平行四边形常考知识点2023年中考数学考点微

考向4.6平行四边形常考知识点专题

例1、(2021•江苏宿迁•中考真题)在①AE=C/；②OE=OF；③8E〃。尸这三个条件中任选

一个补充在下面横线上，并完成证明过程.

已知，如图，四边形A8CD是平行四边形，对角线AC、〃。相交于点O,点E、厂在AC

上，(填写序号).

求证：BE=DF.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.心「

解：若选②，HPOE=OF；/

证明：・・.四边形ABC。是平行四边形，/

:.BO=DO,8-------------------

VOE=OF,ZBOE=ZDOF,

AABOE^ADOF(SAS),

，BE=DF；

若选①，即AE=CF；

证明：・・•四边形ABCD是平行四边形，

ABO=DO,AO=CO,

VAE=CF,

.'.OE=OF,

又NBOE=NDOF,

•・.△BOE9△DOF(SAS),

.*.BE=DF；

若选③，即BE〃DF；

证明：・・•四边形ABCD是平行四边形，

ABO=DO,/

4AJD

•.BE〃DF；/Xf

/.ZBEO=ZDFO,///

XZBOE=ZDOF,/

.'.△BOE<△DOF(AAS),-------------------------

，BE=DF；

1、平行四边形的性质识记方法：从边、角、对角线三个角度识记；

2、平行线间的距离处处相等，此性质与面积问题相结合，是解决面积问题，尤其是在函数中面积问题

往往带来意想不到的方便。

3、本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握平行四边形的

性质和全等三角形的判定是关键.

例2、（2021•湖南岳阳•中考真题）如图，在四边形ABCO中，AEYBD,CF1.BD,垂足

分别为点E,F.

（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的

条件是;

（2）添加了条件后，证明四边形AE”"为平行四边形.

（I）解答：显然，直接添加Af7/C£,可根据定义得到结果，

故答案为：AF//CE（答案不唯一，符合题意即可）：

（2）证明：：CFLBD,

二AE//CF,

,/AF//CE,

•••四边形AECF为平行四边形.

1、平行四边形的判定从边、角、对角线三个方面识记共有五种判定方法;

2、证明平行四边形在中考题中往往和特殊平行四边形及相似结合在一起进行考查，基础知识掌握是解

题突破口。

3、本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题关键.

1、平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等；

2、平行线之间距离处处相等往往和同（等）底同高面积相等结合，在函数解题中提供解题的方法。

经典变式练

一、单选题

1.（2021・四川宜宾•中考真题）下列说法正确的是（）

A.平行四边形是轴对称图形B.平行四边形的邻边相等

C.平行四边形的对角线互相垂直D.平行四边形的对角线互相平分

2.（2021.湖南株洲•中考真题）如图所示，四边形A8C£）是平行四边形，点E在线段BC的

延长线上，若NDCE=132。,则4=（）

3.（2021・湖北荆门•中考真题）如图，将一副三角板在平行四边形ABCO中作如下摆放，设

Zl=30°,那么N2=（）

4.（2021.山东滨州.中考真题）如图,在口他。£）中,仍平分乙48（7交。。于点£若乙4=60。,

则的大小为（）

A.130°B.125°C.120°D.115°

5.（2021・贵州遵义・中考真题）如图，。488的对角线AC,8。相交于点O,则下列结论

一定正确的是（）

A.OB=ODB.AB=BCC.ACLBDD.NABD=NCBD

6.（2021•广西梧州•中考真题）如图，在RdABC中，点。，E,尸分别是边AB,AC,BC

的中点，AC=8,8C=6,则四边形CEO尸的面积是（）

A.6B.12C.24D.48

7.（2021.内蒙古呼伦贝尔•中考真题）如图，ABCD中，AC、交于点。，分别以点A

和点C为圆心，大于:AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN,交AB于

点£,交CD于点F,连接CE,若A£>=6,8CE的周长为14,则8的长为（）

A.10B.8C.6D.3石

8.（2021・湖北恩施中考真题）如图，在A8CD中，AB=13,AD=5,ACVBC,则ABCD

的面积为（）

A.30B.60C.65D.——

2

9.（2021•天津・中考真题）如图，ABCO的顶点A,B,C的坐标分别是（0,1）,（-2,-2）,（2,-2）,

则顶点D的坐标是（）

C.(4,1)D.(2,1)

10.（2021•四川南充・中考真题）如图，点。是，ABC。对角线的交点，E尸过点O分别交AO,

A.OE=OFB.AE=BF

C.NDOC=NOCDD.NCFE=NDEF

11.（2021・四川内江•中考真题）如图，在边长为。的等边AABC中，分别取AABC三边的中

点A，q,G，得△AB6；再分别取△ABG三边的中点4,B2,C2,得△A/C；这

样依次下去…，经过第2021次操作后得△4⑼&MQ®,则44必约。2£以的面积为（）

D.空

crr逗

2取“2,240*2

二、填空题

⑵（2021.湖南湘潭•中考真题）如图，在，中，对角线AC,8。相交于点O,点E

是边A8的中点.已知8C=10,则。E

13.（2021.江苏常州•中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形Q4BC是平行四边

形，其中点A在x轴正半轴上.若BC=3,则点4的坐标是.

14.（2021.江苏南京.中考真题）如图，在平面直角坐标系中，498的边AO,AB的中点C,

。的横坐标分别是1,4,则点B的横坐标是.

15.（2021.湖南湘西.中考真题）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别

为AB、CD,若CDHBE,Zl=20°,则N2的度数是.

D

16.（2021•江西•中考真题）如图，将A8CD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD

于点F,若N5=80。，ZACE=2ZECD,FC=a,FD=b,贝ijABC。的周长为.

17.（2021•山东临沂•中考真题）在平面直角坐标系中，的对称中心是坐标原点，顶

点A、8的坐标分别是（-1,1）、（2,1）,将A8CQ沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的

对应点C1的坐标是一.

18.（2021•四川阿坝•中考真题）如图，在ABC。中，过点C作CELAB,垂足为E,若

Z£4£>=40°,则NBCE的度数为.

三、解答题

19.（2021•江苏淮安・中考真题）已知：如图，在中，点E、F分别在4。、BC上，且

BE平分/ABC,EF//AB.求证：四边形ABFE是菱形.

20.（2021・湖南怀化・中考真题）已知：如图，四边形488为平行四边形，点及A、C、F

在同一直线上，AE=CF.求证：

（1）VADE^VCBF

(2)EDHBF

21.（2021•山东聊城•中考真题）如图，在四边形ABC。中，AC与8。相交于点。，且AO=

CO,点E在8。上，满足NEAO=/OCO.

（1）求证：四边形AECQ是平行四边形；

（2）若A8=BC,CD=5,AC=8,求四边形4ECZ）的面积.

一、单选题

1.（2021・四川南充・中考真题）如图，在矩形A8C£>中，A8=15,BC=20,把边AB沿对

角线8。平移，点Al9分别对应点A,B.给出下列结论：①顺次连接点4,B',C,D

的图形是平行四边形；②点C到它关于直线A4,的对称点的距离为48；③HC-UC的最大

值为15；④A'C+B，C的最小值为9J万.其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2021.河北•中考真题）如图1,45CD中，AD>AB,N48C为锐角.要在对角线8。

上找点N,M,使四边形4VCN为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正

确的方案（）

D

8

因

作/N.（M分别平

分NR”）.ZfiCD

图2A.甲、乙、丙都是B.只有甲、乙才是

C.只有甲、丙才是D.只有乙、丙才是

3.（2021•浙江•中考真题）如图，已知在他。中，ZABC<90°,A8R是AC边上

的中线.按下列步骤作图：①分别以点昆C为圆心，大于线段8c长度一半的长为半径作弧,

相交于点M，N；②过点作直线MN,分别交8C,BE于点、DQ；③连结CO.DE.则

下列结论错误的是（）

Z.CODC.DE//ABD.DB=DE

4.（2021.四川泸州•中考真题）如图,在平行四边形ABCD中，AE平分NBA。且交BC于点

E,ZZ>58°,则NAEC的大小是（）

A.61°B.109°C.119°D.122°

5.（2021•浙江宁波•中考真题）如图是一个由5张纸片拼成的ABCD,相邻纸片之间互不

重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为5,另两张直角三角形纸片的面

积都为S?,中间一张矩形纸片EFG”的面积为J，户H与GE相交于点O.当

-AE0-3E0,_CG。,的面积相等时•，下列结论一定成立的是（）

A.S,=5,B.5,=S,C.AB=ADD.EH=GH

6.（2021•浙江宁波•中考真题）如图，在ABC中，/B=45。,NC=60。,A。，BC于点£）,

BD=#）.若E,尸分别为AB,8c的中点，则E尸的长为（）

A.立B.立C.1D.逅

322

7.（2021•浙江温州•中考真题）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形

A8CD如图所示.过点。作。尸的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G,连结CG,

延长BE交CG于点H.若AE=2BE,则g■的值为（）

A.-B.V2C.D.逆

215

8.（2021•内蒙古鄂尔多斯•中考真题）已知：AOC。的顶点。（0,0）,点C在x轴的正半轴

上，按以下步骤作图：

①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点交OC于点N.

②分别以点M,N为圆心，大于;的长为半径画弧，两弧在NAOC内相交于点E.

③画射线OE,交A。于点尸（2,3）,则点A的坐标为（)

yE

%/\

-O|~NCx

A.DB.（3-713,3）C.卜川D.（2-713,3）

9.（2021・山东威海•中考真题）如图，在平行四边形ABC。中，AD=3,CD=2.连接AC,

过点8作BE〃4C,交。C的延长线于点E,连接AE,交8c于点F.若ZAFC=2ZD,则四

边形4BEC的面积为（）

10.（2021.湖南益阳•中考真题）如图，已知488的面积为4,点尸在A3边上从左向右

运动（不含端点），设△入「£＞的面积为x,ABPC的面积为y,则y关于x的函数图象大致

11.（2021.黑龙江.中考真题）如图，平行四边形AB尸C的对角线AF、BC相交于点E,点。

为AC的中点，连接B。并延长，交FC的延长线于点。，交A广于点G,连接A。、0E,

若平行四边形的面积为48,则5掺0c的面积为（）

二、填空题

12.（2021・青海西宁・中考真题）如图，在RtAABC中，ABAC=90°,D,E分别是AB,BC

915

的中点，连接AE,DE,若DE、,A£=y,则点4到8c的距离是.

13.（2021・辽宁盘锦・中考真题）如图，四边形A8C。是平行四边形，以点8为圆心，BC的

长为半径作弧交A。于点£分别以点C,E为圆心，大于;CE的长为半径作弧，两弧交于

点P，作射线8P交AO的延长线于点尸，NCBE=60°,BC=6,则的长为

14.（2021•江苏泰州•中考真题）如图，四边形ABCO中，AB=CD=4,且AB与CO不平行,

P、M、N分别是4。、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S,则S的范围是一.

15.（2021.青海・中考真题）如图，在A8CO中，对角线80=8cm,AE1BD,垂足为E,

且AE=3cm,3C=4cm,则AD与2c之间的距离为.

16.（2021.山东荷泽•中考真题）如图，在放43c中，ZC=30°,D,E分别为AC、BC

的中点，DE=2,过点B作8F〃AC,交£>£：的延长线于点尸，则四边形的面积为

4

17.（2021•广东・中考真题）如图，在ABCO中，4。=5,48=12,5M4=1.过点0作£犯，4?,

18.（2021•江苏扬州•中考真题）如图，在A8C。中，点E在AO上，且EC平分NBE£>,

若NEBC=3O。，BE=10,则ABC。的面积为.

三、解答题

19.（2021广东广州•中考真题）如图，在四边形ABC£>中，N43C=90。，点E是AC的中

点，且AC=AD

（1）尺规作图：作NO力的平分线AF,交CO于点F,连结EF、BF（保留作图痕迹，不

写作法）；

（2）在（1）所作的图中，若N8AL>=45。，ZCAD=2ZBAC,证明：..B所为等边三角

形.

E

20.(2021•江苏常州•中考真题)如图，B、F、C、E是直线/上的四点,

AB//DE,AB=DE,BF=CE.

(1)求证：△ABC/^DEF；

(2)将ABC沿直线/翻折得到：A'BC.

①用直尺和圆规在图中作出.48C(保留作图痕迹，不要求写作法)；

②连接A'D,则直线A'D与I的位置关系是.

21.(2021•湖南永州•中考真题)如图，已知点A,D,C,8在同一条直线上,

AD=BC,AE=BF,AE//BF.

(1)求证：/\AEC^/\BFD.

(2)判断四边形OECF的形状，并证明.

参考答案

1.D

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案.

【详解】

解：A.平行四边形是中心对称图形不是轴对■称图形，故该选项错误，

B.平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误，

C.平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误，

D.平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确.

故选D.

【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键.

2.B

【解析】

【分析】根据补角的定义求NOCB,再利用平行四边形对角相等的性质求解即可.

【详解】

ZDCE=132°

：.ZDCB=1800-ZDCE=180°-132°=48°

•••四边形ABCD是平行四边形

二ZA=ZDC8=48°.

故选：B.

【点拨】本题考查了补角的定义和平行四边形的性质.平行四边形的性质，对边相等，对角

相等，对角相互相平分.

3.C

【解析】

【分析】延长EG交AB于”，根据平行四边形与三角板的性质，Zl=30°,DC//AB,得到

NDEH=/BHE=60°,再由平角的定义，计算出结果.

【详解】

解：如图，延长EG交AB于凡

'//BMF=/BGE=9。。,

:・MFHEH,

：.NBFM=NBHE,

；Zl=30°,

/BFM=NBHE=60。,

:在平行四边形ABC。中，DCHAB,

：.ZDEH=ZBHE=60°f

・・・NGEN=45。,

・•・Z2=180o~60°-45o=75°,

故选：C.

【点拨】本题主要考查平行四边形的性质与一副特殊三角形板的性质，关键在于作出辅助线，

利用平行四边形的性质进行求解.

4.C

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质，可以得到AQ〃8C,DC//AB,然后即可得到

ZA+ZABC=180°,ZABE+Z£>EB=180°,再根据NA=60。，BE平分NA3C,即可得到NDE3

的度数.

【详解】

解：•・,四边形ABCO是平行四边形，

：.AD//BC,DC//AB,

：.ZA+Z/lBC=180°,ZABE+ZDEB=\S0°t

*/ZA=60°,

JNABC=12()。,

••・BE平分NA8C,

・•・ZABE=60°f

：.ZDEB=\20\

故选：C.

【点拨】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义，利用数形结合的思

想解答是解答本题的关键.

5.A

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可.

【详解】

解：平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意；

平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意；

平行四边形对角线不一定互相垂宜，C错误，不符合题意；

平行四边形对角线不一定平分内角，D错误，不符合题意.

故选：A.

【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相

平分是解题的关键.

6.B

【解析】

【分析】利用三角形的中位线定理，先证明四边形OEC尸是矩形，再利用矩形的面积公式

进行计算即可.

【详解】

解：点、D,E,尸分别是边AB,AC,的中点，AC=8,BC=6,

DE//BC,DE=-BC=3,DF//AC,OF=工AC=4,

22

•••四边形DEC尸是平行四边形，

,ZC=90°,

四边形DEC尸是矩形，

S矩形DECF=3x4=12.

故选：B.

【点拨】本题考查的是三角形的中位线的性质，矩形的判定与性质，掌握利用三角形的中位

线证明四边形是平行四边形是解题的关键.

7.B

【解析】

【分析】由已知可得EA=EC,再根据三角形8CE的周长可以得到A8的长，从而得到CO

的长.

【详解】

解：由已知条件可知EF是AC的垂直平分线，所以EA=EC,

■：ABCE的周长为14,

BC+CE+EB=\4,

：.BC+EA+EB=\4,

即BC+AB=\4,

V四边形ABCD为平行四边形，

：.DC=AB,BC=AD=6,

，DC=14-BC=14-6=8,

故选B.

【点拨】本题考查平行四边形的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质、线段垂直平分线的

作图与性质是解题关键.

8.B

【解析】

【分析】先根据平行四边形的性质可得5c=4)=5,再利用勾股定理可得4C=12,然后

利用平行四边形的面积公式即可得.

【详解】

解：四边形A88是平行四边形，4)=5,

BC=AD=5,

,AC.LBC,AB=13,

AC=>]AB2-BC2=12-

则,的面积为8cAe=5x12=60,

故选：B.

【点拨】本题考查了平行四边形的性质与面积公式、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质

是解题关键.

9.C

【解析】

【分析】根据平行四边形性质以及点的平移性质计算即司;

【详解】

解：：四边形A3CD是平行四边形，

点8的坐标为(-2,-2),点C的坐标为(2,-2),

点B到点C为水平向右移动4个单位长度，

到D也应向右移动4个单位长度，

•••点A的坐标为(0,I),

则点。的坐标为(4,1),

故选:C.

【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，以及平移的相关知识点，熟知点的平移特点是解

决本题的关键.

10.A

【解析】

【分析】首先可根据平行四边形的性质推出AAEO丝△CF。，从而进行分析即可.

【详解】

:点。是AB8*)角线的交点，

AOA=OC,NEA8/CFO,

'：ZAOE^ZCOF,

：.£,AEO^/\CFO(ASA),

：.OE=OF,A选项成立：

：.AE=CF,但不一定得出BF=CF,

则AE不一定等于8凡B选项不一定成立；

若"OC=NOC”则。OOC,

由题意无法明确推出此结论，c选项不一定成立；

由△AEO丝△CFO得NCFE=NAEF,但不一定得出ZAEF=ZDEF,

则/CFE不一定等于/OEF,D选项不一定成立；

故选：A.

【点拨】本题考查平行四边形的性质，理解基本性质，利用全等三角形的判定与性质是解题

关键.

11.D

【解析】

【分析】先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可得.

【详解】

解：点A，用分别为8C,AC的中点，

A8=2A,4,

1•点4，区分别为4G，A^G的中点，

44=244,

&B?=(-)2,a,

「4纥二(；)”即

,,△&2也021Go21的面积=乎吗产a=-^T,

故选D.

【点拨】本题考查了三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理.

12.5

【解析】

【分析】直接利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理得出EO的长.

【详解】

解：•.•在口4武”中，对角线AC,80相交F点0,

，点。是AC的中点，

又；点E是4B的中点，

.•.E。是的中位线，

：.E0=^BC=5.

故答案为：5.

【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理，正确得出E。是AA8C

的中位线是解题关键.

13.(3,0)

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质，可知：0A=BC=3,进而即可求解.

【详解】

解：：四边形04BC是平行四边形，

，OA=8C=3,

.,.点A的坐标是(3,0),

故答案是：(3,0).

【点拨】本题主要考查平行四边形的性质以及点的坐标，掌握平行四边形的对边相等，是解

题的关键.

14.6

【解析】

【分析】根据中点的性质，先求出点A的横坐标，再根据A、。求出8点横坐标.

【详解】

设点4的横坐标为a,点8的横坐标是公

O点的横坐标是0,C的横坐标是1,C,。是AOAB的中点

—(6(+0)=1得(7=2

:.~(2+b)=4得匕=6

2

点B的横坐标是6.

故答案为6.

【点拨】本题考查了中点的性质，平面直角坐标系，三角形中线的性质，正确的使用中点坐

标公式并正确的计算是解题的关键.

15.40°

【解析】

【分析】如图，山折叠的性质可得/R4F=N1=2O。，进而可得NC"B=Z/MB+N〃B4=40。，

然后易得四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质可求解.

【详解】

解：如图所不：

,/Nl=20。，

山折叠的性质可得N84尸=4=20。，

,/CD//BE,

,ZHBA=ZBAF=20°,

：.NCHB=NHAB+NHBA=40°,

CHHBD,

四边形CH8D是平行四边形，

ZCHB=Z2=40°；

故答案为40°.

【点拨】本题主要考查平行四边形的性质与判定、平行线的性质及折叠的性质，熟练掌握平

行四边形的性质与判定、平行线的性质及折叠的性质是解题的关键.

16.4a+26

【解析】

【分析】根据题意并利用折叠的性质可得出N4CE=NAC8=2NEC£>,计算可得到

ZECD=20°,ZACE=ZACB=40°,利用三角形的外角性质得到NCFD=/3=80。，再等角

对等边即可求解.

【详解】

解：由折叠的性质可得：ZACE^ZACB,

'：ZACE=2ZECD,

：.ZACE=ZACB=2ZECD,

,/四边形ABCD是平行四边形，

：.ZFAC^ZFCA,ZB+ZBCD=180°,^ZB+ZACE+ZACB+ZECD=\?,O°,

：.ZECD=20°,ZACE^ZACB=4Q°=ZFAC,

ZCFD=ZFAC+ZFCA^O°=ZB-ZD,

:.AF=CF=CD=a,即AD^a+b,

则nABC。的周长为2AD+2CD=4a+2b,

故答案为：4a+2h.

【点拨】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形

是解题的关键.

17.(4,-1)

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质得到点C坐标，再根据平移的性质得到C/坐标.

【详解】

解：在平行四边形ABC。中，

•.•对称中心是坐标原点，A(-1,1),B(2,1),

：.C(I,-I),

将平行四边形ABC。沿x轴向右平移3个单位长度，

：.Ci(4,-1),

故答案为：(4,-1).

【点拨】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移

减；纵坐标上移加，下移减.

18.50°

【解析】

【分析】由平行四边形的性质得出NB=NEAC=40。，由角的互余关系得出N8CE=9(T-NB

即可.

【详解】

解：；四边形ABCD是平行四边形，

.'.AD//BC,

•,.ZB=ZEAD=40°,

•/CE±AB,

：.ZBCE=90°-ZB=50°；

故答案为:50。.

【点拨】本题考查了平行四边形的性质和三角形的内角和；熟练掌握平行四边形的性质，求

出N8的度数是解决问题的关键.

19.见解析

【解析】

【分析】先证四边形ABFE是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质证AB=AE,

依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.

【详解】

证明：♦.•四边形A8C。是平行四边形，

：.AD//BC,

5L'：EF//AB,

.•.四边形A8FE是平行四边形，

1平分NABC,

NABE=NFBE,

"."AD//BC,

：.NAEB=NEBF,

：.NABE=NAEB,

：.AB=AE,

•••平行四边形A8FE是菱形.

【点拨】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，解题关键是熟练

运用相关知识进行推理证明，特别注意角平分线加平行，可证等腰三角形.

20.(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)禾烟平行四边形的性质得出AD=BC,再证明NE4Z)=/FCB,利用

SAS证明两三角形全等即可.

(2)mVADE^CBF,得出再利用内错角相等两直线平行即可证明.

【详解】

(I)证明：；四边形A8C。为平行四边形

J.AD//BC,AD=BC

：.ZDAC=ZACB

：.NEAD=NFCB

在44。£：和4CB尸中，

AE=CF

"NEAD=ZFCB

AD=BC

：.7ADE匆CBF(S45)

(2),?VADE^VCBF

：.ZE=ZF

J.ED//BF

【点拨】本题考查全等三角形的证明、平行四边形的性质、平行线的判定及性质、灵活进行

角的转换是关键.

21.(1)见解析：(2)24

【解析】

【分析】(1)根据题意可证明VAOE/VC8,得到0。=。&从而根据“对角线互相平分

的四边形为平行四边形''证明即可；

(2)根据AB=8C,AO=CO,可证明为AC的中垂线，从而推出四边形AECZ)为菱形，

然后根据条件求出OE的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可.

【详解】

(1)证明：在AAOE和△COO中，

Z.EAO=NDCO

■AO=CO

ZAOE=ZCOD

：.^AOE^^COD(ASA).

：.OD=OE.

V."：AO=CO,

四边形AEC£)是平行四边形.

(2)'：AB=BC,AO=CO,

.•.80为AC的垂直平分线，BOLAC.

平行四边形AECD是菱形.

VAC=8,

CO=-AC=4.

2

在RtbCOD中，8=5,

:.OD=\ICD2-CO2=\l52-42=3，

?.DE=2OD=6,

s

^At：Cn=^O£AC=^x6x8=24,

...四边形AECD的面积为24.

【点拨】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与面积计算，掌握基本的判定方法，熟练

掌握菱形的面积计算公式是解题关键.

1.D

【解析】

【分析】

根据平移的性质和平行四边形的判定方法判断①，再利用等积法得出点C到8。的距离，从

而对②做出判断，再根据三角形的三边关系判断③，如图，作。关于4V的对称点W,DD

交A4'于"，连接3D，过祝作DN_L8C于M分别交于K,H,证明。C是最小

值时的位置，再利用勾股定理求解OC,对④做出判断.

【详解】

解：由平移的性质可得48〃AE

且A8=A0

•.,四边形ABC。为矩形

：.AB//CD,AB=CD=15

A'B'//CDS.A'B'=CD

四边形A'B'CD为平行四边形，故①正确

在矩形ABCD中，BD=ylAB2+AD2=>/152+202=25

过4作AM_L30,CNLBD,贝ijAM=CN

15x20

：.AM=CN=--------=12

25

..•点C到A4'的距离为24

•••点C到它关于直线AA'的时称点的距离为48

•••故②正确

,/A!C-eC<A!ff

.•.当4,从C在•条直线时4C-3C最大,

此时8'与。重合

，A'C-8'C的最大值=A®=15

，故③正确，

如图，作。关于AA的对称点。,，”/交AA丁加，连接血X,过。，作。NJ_BC于M分

别交于K,",

则ABIIAB'IIKH,AB=KH=15,KM为,D'HD的中位线，BDLDD，

D'K=HK=15,

由fA'B'CD可得B'C=AD,

B'C=A'D=A'D',

A'C+B'C=A'C+A'D'=D'C,此时最小，

由②同理可得：DM=D'M=\2,

…八DC153HN

tanNDBC=----=—=-=-----,

BC204BN

设HN=3x,则8V=4x,

由勾股定理可得：DD'2+BD2=BD'-=BN2+D'N2,

252+242=（30+3x）2+（的?，

整理得：25f+180x-301=0,

.-.（5x-7）（5x+43）=0,

743

解得：x,=1,x2=-y（负根舍去）,

72171

NC=20-4x=（£>W=

故④正确

故选O.

【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质以及平移的性质，锐角三角函数的

应用等知识点，熟练掌握相关的知识是解题的关键.

2.A

【解析】

【分析】

甲方案：利用对角线互相平分得证；

乙方案：由ABN-CDM,可得BN=DM.即可得ON=0M,

再利用对角线互相平分得证；

丙方案:方法同乙方案.

【详解】

连接AC,交于点。

甲方案：四边形A8CD是平行四边形

AO=CO,BO=DO

BN=NO,OM=MD

:.ON=OM

四边形ANCM为平行四边形.

乙方案：

四边形438是平行四边形

：.AB=CD,AB//CD,AO=CO,BO=DO

:.ZABN=NCDM

又：AN工BD,CM工BD

：.ZANB=ZCMD

：./XABN^^CDM(AAS)

BN=DM

•；BO=DO

:.ON=OM

四边形4VCW为平行四边形.

丙方案：

四边形ABC。是平行四边形

AB=CD,AB//CD,AO=CO,BO=DO,/BAD=/BCD

；.ZABN=NCDM

又•.AN,CM分别平分NBAD/BCD

:.gzBAD=；NBCD,g|JZBAN=ZDCN

r.AABN之△CDM(ASA)

:.BN=DM

;BO=DO

ON=OM

四边形4VCM为平行四边形.

所以甲、乙、丙三种方案都可以.

故选A.

【点拨】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等

知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键.

3.D

【解析】

【分析】

首先根据题意可知道MN为线段BC的中垂线，然后结合中垂线与中线的性质逐项分析即可.

【详解】

山题意可知，为线段BC的中垂线，

•••0为中垂线上一点，

：.OB=OC,故A正确；

0B=0C,

：.ZOBC=ZOCB,

,:MNLBC,

：.ZODB=ZODC,

:.NB0D=NC0D,故B正确；

为8c边的中点，BE为AC边上的中线，

...OE为△48C的中位线，

：.DE//AB,故C正确；

由题意可知DB=DC,

假设。8=QE成立，

则DB=DE=DC,NBEC=90。，

而题干中只给出BE是中线，无法保证8E一定与AC垂直，

...DB不一定与OE相等，故D错误；

故选：D.

【点拨】本题考查三角形中几种重要线段的理解，熟练掌握基本定义，以及性质定理是解题

关键.

4.C

【解析】

【分析】

根据四边形A8CO是平行四边形，得到对边平行，再利用平行的性质求出

o

ZBAD=180-ZD=122°（根据角平分线的性质得：4E平分NBAD求NZME,再根据平行

线的性质得NA£C,即可得到答案.

【详解】

解：•••四边形A8C。是平行四边形

二ABIICD，AD//BC

：./BAD=180°-ZD=180o-58°=l22°

•「AE平分

ZDA£=-ZBAD=-xl220=61°

22

,/ADHBC

工ZA£C=180°-ZZME=180°—61°=119°

故选C.

【点拨】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，能利用平行四边形的性质找到角

与角的关系，是解答此题的关键.

5.A

【解析】

【分析】

根据AAEO和ABCG是等腰直角三角形，四边形A8CO是平行四边形，四边形"EFG是矩

形可得出AE=OE=8G=CG=a,HE=GF,，点O是矩形尸G的中心，设

AE=DE=BG=CG=a,HE=GF=b,GH=EF=c,过点。作OP_LE尸于点P,OQLGF丁点Q,

可得出OR。。分别是和AEGF的中位线，从而可表示OP,。。的长，再分别计算

出S-S2,邑进行判断即可

【详解】

解：由题意得，△AED和△8CG是等腰直角三角形，

,ZADE=ZDAE=NBCG=NGBC=45°

V四边形ABCD是平行四边形，

J.AD^BC,CD^AB,ZADC=ZABC,NBAD=NDCB

：.ZHDC^ZFBA,NDCH=NBAF,

：.^AED^/\CGB,△CDH^ABF

：.AE=DE=BG=CG

「四边形"EFG是矩形

：.GH=EF,HE=GF

iSAE=DE=BG=CG=a,HE=GF=b,GH=EF=c

过点。作。匕LE产于点OQJ_G尸于点。，

：.OP//HE,OQUEF

•••点。是矩形HEFG的对角线交点，即〃尸和EG的中点,

：.0P,。。分别是和AEG尸的中位线，

/.OP=-HE=-b,OQ=-EF=-c

2222

=^BF.OQ=^(a-b)x^c=^(a-b)c

SMOE=；AE.OP=；ax；b=：ab

•SRBOF~SSOE

-(a-b)c=-ab,即ac-bc=ab

44

11

而S]9,

111.191.

S2=SMFB=—AF^BF=-(a+c)(a-b)=—(a~-ab+ac-bc)=—(a~-ab+ab)=—a~

所以，5,=52,故选项4符合题意,

112

S3=HE^EF=(。-Z?)(a+c)-a-be-ab+ac=a-\-ab-ab=a

・・・S1WS3,故选项8不符合题意，

而=于E〃=G“都不一定成立，故C。都不符合题意,

故选：A

【点拨】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出与,

S2,S3之间的关系.

6.C

【解析】

【分析】

根据条件可知△A3。为等腰直角三角形，则区。=4。，AAOC是30。、60。的直角三角形，可

求出AC长，再根据中位线定理可知EF=上。

【详解】

解：因为A力垂直8C,

则4ABD和^AC£）都是直角三角形，

又因为N8=45°,ZC=60°,

所以A£>=8£>=6，

因为sinNC=&^=正，

AC2

所以AC=2,

因为后尸为^ABC的中位线，

所以E/三A号C=1,

故选：C.

【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件

分析利用定理推导，是解决问题的关键.

7.C

【解析】

【分析】

如图，设BH交CF于P,CG交DF『Q,根据题意可知8E=PC=OF,AE=BP=CF,根据

=可得BE=PE=PC=PF=DF,根据正方形的性质可证明△FDG是等腰直角三角形，

可得OG=FD,根据三角形中位线的性质可得尸4=g尸Q,CH=QH=CQ,利用A&4可证明

17

匕CPH9AGDQ,可得P”=QD,即可得出户可得B『BE,利用勾股定理可用

BE表示长C"的长，即可表示出CG的长，进而可得答案.

【详解】

如图，设B〃交CF于P,CG交DF于Q,

・・,山四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形A3CO,

:・BE=PC=DF,AE=BP=CF,

AE=2BE,

；・BE=PE=PC=PF=DF,

・.,ZCFD=ZBPCf

：.DF//EH,

:・PH为〉CFQ的中位线，

:・PH=GQF,CH=HQ,

・・•四边形EPFN是正方形，

・•・NEFN=45°,

VGD±DF,

・・・AFDG是等腰直角三角形，

:・DG=FD=PC,

・・・NGDQ=NCPH=90。,

:.DG//CF,

・・・/DGQ=/PCH,

ZGDQ=ZCPH

在△OGQ和△PC”中，\DG=PC,

ZDGQ=NPCH

:•△DGgXPCH,

:・PH=DQ,CH=GQ,

：.PH=-DF=-BE,CG=3CH,

33

7

BH=BE+PE+PH=-BE,

3

在心△PCH中,CH=《PC?+PH?=,IBE2+(-BE)2=叵BE,

V33

:.CG=MBE,

CG>/]0BE35/10

故选：c.

【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及勾股定

理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键.

8.A

【解析】

【分析】

由题意得：0E平分N40C,结合AO〃0C,可得40=A凡设4"=根，则A0=AF=2+m,根

据勾股定理，列出方程，即可求解.

【详解】

解：由作图痕迹可知：0E平分/AOC,

ZAOF=ZCOF,

•.•在AOCZ）中，AD//OC,

：.ZCOF=ZAFO,

：.ZAOF^ZAFO,

：.AO=AF,

VF（2,3）,

：.FH=2,0H=3,

设AH=〃3贝（IAO=A/?=2+〃7,

:在必AO"中，AH2+OH2^AO2,

m2+32=（2+m）2,解得：m=—,

故选A.

【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，尺规作角平分线，勾股定理，等腰三角形的判定

和性质，推出AO=AF,利用勾股定理列出方程，是解题的关键.

9.B

【解析】

【分析】

先证明四边形A8EC为矩形，再求出AC,即可求出四边形A8EC的面积.

【详解】

解：•.•四边形A8C。是平行四边形，

：.AB//CD,AB=CD=2,BC=AD=3,ZD=ZABC,

•/BEUAC,

四边形A3EC为平行四边形，

*/Z4FC=2ZD,

ZAFC=2ZABC,

'：ZAFC=ZABF+ZBAF,

：.ZABF=ZBAF,

：.AF=BF,

：.2AF=2BF,

即BC=AE,

平行四边形A8EC是矩形，

NBAC=90。,

AC=1BC。-AB。=>/32+22=石•

...矩