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文档简介
第03讲圆锥曲线【易错点总结】1.椭圆的定义如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个常数,且2a>|F1F2|,则平面内满足|PF1|+|PF2|=2a的动点P的轨迹称为椭圆,其中两个定点F1,F2称为椭圆的焦点,两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距.其数学表达式:集合M={P||PF1|+|PF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:(1)若a>c,则点P的轨迹为椭圆;(2)若a=c,则点P的轨迹为线段;(3)若a<c,则点P的轨迹不存在.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1(a>b>0)图形性质范围-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|=2c离心率e=eq\f(c,a)∈(0,1)a,b,c的关系c2=a2-b22.双曲线的定义一般地,如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个正常数,且2a<|F1F2|,则平面上满足||PF1|-|PF2||=2a的动点P的轨迹称为双曲线,其中,两个定点F1,F2称为双曲线的焦点,两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距.其数学表达式:集合M={P|||PF1|-|PF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.(1)若a<c,则点P的轨迹为双曲线;(2)若a=c,则点P的轨迹为两条射线;(3)若a>c,则点P的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)eq\f(y2,a2)-eq\f(x2,b2)=1(a>0,b>0)图形性质范围x≥a或x≤-a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±eq\f(b,a)xy=±eq\f(a,b)x离心率e=eq\f(c,a),e∈(1,+∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长度|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长度|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2=a2+b23.抛物线的定义(1)一般地,设F是平面内的一个定点,l是不过点F的一条定直线,则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线,其中定点F称为抛物线的焦点,定直线l称为抛物线的准线.(2)其数学表达式:{M||MF|=d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴y=0x=0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2),0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(p,2),0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,-\f(p,2)))离心率e=1准线方程x=-eq\f(p,2)x=eq\f(p,2)y=-eq\f(p,2)y=eq\f(p,2)范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R开口方向向右向左向上向下【重难点剖析】考点一:椭圆方程及其性质1.如果椭圆上一点到焦点的距离等于6,则点到另一个焦点的距离是(
)A.6 B.26 C.4 D.142.己知是椭圆的两个焦点,点在上,则的最大值为(
)A.36 B.25 C.20 D.163.已知椭圆的一个焦点为,则椭圆C的离心率为(
)A. B. C. D.4.已知为圆的一个动点,定点,线段的垂直平分线交线段于点,则点的轨迹方程为(
)A. B.C. D.5.设分别是椭圆的左、右焦点,若在其右准线上存在P,使线段的中垂线过点,则椭圆离心率的取值范围是(
)A. B. C. D.考点二:双曲线方程及其性质6.一动圆过定点,且与已知圆:相切,则动圆圆心的轨迹方程是(
)A. B.C. D.7.设,分别是双曲线的左、右焦点,过作轴的垂线与交于,两点,若为正三角形,则(
)A. B.的焦距为C.的离心率为 D.的面积为8.已知是双曲线的左、右焦点,点M是过坐标原点O且倾斜角为60°的直线l与双曲线C的一个交点,且则双曲线C的离心率为(
)A.2 B. C. D.9.已知双曲线的一个焦点为,则双曲线C的一条渐近线方程为(
)A. B. C. D.10.设为坐标原点,为双曲线的两个焦点,为双曲线的两条渐近线,垂直于的延长线交于,若,则双曲线的离心率为(
)A. B. C. D.考点三:抛物线方程及其性质11.已知抛物线:的焦点为,抛物线上有一动点,,则的最小值为(
)A.5 B.6 C.7 D.812.已知点P在抛物线上.若点P到抛物线焦点的距离为4,则点P的坐标是(
)A. B. C.或 D.13.已知直线和直线,则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是(
)A. B. C.2 D.14.如图,过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,准线与对称轴交于点M,若,且,则p为(
)A.1 B.2 C.3 D.415.已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于,抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为(
)A. B. C. D.【基础过关】一、单选题1.若是椭圆上动点,则到该椭圆两焦点距离之和是(
)A. B. C. D.2.是抛物线上一点,是抛物线的焦点,则(
)A. B.3 C. D.43.双曲线的渐近线方程为(
)A. B.C. D.4.双曲线的方程为,则该双曲线的离心率为(
)A. B.C. D.5.已知直线与抛物线交于,两个点,求线段长(
)A.4 B. C.2 D.206.直线与双曲线的左、右两支各有一个交点,则的取值范围为(
)A.或 B.C. D.7.已知为双曲线的左、右焦点,点在双曲线上,且,则(
)A. B. C. D.8.已知双曲线(a>0,b>0)与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为(
)A.(1,) B.(1,] C.(,+∞) D.[,+∞)二、多选题9.已知曲线,下列说法正确的是(
)A.若,,则是两条直线B.若,则是圆,其半径为C.若,则是椭圆,其焦点在轴上D.若,则是双曲线,其渐近线方程为10.已知点在双曲线上,分别是左、右焦点,若的面积为20,则下列判断正确的有(
)A.点到轴的距离为B.C.为钝角三角形D.三、填空题11.抛物线的焦点为,为抛物线上一动点,定点,则的最小值为___________.12.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过作斜率为的弦.则的长是________.四、解答题13.已知椭圆的四个顶点构成的四边形的面积为,离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C右焦点且倾斜角为的直线l交椭圆C于M、N两点,求的值.14.已知抛物线()的焦点为,点为抛物线上一点,且.(1)求抛物线的方程;(2)不过原点的直线:与抛物线交于不同两点,,若,求的值.15.已知双曲线的一条渐近线方程为,一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求的方程;(2)经过点的直线交于两点,且为线段的中点,求的方程.【能力提升】一、单选题1.设F为抛物线的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A,B两点,O为坐标原点,则的面积为(
)A. B. C. D.2.已知双曲线:的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点,则的方程为(
)A. B.C. D.3.设,分别是双曲线的左、右焦点,过作轴的垂线与交于,两点,若为正三角形,则(
)A. B.的焦距为C.的离心率为 D.的面积为4.已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点,则过作倾斜角为45°的直线分别交抛物线于,(在轴上方)两点,则的值为(
)A. B. C.3 D.45.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点,为坐标原点.若,且的面积为,则点的纵坐标为(
)A. B. C. D.二、填空题6.第24届冬奥会,是中国历史上第一次举办的冬季奥运会,国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆,若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC,BD,且两切线斜率之积等于,则椭圆的离心率为______.7.已知抛物线C:,点,O是坐标原点,A,B,M,N是抛物线C上的四个动点,,过点P分别作,的垂线,垂足分别为E,F,则点距离的最大值为__________.三、解答题8.已知椭圆离心率为,左右顶点,.(1)求椭圆的方程;(2)过点作斜率
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