是抛物线上一点，是抛物线的焦点，则（

）A． B．3 C． D．43．双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．4．双曲线的方程为​，则该双曲线的离心率为（

）A．​ B．​C．​ D．​5．已知直线与抛物线交于，两个点，求线段长（

）A．4 B． C．2 D．206．直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的取值范围为（

）A．或 B．C． D．7．已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则（

）A． B． C． D．8．已知双曲线（a＞0，b＞0）与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（

）A．（1，） B．（1，] C．（，＋∞） D．[，＋∞）二、多选题9．已知曲线，下列说法正确的是（

）A．若，，则是两条直线B．若，则是圆，其半径为C．若，则是椭圆，其焦点在轴上D．若，则是双曲线，其渐近线方程为10．已知点在双曲线上，分别是左､右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（

）A．点到轴的距离为B．C．为钝角三角形D．三、填空题11．抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为___________.12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的弦．则的长是________．四、解答题13．已知椭圆的四个顶点构成的四边形的面积为，离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C右焦点且倾斜角为的直线l交椭圆C于M、N两点，求的值．14．已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值.15．已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求的方程；(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.【能力提升】一、单选题1．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为（

）A． B． C． D．2．已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（

）A． B．C． D．3．设，分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则（

）A． B．的焦距为C．的离心率为 D．的面积为4．已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点，则过作倾斜角为45°的直线分别交抛物线于，（在轴上方）两点，则的值为（

）A． B． C．3 D．45．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，为坐标原点．若，且的面积为，则点的纵坐标为（

）A． B． C． D．二、填空题6．第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为______．7．已知抛物线C：，点，O是坐标原点，A，B，M，N是抛物线C上的四个动点，，过点P分别作，的垂线，垂足分别为E，F，则点距离的最大值为__________．三、解答题8．已知椭圆离心率为，左右顶点，.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率