精彩论文模版(一篇关于微分方程的论文)

本科生毕业设计(论文)题目：论积分因子的存在条件及其求法教学单位_计算机科学与技术学院姓名___彭倩___学号___200531105002年级_____2005级_________专业_数学与应用数学指导教师___宋荣荣职称_____讲师________2009年5摘要在常微分方程理论的形成过程中,求解常微分方程曾出现过许多方法,如别离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等.其中尤以积分因子法出现的最晚,而作用也最大.积分因子法的实质是把常微分方程转化为恰当方程,由于恰当方程的通解很容易得出,这样我们也就能很容易求得常微分方程的解.因此用积分因子法解常微分方程的关键是找到积分因子.本文首先介绍了二元微分方程的恰当方程的定义,然后在二元非恰当方程的条件下引出积分因子的定义和存在条件.通过探讨积分因子的存在条件,本文得到了几种求常微分方程积分因子的根本求法：观察法、公式法、分组法和几种特殊类型方程积分因子的求法.并对各种积分因子求法作了详细论证.然后根据二元原函数存在条件及积分因子的求法来推导三元原函数存在条件及积分因子的求解方法.关键词：常微分方程；积分因子；恰当方程；三元原函数.Abstract

Theoryofordinarydifferentialequationsintheformationprocess,thesolutionofordinarydifferentialequationstherehavebeenmanymethods,suchasseparationofvariables,variablesubstitutionmethod,constantvariation,andsointegralfactormethod.Especiallyintegralfactormethodappearsthelatest,Thebiggestrole.integralfactormethodistheessenceofordinarydifferentialequationsintoappropriate,astheappropriategeneralsolutionoftheequationiseasytodraw,sowecaneasilyobtainthesolutionofordinarydifferentialequations.thereforeintegralfactormethodthekeytosolutionofordinarydifferentialequationsistofindtheintegratingfactor.

Inthispaper,thedualdifferentialequationsfirstintroducedthedefinitionoftheappropriateequation,andtheninthedualnon-appropriateconditionsequationintegratingfactorleadstothedefinitionandconditionsfortheexistenceof.Byexploringtheconditionsfortheexistenceoftheintegratingfactor,thispaperhasbeenseekingseveralordinarydifferentialequationsintegralfactorofthebasicmethod:Toobservethelaw,theformulalaw,sub-lawandseveralspecialtypesofintegralequationmethodfactor.andavarietyofintegralfactoradetailedappraisalmethod.andthentheoriginalfunctioninaccordancewiththeconditionsfortheexistenceofbinaryandintegralfactorofthelawisderivedforthreeconditionsfortheexistenceoftheoriginalfunctionandtheintegralfactormethod.

Keywords:ordinarydifferentialequations;integralfactor;properequation;Ternaryprimitivefunction.目录第一章绪论 41.1课题背景及目的 41.2国内外研究状况和相关领域中已有的成果 41.3研究方法、论文构成及研究内容 5研究方法 51.3.2论文研究内容 5第二章二元微分方程积分因子的定义及其存在条件 62.1积分因子的定义 62.2积分因子存在条件 72.3积分因子的几种解法 8观察法 8公式法 82.3.3分组法 112.3.4几种特殊类型方程积分因子的求法 12第三章三元微分方程积分因子的存在条件及解法 123.1三元原函数存在条件 123.2三元微分方程积分因子存在的条件 143.3三元微分方程积分因子的解法 15结论 19参考文献 20致谢 20第一章绪论1.1课题背景及目的微分方程差不多是和微积分同时产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解.后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论.常微分方程的形成与开展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的开展密切相关的.数学的其他分支的新开展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的开展产生了深刻的影响，当前计算机的开展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.微分方程可以精确地表述事物变化所遵循的根本规律.随着微分方程的理论的逐步完善，只要列出相应的微分方程并找到解方程的方法,微分方程也就成了最有生命力的数学分支.事实上，大局部的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解.当然，这个近似解的精确程度是比拟高的.现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反响过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就.解常微分方程大致有别离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等，其中，积分因子法尤为重要，本论文主要讨论积分因子存在条件及其解法，通过积分因子使常微分方程化为全微分方程形式来求解.1.2国内外研究状况和相关领域中已有的成果积分因子的概念是由瑞士大数学家欧拉提出来的，而且他还确定了可采用积分因子的微分方程类型，证明了但凡可用别离变量求解的微分方程都可以用积分因子求解，但反之不然.随着微分方程理论的不断深入研究，积分因子的应用越来越广.经过许多人的研究证明：不仅仅是可用别离变量求解的微分方程可以用积分因子法求解，甚至只要微分方程的解存在，都可以采用积分因子法求解.只是有些方程求积分因子比求方程的解本身更为复杂.目前国内的伍军、刘许成、阎淑芳等人对积分因子的求法作了详细的研究，并取得了许多重大的成果.尽管目前还没有找到求积分因子的普通解法，但已在相当大的范围内，给出了一些微分方程的存在某些特殊类型积分因子的求法。1.3研究方法、论文构成及研究内容研究方法讨论一类常微分方程(1.1)的积分因子问题.对于方程(1.1)，假设满足,那么称其为恰当方程〔或全微分方程〕.当、及它们的偏导数在某区域D上连续，且(,)D时，那么方程(1.1)的通积分为:(1.2)对于方程(1.1)，假设满足,那么得不出由(1.2)式所表示的通积分，那么可考虑找出积分因子且0使得方程(1.3)为恰当方程.显然方程(1.1)和(1.3)同解，而要解方程(1.3)，关键是求积分因子，使之化为恰当方程求解.本文根据参考文献中的已有定理和研究成果，归纳总结积分因子的解法，比拟系统地阐述了较为根本的几种求法和几种特殊类型方程积分因子的求法，并在此根底上对公式法做了进一步的推广.本文特别对三元微分方程(1.4)的积分因子的存在条件及其解法在二元微分方程积分因子的根底上做了推论。1.3.2论文研究内容本论文共分为四个局部.给出了二元微分方程积分因子的定义以及积分因子存在的充要条件[1-2].给出了求二元微分方程积分因子的一些根本方法：观察法、公式法[3-7]和分组法[8]以及几种特殊类型方程积分因子的求法[9-10].对公式法作了进一步的推广，通过对几种常见积分因子类型归纳演绎,得到几个新的结论并作了详细证明。根据二元微分方程积分因子的存在条件及其解法推导三元微分方程积分因子的存在条件及其解法。总结了各种微分方程积分因子的求法各自的适用范围。第二章二元微分方程积分因子的定义及其存在条件2.1积分因子的定义在绪论1.3中我们已讨论当方程(1.1)是恰当方程时，即有成立.由(1.2)可直接解得方程(1.1)的通解.当方程(1.1)不是恰当方程时,即不成立.但如存在不恒等于零的连续可微函数使方程(1.3)成为恰当方程,那么就称为方程(1.1)的积分因子.此时(1.3)的通解也就是方程(1.1)的通解，其中为任意常数.定理2.1如果是微分方程(1.1)的积分因子,即存在可微函数=使得,那么也是方程(1.1)的积分因子的充要条件是=,这里是关于的可微函数.证明充分性由于=()==这里是的一个原函数,这就意味着()=0是恰当方程,其通解就是=C(C为任意常数).必要性因为是方程(1.1)的积分因子,所以存在可微函数使方程两边乘以,得()==所以=,其中为关于的可微函数。由此可见方程(1.1)的积分因子并不唯一.2.2积分因子存在条件由恰当方程的定义，微分方程(1.3)为恰当方程的充要条件是(2.1)即另记=,=M,=N,上式整理为(2.2)所以为方程(1.1)的积分因子的充要条件是为方程(2.2)的解.而方程(2.2)是一个含有两个自变量的偏微分方程,一般地求它要比求常微分方程更困难.但是,在假设干特殊情形下,求(2.2)的一个特解还是较为容易的,所以(2.2)也就提供了寻求特殊形式的积分因子的一个途径。2.3积分因子的几种解法2.3.1观察法观察法是出现最早的求积分因子的方法，在我们所使用的教材上已作了详细的介绍，在此不再赘述。而形如的微分方程,如果，的原函数互为相反数.此时为其积分因子,那么原方程可凑成恰当方程.公式法定理2.2方程(1.1)存在形如的积分因子的充要条件是(2.3)其中为仅与有关的函数.且其积分因子(2.4)方程(1.1)存在形如的积分因子的充要条件是(2.5)其中为仅与有关的函数.且其积分因子(2.6)由于此定理在教材中已作详细证明，本论文不再累述.定理2.3方程(1.1)存在形如的积分因子的充要条件是(2.7)其中是仅与有关的函数.且其积分因子(2.8)定理2.4方程(1.1)存在形如的积分因子的充要条件是(2.9)其中是仅与有关的函数，为任意常数.且其积分因子=(2.10)注当取时，方程(1.1)存在形如的积分因子的充要条件是(2.11)其中为仅与相关的函数.定理2.5方程(1.1)存在形如〔、是关于、的连续可微函数〕的积分因子的充要条件是(2.12)其中为仅与相关的函数，、分别为关于、的导数.且其积分因子= (2.13)定理2.6方程(1.1)存在形如的积分因子的充要条件是(2.14)其中是仅与有关的函数.且其积分因子(2.15)定理2.7方程(1.1)存在形如的积分因子的充要条件是(2.16)其中是仅与有关的函数，为任意常数.且其积分因子=(2.17)注2.7当取时,方程(1.1)存在形如的积分因子的充要条件是(2.18)其中为仅与相关的函数.定理2.8方程(1.1)存在形如〔、分别是关于的连续可微函数〕的积分因子的充要条件是(2.19)其中为仅与相关的函数，、EMBEDEquation.DSMT4分别为关于EMBEDEquation.DSMT4、EMBEDEquation.DSMT4的导数.且其积分因子EMBEDEquation.DSMT4=EMBEDEquation.3(2.20)对以上定理作进一步归纳总结可得到以下定理.定理2.9方程(1.1)存在形如EMBEDEquation.3(是存在关于的连续偏导数的函数)的积分因子的充要条件是(2.21)其中是仅与有关的函数.且该积分因子(2.22)定理2.10如果方程(1.1)中的，满足条件(2.23)其中均为连续函数，那么方程(1.1)存在积分因子(2.24)定理2.11如果方程(1.1)中的，满足条件(2.25)那么方程(1.1)存在积分因子(2.26)2.3.3分组法一个较复杂的微分方程,通常靠观察法和公式法很难直接求出它的积分因子,运用分组找积分因子的方法,通常称为分组法,而求解微分方程的方法称为分组积分因子法。下面给出关于分组法的几个定理及证明.定理2.12假设为方程(1.1)的一个积分因子,且．那么也是(1.1)的积分因子．其中是的任一连续可微函数.定理2.13如果方程(2.27)的第一、二组分别有积分因子、，即，(2.28)假设能选择连续可微函数，，使得，那么为方程(2.30)的一个积分因子.几种特殊类型方程积分因子的求法定理2.14当时,齐次方程〔其中,是关于x,y的m次齐次连续可微函数〕的积分因子为(2.29)定理2.15当时，微分方程(2.30)的积分因子为(2.31)定理2.16当时，微分方程(2.32)的积分因子为(2.33)其中第三章三元微分方程积分因子的存在条件及解法3.1三元原函数存在条件定理3.1对于三元微分方程〔1.4〕为恰当方程的存在性条件为：〔3.1〕证明在三元微分方程〔1.4〕中M=(3.2)〔3.3〕〔3.4〕而〔3.1〕式可展开为〔3.5〕把〔3.2〕〔3.3〕〔3.4〕式代入〔3.5〕得即所以〔3.1〕式得证。例3.1.1求方程解：这里，，且所以该方程为恰当方程。现在求,使它同时满足以下三个方程：〔3.6〕〔3.7〕〔3.8〕由〔3.6〕对积分得〔3.9〕为了确定，将〔3.9〕分别对求导并使其分别满足〔3.7〕，〔3.8〕。即得：〔3.10〕〔3.11〕积分得：，所以方程的通解为其中为任意常数。3.2三元微分方程积分因子存在的条件由恰当方程的定义，微分方程〔1.4〕为恰当方程的充要条件是〔3.12〕其中是与有关的积分因子。即〔3.13〕所以是方程〔1.4〕的积分因子的充要条件是是方程〔3.13〕的解，而方程〔3.13〕是一个含有三个自变量的偏微分方程，一般的求它比求常微分方程更困难。但是在假设干特殊情况下，求〔3.13〕的一个特解还是较为容易的。所以〔3.13〕也就提供了寻求特殊形式的积分因子的一个途径。例证明方程的积分因子是。证明：由以上的说明可知假设为方程的积分因子那么方程两边同乘后为恰当方程。即方程为恰当方程。现在来验证方程为恰当方程：在方程中故方程为恰当方程即方程的积分因子是。证毕3.3三元微分方程积分因子的解法由于方法甚多，本论文只介绍公式法的一局部。定理方程〔1.4〕存在形如的积分因子的充要条件是〔3.14〕其中是仅与有关的函数，且其积分因子为〔3.15〕证明必要性：设积分因子是仅与有关的函数，那么所以即即〔3.16〕从而必要性得证，即得〔3.14〕式充分性：假设方程〔3.14〕成立，且是方程〔1.4〕的解，显然也是方程〔3.13〕的解，即是方程〔1.4〕的积分因子。将式〔3.14〕代入方程〔3.16〕得〔3.17〕由此可解得定理3.3.2方程〔1.4〕存在形如的积分因子的充要条件是〔3.18〕其中是仅与有关的函数，且其积分因子为〔3.19〕定理方程〔1.4〕存在形如的积分因子的充要条件是〔3.20〕其中是仅与有关的函数，且其积分因子为〔3.21〕定理3.3和定理3.4的证明同定理3.2，在此不做赘述。例3.3.1求方程的积分因子及通解。解：这里且所以方程不是恰当方程。又因为只与有关，故方程有只与有关的积分因子以乘方程两边，得到因而方程的通解为定理3.3.4方程〔1.4〕存在形如的积分因子的充要条件是〔3.22〕其中是与有关的函数，且积分因子为〔3.23〕证明必要性：设积分因子，那么所以即即〔3.24〕从而必要性得证，即得〔3.22〕式。充分性：假设方程〔3.22〕成立，且是方程〔1.4〕的解，显然也是方程〔3.13〕的解，即是方程〔1.4〕的积分因子。将〔3.22〕代入〔3.24〕得到由此可解得同定理3.5可得方程1.4存在形如等一系列积分因子，在此不再表达。例3.3.2求方程解：这里且所以方程不是恰当方程。又因为只与有关，故方程存在只与有关的积分因子以乘方程两边得：因而通解为其中为任意常数。结论〔1〕根据以上对各种二元微分方程积分因子求法的分析，针对不同微分方程因根据其特点采用适当的解法：a.观察法适合比拟简单的微分方程积分因子的求解,有的可直接看出,有的需要先将原方程重新组合,再运用观察法得出.b.公式法运用范围相对较广，只要满足方程，