九年级数学(上册)考点解析2

九年级数学（上册）考点解析

第一章：证明（二）

§1.4角平分线

一、考点解析

1、角平分线的性质定理及其应用；

2、角平分线性质定理的逆定理及其应用；

3、角平分线与平行线的简单组合图形的相关考察；

4、角平分线的对称性；

5、三角形三个内角角平分线会交于一点，这个点的位置与三角形形状之间的关系以及

这个点相关性质；

6、有关角平分线的作图问题.

二、典型例题解析

例1、如图1,已知四边形ABCD是平行四边形，BE、CF分别是NABC、NBCD的平分线,

与AD的交点分别为E、F,贝ij：_l-

AFED

(1)求证：AF=DE；f7

(2)求证：BE±CF.//

证明：CU...=边形ABCD是平行四边形，/\/

.'.ADIIBC,AB=CD,/.ZAEB=ZCBE,0-------------------*

D图1G

；BE平分/ABC,.-.ZABE=ZCBE,

/_ABE=ZAEB,AE=AB,同理可得，DF=CD,AE=DF,AF=DE,

(2)由四边形ABCD是平行四边形得：ABIICD,/.ZABC+ZBCD=180°,

「BE平分/ABC,CF平分/BCD,/ABC=2/CBE,/BCD=2/BCF,

.-.2ZCBE+2ZBCF=180°,/.ZCBF+ZBCF=90°,/.BE1CF.

例2、如图2,在AABC中，已知AB>AC,AD平分NBAC,CDLAD于点D,E为BC边的

中点，求证：DE=-(AB-AC).

2

证明：在AB上取一点F,使FA=CA,连接FD,则由AD为NBAC的角平分线得:

/FAD=ZCAD,又AD二AD,

/.AFAD^ACAD,

/.ZFDA=ZCDA=90°,FD=CD,

•/ZFDA+ZCDA=180°,/.C,D、F三点共线,

*.*FD=CD,BE=CE,二DE为ZkCBF的中住线，

DE-BF-(AB-AF)^-(AB-AC).

222

例3、如图3—1,在aABC中，已知AD垂直于/ABC的平分线BD,AE垂直于NACB的

平分线CE,请判断线段DE与AABC的三边AB、BC、CA之间有何关系？并给出证明.

证明：如图3—2,在BC上取一点F,使FB=AB,

连接FD,则由BD平分NABC得：ZFBD=ZABD,

又BD=BD,.,.△FBD^AABD,

.-.ZFDB=ZADB=90°,FD=AD,

ZFDB+ZADB=180°,.'.A,D,F三点共线，

在BC上取一点G,使GC=AC,连接GE,则由CE平分/ACB得NGCE=/ACE,

又CE=CE,/.AGCE^AACE,

.-.ZGEC=ZAEC=90°,GE=AE,

.-.ZGEC+ZAEC=180°,/.A.E,F三点共线,

.•.在Z\AFG中，FD=AD,GE=AE,

.,.DEj^AAFG的中核线，

DE^-FG^-(BF+CG-BC^-(AB+AC-BC).

222

例4、如图4,已知四边形ABCD的对角线AC、BD分别平分/BCD、ZABC,。为AC与

BD的交点，若BC=AB+CD,求/BOC的度数.

努：在BC上取一点E,使BE=BA,连接。E,则由AC平分NBCD得NAB。=NCB。,

又BA=BE,BO=BO,/.ABAO^ABEO,/.ZAOB=ZEOB,

•.•BC=AB+CD,BC=BE+CE,BA=BE,

，CE=CD,

又由BD平分/ABC得NOCE=NOCD,

又CE=CD,OC=OC,

.'.△BAO^ABEO,ZCOE=ZCOD,

•••ZAOB=ZCOD,ZAOB+ZBOE+ZEOC=180°,

NBOE=/COE=60°，/.ZBOC=ZBOE+ZCOE=120°.

i我测评试题

一、选择题

i、如果一个三角形三内角平分线的交点在此三角形内，那么这个三角形是（）.

A、锐角三角形B、直角三角形

C、钝角三角形D、以上情况都有可能

2、下列结论中，错误的一个是（）.

A、在平面内，到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上

B、到角的两边距离相等的点与角的顶点的连线平分这个角

C、•条直线上有一个点到已知角两边的距离相等，这条直线平分这个角

I）、角内有两点各自到角的两边的距离相等，经过这两点的直线平分这个角

3、在AABC中，NACB=90°，AC=BC,AD是NBAC的平分线，DE_LAB于点E,若AB

=10cm,则4BDE的周长为（）.

A、8cmB、9cmC、10cmD、12cm

4、如图5,已知在△ABC中,D为NABC与NACB的角平

分线的交点，且NBDC=130°,则/BAC=().

A、80°B、65°C、55°D、50°

5、如图6,已知在aABC中，AD平分NBAC交

B

BC边于D,且AB=CB,AC=AB+CD,则/BACD

=().

9、如图9,已知在△ABC中，D为/ABC和NACB

的角平分线的交点，过点D作EF〃BC与边AB、AC

分别交于点E、F,若AB=5cm,AC=3cm,贝ijAAEF

的周长为（）cm.

10、在一个三角形中，如果一个角的平分线恰好是这个角的对边上的高，那么这个三

角形一定是（).

三、解答题

11、如图10,已知0A、OB分别是从0城到A、B两城的

两条笔直的公路，C、D是这个区域内的两个小镇.请你

作出点P,使点P到两条公路OA、0B的距离相等，到两

个小镇C、D的距离也相等.（保留作图痕迹，写出作法）

12、如图11,在aABC中，已知AD垂直于/ABC

外角的平分线BD,AE垂直于NACB外角的平分线

CE,请判断线段DE与aABC的三边AB、BC、CA之

间有何关系？并给出证明.

参考答案：

一、选择题

答案：1、D2、C3,C4、A5、C

提小：1、三角形的三个内角平分线的交点一定在三角形内，而与三角形本身的形状

没有关系，因此应选择D.

2、由角平分线的基本性质及判定定理即可判断答案为C.

3、由D点在NCAB的平分线上以及NC=90°、DE±AB得CD=ED,因此aBDE

的周长为BD+DE+EB=BD+CD+EB=BC+BE=AE+EB=AB=10,应选择C.

4、由BD平分NABC,CD平分NACB得：NABC+NACB=2(NDBC+NDCB)

=2X(180°-130°)=100°,.*.ZA=180o-100°=80°,故选A.

5、在AC上取一点E,使AE=AB,连接DE,则由AD平分NBAC得：NBAD=

ZEAD,AD=AD,.,.△BAD^AEAD,.*.AB=AE,ZAED=ZB=180°一(ZBAC+ZC)

=180°-2ZBAC,，NCED=2NBAC,而AC=AB+CD=AE+CE,ACD=CE,即NCDE

=NCED=2NBAC,又NC+NCED+NCDE=NBAC+2NBAC+2NBAC=180°,AZBAC

=36°,所以应选择C.

二、填空题

答案：6、123°7、44°或76。8、49,810、等腰三角形

提示：6、由NBAC=66°可知NABC+NACB=180°-66°=114°,点P到三角形

三边BC、CA、AB的距离PD、PE、PF恰好相等，因此点P是三角形三内角平分线的交

点..*.NPBC+NPCB=11404-2=57°,.\ZBPC=180°一(ZPBC+ZPCB)=180°

-57°=123°.

7、分三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论：当顶角为锐角时,

底角为76°；当顶角为钝角时，底角为44°.

8、具体画图验证即可，但应该注意这样的点并不一定在三条直线所围成的三

角形内，还可以在三角形外.

9、由BD平分/ABC得NABD=/CBD,又EF〃BC,/.ZEDB=ZCBD=ZEBD,

.*.DE=BE；同理，DF=CF,，ZXAEF的周长为AE+ED+DF+FA=AE+EB+FC+AF