嘉峪关市重点中学2022-2023学年数学高一年级上册期末监测试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）

1.如图，在正三棱锥。一ABC中，ADVDC,点F为棱AC的中点，则异面直线。尸与A3所成角的大小为（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

2.已知是函数/（x）=10'的反函数，则/T⑴的值为（）

A.OB.1

C.10D.100

3,函数/（x）=cos2什2s,7u的最小值和最大值分别为（）

A.-3,1B.12,2

33

C.-3,—D.-2,一

22

4.函数丁=1+。与＞=〃-]（。＞0且。¥1）在同一坐标系中的图象可能是（）

5.设向量,B不共线，向量4+5与2M—防共线，则实数%=（）

A.-2B.-1

C.1D.2

6.给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直

其中，为真命题的是

A.①和②B.②和③

C.③和④D.②和④

7.在①11{0,1,2}；②{l}e{0,l,2}；③{0,1,2}1{0,1,2}：④0q{。}上述四个关系中,错误的个数是()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

8.设集合A={x[—5={-1,1,2,3},贝iJ@A)nB=()

A.{-1,2,3}B.{1,2,3}

9.函数y=sinx-xcosx的部分图象是。

10.祖眠原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题.内容为：“幕势既同，则积不容异”.“第”是截面积，“势”

是几何体的高.意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，体积相等.设A,5为两个等高的几何体，P：

4、8的体积相等，q：A、8在同一高处的截面积相等.根据祖昭原理可知，p是g的O

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）

7T

11.已知一个扇形的面积为彳，半径为2,则其圆心角为.

12

12.若a>0,b>（）92a+b=69则一+—的最小值为___.

ab

13.在平面直角坐标系xOy中，设角。的始边与工轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线。尸绕坐

呜3

标原点。按逆时针方向旋转一后与单位圆交于点.那么s1％==

x2

14.已知函数,/'（x）=Asin3x+。）（xeH,A>O,0>O,冏<］）的部分图象如图所示，则八幻的解析式是

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

冗.4

16.已知0<2<一,sina=一,

⑴求tana的值;

sin(a+;r)-2cos—+

(2)求')12J的值;

-sin(-a)+cos(乃+a)

⑶求sin(2a+；］的值.

17.某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第八个月的月平均最高气温G(〃)可近似地用

函数G(〃)=Acos(o〃+⑼+/来刻画，其中正整数〃表示月份且［1,12］,例如〃=1表示1月份，A和女是正整数，

啰>0,。6(0,兀).统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温基本相同，1月份的月平均最高气温为3摄氏

度，是一年中月平均最高气温最低的月份，随后逐月递增直到7月份达到最高为33摄氏度.

(1)求G(〃)的解析式；

(2)某植物在月平均最高气温低于13摄氏度的环境中才可生存，求一年中该植物在该地区可生存的月份数.

18.若向量1=(sinx,cosx),b=(cosx,-cosx),的最大值为今-

(1)求，的值及图像的对称中心；

1jr1\jr

(2)若不等式及一在xe上恒成立，求利的取值范围

19.现有三个条件：①对任意的xeR都有/(x+D-/(x)=2x-2；②不等式〃x)<0的解集为｛疝<x<2｝；③

函数y=/(x)的图象过点(3,21请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解(请将所选条件的序号

填写在答题纸指定位置)

已知二次函数/(x)=ax2+bx+c,且满足(填所选条件的序号).

(1)求函数“X)的解析式；

(2)设g(x)=/(x)-血，若函数g(x)在区间［1,2］上的最小值为3,求实数，"的值.

20.已知函数"r)=ar+2+c(a、b、c是常数)是奇函数，且满足了⑴=』,八2)=□.

x24

(1)求a,"c的值；

(2)试判断函数"X)在区间(0，1)上的单调性并用定义证明.

21.某企业生产出6两种产品，根据市场调查与预测，力产品的利润与投资成正比，其关系如图①；6产品的利润与

投资的算术平方根成正比，其关系如图②.(注：利润和投资单位：万元)

(1)分别将45两种产品的利润表示为投资的函数关系式;

(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入46两种产品的生产，怎样分配这18万元投资，才能使该企业

获得最大利润？其最大利润约为多少万元?

参考答案

一、选择题(本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.)

1、C

【解析】取8c的中点E,尸E即为所求，结合条件即求.

【详解】如图取8c的中点E,连接E尸，DE,

贝！尸〃A8,NO产E即为所求，

设=在正三棱锥0—ABC中，AD±DC,

故A8=AC=8C=2a,DA=DB=DC=Oa,

:.EF=DE=DF=a,

，ZDFE=60,即异面直线DF与AB所成角的大小为60.

故选：C.

2、A

【解析】根据给定条件求出的解析式，再代入求函数值作答.

【详解】因尸（x）是函数/（x）=10'的反函数，贝（|/T（x）=lgx,/T⑴=lgl=o,

所以/T⑴的值为0.

故选：A

3、C

【解析】：/（x）=l—2sin2叶2siax=-2卜0^-；）2+1...♦.当siru=；时，/（x）max=",当sinx=-1时，

〃比”=-3,故选C.

4、B

【解析】分析一次函数y=x+”的单调性，可判断AD选项，然后由指数函数、=。-*的单调性求得。的范围，结合

直线y=x+a与），轴的交点（o,a）与点（0,1）的位置关系可得出合适的选项.

【详解】因为一次函数y=为直线，且函数了=》+。单调递增，排除AD选项.

对于B选项，指数函数丫=。7=[，）单调递减，则o<_L<],可得。>1,

{aJa

此时，一次函数y=x+。单调递增，且直线y=x+"与）’轴的交点（0,a）位于点（0,1）的上方，合乎题意；

flV1

对于C选项，指数函数y="T=上单调递减，则0〈一<1,可得”>1,

⑴a

此时，一次函数丁=%+。单调递增，且直线y=x+"与）’轴的交点（0,。）位于点（（）/）的下方，不合乎题意.

故选：B.

5、A

【解析】由向量共线定理求解

【详解】因为向量d+方与2”防共线，所以存在实数X，使得y-序=/1（£+&=苏+花，

’2=2

又向量,B不共线，所以7,,解得左=一2

-k=A

故选：A

6、D

【解析】利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择

【详解】

当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正

确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它

们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确.综上，真命题是②④.

故选D

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是

中档题

7、B

【解析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系以及表示符号，及规定空集是任何非空集合的真子集，即可找出

错误的个数

【详解】解：表示集合与集合间的关系，所以①错误；

集合｛(),1,2｝中元素是数，｛1｝不是集合｛0,1,2｝元素，所以②错误；

根据子集的定义，｛0,1,2｝是自身的子集，

空集是任何非空集合的真子集，所以③④正确；

所表示的关系中，错误的个数是2

故选：B

8、A

【解析】先求得6A,然后求得&A)C8.

【详解】楙=(F,—d)n6=｛—1,2,3｝.

故选：A

9、C

/Q\QQa

【解析】首先判断函数的奇偶性，即可排除AD,又y=/彳=sin*-*cos子=-1<0,即可排除B.

【详解】因为y=/(x)=sinx-xcosx,定义域为R,关于原点对称，

又/(—x)=/(x)=sin(―x)+xcos(―x)=—sinx+xcosx=-f(x),

故函数y=/(x)=sinx-xcosx为奇函数，图象关于原点对称，故排除AD；

又>=/=sm-^———cos—=-1<0,故排除B.

故选：C.

10、C

【解析】根据，与4的推出关系判断

【详解】已知A,8为两个等高的几何体，由祖晅原理知夕=〃，而"不能推出q,可举反例，两个相同的圆锥，一

个正置，一个倒置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不相等，则?是4的必要不充分条件

故选：C

二、填空题(本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上)

11、-

6

【解析】结合扇形的面积公式即可求出圆心角的大小.

JT11-TT

【详解】解：设圆心角为a,半径为r，则厂=2,由题意知，-=-ar2=-a-4,解得。=二,

3226

故答案为：?

O

12、-

3

【解析】利用基本不等式求出即可.

【详解】解：若a>0,b>Q,2a+Z?=6

则1」+2](2a+Z?)=4+2+”+•色=8,当且仅当2a=6=3时,取等号

b)abNab

174

则一+7的最小值为一.

ab3

4

故答案为：

3

【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.

13、①.##0.75②.##-0.6

3_3

45

【解析】利用三角函数的定义和诱导公式求出结果

【详解】由三角函数的定义及已知可得：

sina=-5c5osa=-

所以3

-

yS3

-=4=-

X-4

r-3

又_

x2=cos(7+a)=—sina=一三

故答案为：二，二

45

14、/(x)=2sinkx+看

【解析】由图可知A=2,-T=--l=-,得T=2,从而。=万，所以/(x)=2sin(»x+0),然后将[[2]代

4632)

入，得5皿6+夕]=1,又似行，得夕=?，因此，/U)=2sinf^+^-\注意最后确定。的值时，一定要代

入'鼻，而不是|1,0

,否则会产生增根.

考点：三角函数的图象与性质.

15、

2

•13万•"7C..711

【解析】sin----=sin(2»d——)=sm—=—

6662

考点：诱导公式.

三、解答题(本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

16、(1)±；(2)4;(3)小也.

350

【解析】(1)根据同角函数关系得到正弦值，结合余弦值得到正切值；(2)根据诱导公式化简，上下同除余弦值即

可；(3)结合两角和的正弦公式和二倍角公式可得到结果.

1I-----34

【详解】(1)Vcos2«+sin2c^=b0<a<—,：.cosa=\Jl-sin2a=-：.tan«=-

253

sin(a+7t)-2cos-d-a..

(2)----------------------1--2------)=--s--i-n--a--+--2--s-i-n--a-=---t-a--n--a--=4..

-sin(-a)+cos(TT+a)sina-cosatana-1

(3)sin(2a+2]=^sin2a+"cos2a，根据二倍角公式得到

I4；22

247

sin2a=2sinacosa=—；cos2a-2cos2a-l=-----

2525

代入上式得到sin(2a+f]=U叵.

I4j50

【点睛】这个题目考查了三角函数的同角三角函数的诱导公式和弦化切的应用，以及二倍角公式的应用，利用诱导公

式化简三角函数的基本思路：(1)分析结构特点，选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.

jr

17、(1)G(n)=15cos(-A2+—)+18,ne[l,12],〃为正整数

66

(2)一年中该植物在该地区可生存的月份数是5

【解析】(1)先利用月平均气温最低、最高的月份求出周期和切及。值，再利用最低气温和最高气温求出A、左值,

即得到所求函数的解析式；

(2)先判定函数G(〃)的单调性，再代值确定符合要求的月份即可求解.

【小问1详解】

解：因为1月份的月平均最高气温最低，7月份的月平均最高气温最高，

所以最小正周期T=2X(7—1)=12.

由l、l27t71

所以勿=——=一.

T6

jr77r

所以cos(一+夕)=一1,cos(一+0)=1・

66

57r

因为。e(0,兀)，所以s=

O

因为1月份的月平均最高气温为3摄氏度，7月份的月平均最高气温为33摄氏度，

所以—A+4=3,A+k=33.

所以A=15,左=18.

所以G(〃)的解析式是G(")=15cos(2〃+当+18,n6[1,12],〃为正整数.

66

【小问2详解】

解：因为因〃)=15cosG艘+当+18,ne[l,12],〃为正整数.

所以G(〃)在区间上[1,7]单调递增，在区间[7,12J上单调递减.

因为某植物在月平均最高气温低于13摄氏度的环境中才可生存，

37rSir4兀5JE

且G(3)=15cos(—+—)+18=10.5,G(4)=15cos(—+—)+18=18,

6666

所以该植物在1月份，2月份，3月份可生存.

又G(ll)=G(3)=10.5,

所以该植物在11月份，12月份也可生存.

即一年中该植物在该地区可生存的月份数是5.

+eZ

18、(1)Tr°>

【解析】(1)先利用向量的数量积公式和倍角公式对函数式进行化简，再利用两倍角公式以及两角差的正弦公式进行整

理，然后根据最大值为变解出Z的值，最后根据正弦函数的性质求得函数的对称中心;

2

1jr11jr

(2)首先通过x的取值范围来确定函数/(x)的范围，再根据不等式机4/(x)在xe上恒成立，推断

出m2-_1机4/(同，最后计算得出结果

0v\/mtn

［详解］f(x)=a^b+/=sinxcosx-cos2x+'

1・C1clI

=­sin2x——cos2x——+t=——si.n(c2x---兀--、------\-t

2222I4J2

因为“X)的最大值为孝’所以去卜当'\_

2

所以“X)的对称中心为k&Z

一、，"11万,c71n271

(2)因为xe—，所以2%一^6履行

1JTWjT

因为不等式/-2加4/(x)在xe上恒成立，

所以底一］加</(x)加“=万,即2〃—/«—1<0,

解得-,三根41,他的取值范围为-■-<w<1

22

【点睛】本题考查了向量的相关性质以及三角函数相关性质，主要考查了向量的乘法、三角函数的对称性、三角恒等

变换、三角函数的值域等，属于中档题.〃x)=sinx的对称中心为Qr(ZwZ)

19、(1)f(x)=x2-3x+2；(2)-3.

a>Q

a=1

【解析】(1)条件①，求出〃x+1)代入根据恒成立可得，,「；条件②由一元二次不等式解的性质可得b=一3。；

b=—3

c=2a

条件③代入可得9a+3b+c=2；分别根据选择①②，①③，②③，均可通过联立方程组可得结果;

+3

(2)求出函数的对称轴x=-将对称轴和区间的端点进行比较，根据函数的单调性列出关于刀的方程解出即可.

2

【详解】(1)条件①：因为f(x)=ax2+/?x+c(«^0),

所以y(x+l)-y(x)=々(1+1)2+/％+1)+。一(以2+陵+。)

=2ax+a+/?=2x-2,

即2(。-1)%+a+h+2=。对任意的x恒成立，

2(〃—1)=0[tz=1

所以,解得I.

〃+/7=—2[b=-3

条件②：因为不等式f(x)<0的解集为311<%<2},

。〉0「八

Q〉0

所以<—=3,gp</?=-3a.

a

c=2a

£=2

条件③：函数.丫=/(力的图象过点(3,2),所以9a+30+c=2.

选择条件①②：a=l,b=-3,c=2,此时/(x)=f—3x+2；

a=1

选择条件①③：(。=一3,

9。+3〃+c=2

则a=l,b=—39c=29此时f(x)=x2—3x+2；

。>0

h=-3a

选择条件②③：「，

c=2a

9。+3。+c=2

则a=1,〃=—3,c=2,此时f(x)=x?—3x+2.

772+3

(2)由(1)知g(x)=x2-(w+3)x+2,其对称轴为x=i,

)i+3

①当即〃24—1时，

2

g(X)min=g6=3-(m+3)=-/〃=3,解得m=一3；

②当一一＞2,即根21时，

2

,3

8（x）min=（2）=6-（2m+6）=-2m=3,解得根=一耳（舍）；

6+3

③当1＜一-＜2,即-1〈机＜1时，

2

/、/加+3、（〃?+3）2cc_

g（X）min=gI-y-I=------—+2=3,无解.

综上所述，所求实数，”的值为-3.

【点睛】二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关的问题，数形结合，密切联系图象是探求

解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.

a=2

20、(1){,1,c=O

b=—

2

⑵/(x)=2x+-5-在区间(0,0.5)上是单调递减的

2x

【解析】(I):函数/*)是奇函数，则f(r)+/(%)=0

即一ox——+C+OX+—+。=0