河南省孟津二高2021届高三考前模拟卷（一） 数学（理）试卷

孟津二高2021届高三考前模拟卷(一)

理科数学试题卷

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷(选择题，共60分)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.己知集合A={xIx?+x—2W0},B={x|3'<1},则ACQB=

A.{xIx<0}B.{x|x>一2}C.{x|-2<x<0}D.{xIOWxWl}

2.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式建

=cosx+isinx,这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根

据此公式可知，设复数z=e今，根据欧拉公式可知，3表示的复数的虚部为

3.若直线y=3%+b是函数f(x)图像的一条切线，则函数f(x)不可能是

A.f(x)=exB.f(x)=x'C.f(x)=sinxD.

•)ps

5.已知等差数列｛与｝的公差不为零，且/=4%，S,为其前〃项和，则」=

4

〃("+3)/：(/?-3)

A.-----------D.n(n-1)

-4-&2

6.已知函数f(x)=ex—e-x,a=f(3°'2),b=f(0.30'2),c=f(logo,23),则a,b,c

的大小关系为

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

,3x—5y+1520,

7.若x,y满足条件,yW—x+11,当且仅当x=5,y=6时，z=ax—y取最小值，则实

数a的取值范围是

53

A.(-1,-)B.(--,1)

35

33

C.(一1,£)D.(一8,-1)U(-,4-oo)

55

8.己知数列｛册｝的通项公式是与

f(x)=sin(6;x+-cp)(co>o,IcpI<-)的部分图像

2

如图所示，S〃为数列｛册｝的前人项和,则S2021的值为

A.-1B.0

C.ID.

22

9.己知等腰直角AABC的斜边BC=4,沿斜边的高线AD将4ABC折起，使二面角B—AD—C

为生，则四面体ABCD的外接球的体积为

3

V2128^12828

A.-y%B.-冗C.—TTD.—7C

x2,y2

10.已知A,B是椭圆=+77=1(a>b>0)长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对

ab~

称的两点，直线AP,BQ的斜率分别为k“k(k,k^0).若椭圆的离心率为k，则I

222

k,I+Ik2|的最小值为

IB.V2C.与D.V3

A.

11.在棱长为2的正方体ABCD—ABCD中，点E£平面AABB,点F是线段AAi的中点，若

D】E_LCF,则AEBC面积的最小值为

752>/5

A.-----B.1C.--------D.2

55

12.已知函数f(x)满足f(x)=f(3x),当乂£[,，1)时，f(x)=ln3x,若在区间

3

[-,9)内，函数g(x)=f(x)—ax有四个不同零点，则实数a的取值范围是

3

AzIn3/In31、kJn31>,nzIn3In3、

3e93e92e94

第H卷(非选择题，共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在矩形ABCD中，其中AB=3,AD=1,AB上的点E满足亚+2万百=0,F为AD上任

意一点，则丽•BF=.

，2_1-1

14.“一。至庐展开式中的a与b指数相同的项的表达式为

\/

x2y2

15.已知双曲线C：--yr=l(a>0,b>0)的右顶点、右焦点为A、F,过点A的直线

优b“

1与C的一条渐近线交于点Q,直线QF与C的一个交点为B,AQ-ABAQ-FB,

且硕=4而，则双曲线离心率e为.

16.1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长?》标志着几何概念从整

数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这

类图形为对象的数学分支一一分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，

事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具.

下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1,线段AB的长度为a,在线段AB上

取两个点C,D,使得AC=DB=2AB,以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角

3

形，然后去掉线段CD,得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作，

得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：

记第n个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为S,„若存在最大的正整数a,

使得对任意的正整数n,都有$“<2021,则@=.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第

17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求

作答.

（-）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）

7

如图，在△ABC中，AB=9,cosB=±,点D在BC边上，AD=7,NADB为锐角.

3

（I）求BD；

（II）若NBAD=NDAC,求sinC的值及

CD的长.

18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，PC，底面ABCD,

底面ABCD是直角梯形，AB±AD,

AB〃CD,AB=2,AD=CD=1,E是PB的中点.

（I）求证：平面EAC,平面PBC；

（II）若PC>1,直线PA与平面EAC所成角的正弦值为，求二面角P—AC—E的余弦值.

19.（本小题满分12分）

手机芯片是一种硅板上集合多种电子元器件实现某种特定功能的电路模块，是电子设备

中最重要的部分，承担着运输和存储的功能.某公司研发了一种新型手机芯片，该公司

研究部门从流水线上随机抽取100件手机芯片，统计其性能指数并绘制频率分布直方图

（如图1）：

年悄售（万件）

120

110

100

90

80

102030405060

年营侑费用x（万元）

图2

产品的性能指数在［50,70）的称为A类芯片，在［70,90）的称为B类芯片，在［90,

110］

的称为C类芯片-，以这100件芯片的性能指数位于各区间的频率估计芯片的性能指数位

于该区间的概率.

（I）在该流水线上任意抽取3件手机芯片，求C类芯片不少于2件的概率；

（II）该公司为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对

近5年的年营销费用X：和年销售量g（i=l,2,3,4,5）数据做了初步处理，得到

的散点图如图2所示.

（i）利用散点图判断，y=a+bx和y=c・（（其中c,d为大于0的常数）哪一个更适合

作为年营销费用和年销售量的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；

（ii）对数据作出如下处理：令u,=lnx“v,=lny“得到相关统计量的值如下表：

555555

X,，2"跖

i-li-1i-1i-1i-1i-1i-1

15072555001575016255682.4

根据(i)的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；

(iii)由所求的回归方程估计，当年营销费用为100万元时，年销量y(万件)的预报值.

(参考数据：e''=30)

参考公式:对于一组数据(小山),(«2，次)，…，(«.，/)，其回归直线v=a+pu的斜率和

.■

X(%_uHui-u)XUiUi-nuu

截距的最小二乘估计分别为&=------------=1=1--------------------------，;=Q一缸

»*诏—痴2

(-1i-l

20.(本小题满分12分)

已知抛物线C：x°=4y和圆E：x2+(y+1)'—I,过抛物线上一点P(Xo,yO),作圆E

的两条切线，分别与x轴交于A、B两点.

(I)若切线PB与抛物线C也相切，求直线PB的斜率；

(H)若y0N2,求4PAB面积的最小值.

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=xlnx—ax+1.

(I)求f(x)的最小值；

(1Az、46尸2

(H)证明：对任意的xc(0,+8),e［lnx+—J-(e*+x)+----->0恒成立.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所

做的第一题记分.

22.(本小题满分10分)［选修4—4：坐标系与参数方程］

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的

极坐标方程为夕cos(6+.J=三，曲线C的极坐标方程为p2(l+3sin26)=4.

(I)写出直线1和曲线C的直角坐标方程；

(II)已知点A(1,0),若直线1与曲C线交于P,Q两点，PQ中点为M,求空空21

\AM\

的值.

23.(本小题满分10分)［选修4—5：不等式选讲］

已知函数f(x)=Ix+1I—I2x—4I.

(I)在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象；

(II)若对f(x)Wt恒成立，t的最小值为

m,且正实数a,b,c满足a+2b+3c=m,求

，十旦的最小值.

a-hciH-c

理科数学评分参考

一、选择题

DCDDAACDBBCB

填空题

-84aM;i5,16,1010.

12.-3:14.

4

三、解答题

17.解:(1)在MBD中，由余弦定理得AS?+8/)2-2ABBDcosB=AD2,

整理得BEP—128/)+32=0,所以80=8或%)=4.

1649-81

当班)=4时，cosAADB=+=_2,则ZAOB>£,不合题意，舍去;

2x4x772

当50=8时，cosZADB=—64+49—-g-1二—,2则ZAO6〈生7t，符合题意.

2x8x772

所以80=8.6分

/八+M八/AB2+AD2-BD211也”8\/5

(2)在AABD中，cos/BAD=---------------=—,所以sinABAD=----

2ABAD2121

又sinAADB-§逐

7

所以sinC=sin(ZAL>B—NG4£>)=sin(ZAO8-N8g=¥?—m布

21147

生--sinZCAD=—^=-8石392

在AACD中，QDA。，所以CD=

sinC17V5五一亍12分

sinZC4£>sinC

147

18(1)证明：・.・PC_L平面ABCD,ACu平面ABCD,AC_LPC,2分

AB=2,AD=CD=l,AC=BC=42

.-.AC2+BC2=AB-,：.AC1BC

又3CriPC=C,「.AC，平面PBC,

•••ACu平面EAC,二平面E4CJ_平面PBC.....5分

(2)以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示,

则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0),

设P(0,0,a)(a>l),则E(―,

2

乱=(1,1,0),PA=(l,l,-a)

222

设平面EAC的法向量加=(X,y,z),

x+y=0,

则《；x-；y+az=0,二而二(1'T-I)

设直线PA与平面EAC所成角为G,则

1-1+2也，解得优一5。2+4=0,。=2或a=1

sin0=|cos<PA,m>|=

2+4-V2+«23

a

(舍去).

取CB=(1,-1,0),则在.方=方.左i=o,亍月为面PAC的法向量，m=(l,-l,-l)

------2V6

cos<m,CB>\--f=~产=——，

V2-V33

V6

所以二面角尸一4。一石的余弦值为手.•12分

19.解：(1)由频率分布直方图，A、B、C类芯片所占频率分别为0.15,0.45,0.4,取出C

类芯片的概率为2,

5

设''抽出C类芯片不少于2件”为事件A,P(A)=(|)3+C；(|)2|=-^.........4分

(2)(i)用y=C，1”更适合；..........6分

(ii)lny=lnc+"lnx,令〃=lnx,D=lny,则D=lnc+d”,“=3.2,0=5，

EUR-5uv

i=\82.4-5x3.3x52.4_1

由表中数据可得,

56-5x3.2?获一5

-5M-

I=I

则lnc=D-g〃=5-Lx3.2=3.4,所以，0=34+0.5”，

2

叩lnm=3.4+0.51nx=ln(e工4.x，,

因为e3,=30,所以$=30x；..........10分

(iii)当x=100,p=30J1而=300.所以年销售量的预报值为300万件......12分

20.解：(1)设切线PB的方程为y=丘+加，代入抛物线的方程得f—4丘—4利=0,

由相切的条件可得△=16k2+16tn=0,即A+帆=0,

由直线与圆相切可得圆心到直线距离d=半驾=1,即/=+2加，

所以m2+3%=0,m=一3或机=0(舍去)，k2=3,k=+3...........6分

(2)设切线方程为=左(%-%0)，即依一y+%-依)=0,

圆心到直线距离d=I=1；整理得F(x2一])-Qx%+2%)k++2邦=0,

J1+42

设PA,PB斜率分别为%及,则&+k2=2号+2%。人.内=后产%,

令y=0,得乙=/一F，/二%o一F，

Kk2

I3=15-贽)-5-汐引浑扫=|与卢M=J4R*。)%=2底+,。

k\k2k、k2k]k2%+2%%+2

22

S“AB=glA3|.yo=；2代+6yo=l(y0+6y0)y0'

y0+2%N(%+2>

(y2+6y)y22/(/+4j+18)

令f(y)=KT'.，八爪(用:>0,

/(y)在[2,+8)上单调递增，所以/(y)1111n=y(2)=4.

所以SA”，的最小值为2..........12分

21.(1)解：由题意可得f(x)的定义域为(0,+«0,f'(x)=l+lnx-a,

由f'(x)<0,得0<x<e"T;由f'(x)>0,得x>e"T.

则f(x)在(O4T)上单调递减，在(e"T,+oo)上单调递增.

故/'(X)min=/©T)=]_*\.........5分

14ex~2

(2)要证eYinx+±)—(eX+x)+^^>0成立，即证

xx

e”(xInx+1)-x(£x+x)+4e”~>0,即证e'Inx—x+1)—x2+4e'—>0,

x"4

即证工In%—x+1>------•

产/

设g(X)=xlnX-X+l,由(1)可知g(X)min=g(1)=0.

丫242丫_丫2

设h(x)=---(x>01则h(x)=——(x>0),

eee

由h'(x)>0,得0<xV2