2021年至2023年全国考研数学真题(附解析答案)

2023年全国硕士研究生招生考试考研(数学三)真题及详解一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符2.函数的原函数为()。3.已知微分方程式y”+ay'+by=0的解在(一~,+～)上有界，则()。——jyyy^tw~000{,y~ujQqỹj~u——4.已知an<bn(n=1,2,…),若级数绝对收敛”的()。的规范形为()。,,,,BAeB8.设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则E(IX-EXI)=(——yyyy^w~000{.y~uyQq;,二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分。请将答案写在答题纸指定位置上。,14.设某公司在t时刻的资产为f(t),从0时刻到t时刻的平均资产等于f(t)/t-t。假设f(t)连续且f(0)=0,则f(t)=——yyyy^tw~000{,y~uyQqỳy~u—-为常数，若,则16.设随机变量X与Y相互独立，且X～B(1,p),Y～B(2,p),p∈(0,1),则X三、解答题：17～22小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本题满分10分)已知可导函数y=y(x)(2)判断x=0是否为y(x)的极值点。且y(0)18.(本题满分12分)已知平面区域(1)求D的面积。(2)求D绕x轴旋转所成旋转体的体积。20.(本题满分12分)设函数f(x)在[-a,a]上具有2阶连续导数，证明：(1)若f(x)=0,则存在ξ∈(一a,a),使得(2)若f(x)在(-a,a)内取得极值，则存在η∈(一a,a),使得21.(本题满分12分)设矩阵A满足对任意x₁,xz,x₃均有x(2)求可逆转矩阵P与对角矩阵A使得P-'AP=A。22.(本题满分12分)设随机变量X的概率密度为,令Y=e*。(1)求X的分布函数。(2)求Y的概率密度。——yyyy^tw~000{,y~uyQqỳy~u——2023年全国硕士研究生招生考试考研(数学三)真题及详解一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。1.已知函数f(x,y)=1n(y+lD.均不存在【正确答案】A【参考解析】f(0,1)=ln(1+0)=0,由偏导数的定义，可得：助...因为,所以的原函数为()。——yyyy^tw~000{,y~uyQqỳy~u——由于原函数在(一～,+～)内连续，所以C₁=1+C₂,令C₂=C,则C₁=1+C,故。因此，此时不能有解在(一，——yyyy^w~000{,y~uyQqyy~u——+～)上有界。。因此，此时不能有解在(一，+%)上有界。当△=a²-4b<0时，特征方程的根为要使微分方程的解在(一，+)有界，则a=0,结合△=a²-4b<0,可得b>0。4.已知an<bn(n=1,2,…),绝对收敛”绝对收敛”的()。——yyyy^w~000{,y~uyQqjy~u--6.二次型f(xj,xz,x₃)=(x₁+x₂)²+(x₁+x₃)²-4(x₂-x₃)²根据可得A的特征值为3,一7,0。故选B项。,,,,,——yyyý^tw~000{,y~uỳ【正确答案】D8.设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则E(IX-EXI)=()。【正确答案】C【参考解析】方法1:由题意可知EX=1,所以——yyýý^tw~000{,y~uỷQqyý~u——因此选C项。因此选C项。;——yjjj^w~000{,yj~ujQqjy~u——的样本方差为的样本方差,故选择D项。——yyyj^w~000{yy~uyQqjy~u--,,故选择A项。二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分。请将答案写在答题纸指定位置上。【正确答案】2/3【参考解析】12.已知函数f(x,y)满足满足,【参考解析】由题意可得：则再由f(1,1)=π/4可——yyyy^w~000{,yy~uyQqjy~u—-;。;。【正确答案】即有s”(x)—s(x)=0,又由s(0)=1,s′(0)=0,解得s(x)=C₁e*+C₂e*。可得C₁+C₂=1,C₁-C₂=0,解得C₁=C₂=1/2。14.设某公司在t时刻的资产为f(t),从0时刻到t时刻的平均资产等于f(t)/t-t。假设f(t)连续且f(O)=0,则f(t)=——yyyy^w~000{,yy~uyQqjy~u——16.设随机变量X与Y相互独立，且X～B(1,p),Y～【参考解析】由X~B(1,p),Y～B(2,p)可得DX=p(1-p),DY=2p(1-p)。Cov(X+Y,X-Y)=Cov(X+Y,X)=Cov(X,X)+Cov(Y,X)-Cov(X,Y)-C=DX-DY=p(1-p)-2p(1-p)=-D(X+Y)=DX+DY=3p(1-p),D(X-Y)=DX+DY=17.(本题满分10分)已知可导函数y=y(x)满足ae⁴+y²+y-In(1+x)cosy+b=0,且y(0)(1)求a,b的值。——yyýý^tw~000{,yy~ujQqy18.(本题满分12分)已知平面区域(2)求D绕x轴旋转所成旋转体的体积。解：(1)D的面积为：(2)D绕x轴旋转所成旋转体的体积为：解：本题目先利用奇偶对称性化简，再切割积分区域，把积分区域分为三块，分别采用极坐标进行计算。题19解图——yyyy^w~000{,yy~uyQq20.(本题满分12分)设函数f(x)在[-a,a]上具有2阶连续导数，证明：③——yyyy^tw~000{,jj~uyQqyy~u—-即21.(本题满分12分)设矩阵A满足对任意x₁,x₂,x₃均有(1)求A。(2)求可逆转矩阵P与对角矩阵A使得P-'AP=A。——yyyy^w~000{,yy~uyQqyy~u——解：(1)因为对任意xj,x₂,x₃均成立，所以所以A的特征值为λ=-2,λ₂=2,λ₃=-1。,可得对应的特征向量为α₁=(0,-1,1)T。₃=-1时，;可得对应的特征向量为a₃=(1,0,-2)T。22.(本题满分12分)设随机变量X的概率密度为<,令Y=e^。(3)Y的期望是否存在?解：(1)X的分布函数为：(2)方法1:分布函数法——yjýy^tw~000{,yy~uyQqjj~u—-当y≥0时，有Fy(y)=P{X≤lny}=F(lny)=y/(1+y)。方法2:公式法此时x=Iny,所以当(3)由于——yjyj^w~000{,yy~uyQqyy~u--一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所有选项前的字母填在答题卡指定位置④若a(x)-β(x)=o(α(x)),则a(x)其中正确的是()(A)有最大值，有最小值(B)有最大值，没有最小值(C)没有最大值，有最小值(D)没有最大值，没有最小值,,,(C)I₁<I₃<I₂(5)设A为3阶矩阵，,则A的特征值为1,-1,0的充分必要条件(A)存在可逆矩阵P,Q,使得A=PAQ——jyyy^w~000{y~uyQqyy~u--;;(B)存在可逆矩阵P,使得A=PAP-¹(D)存在可逆矩阵P,使得A=PAP⁷(6)设矩阵,则线性方程组Ax=b解的情况为()(C)有无穷多解或无解(D)有唯一解或无解(7)i等价，则λ的取值范围是(),且X与Y不相关，则D(X-3Y+1)=()(10)设二维随机变量(X,Y)的概率分布YX012一Iba若事件{max{X,Y}=2}与事件{min{X,Y}(A)-0.6(B——yyyy^w~000{y~uyQqyy~u--二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分(15)设A为3阶矩阵，交换A的第2行和第3行，再将第2列的-1倍加到第1列，(16)设A,B,C为随机事件，且A与B互不相容，A与C互不相容，B与C相互则P(BUC|AUBUC)=三、解答题：17-22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤y(1)=3的解，求曲线y=y(x)的渐近线.(18)(本题满分12分)设某产品的产量Q由资本投入量x和劳动投入量y决定，生产函数；投入的价格分别为6和8,求利润最大时的产量.(20)(本题满分12分)求幂级数的收敛域及和函数S(x),(21)已知二次型f(x₁,x₂,x₃)=3x²+4x2+3x²+2x;x₃——jyyy^tw~~000{,y~uyQqjj~u——(ii)证明(22)设X₁,X₂,…,X,为来自均值为θ的指数分布总体的简单随机样本，求Y,Y?,…,Y为来自均值为20的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独然估计量θ,并求D(O)——jyyy^tw~000{,y~uyQqjj~u—-2022年研究生考试数学三真题及详解一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.其中正确的序号是()【答案】(A)——jyyy^tw~000{,y~uyQqjj~u——,;.;,,;.;,最小值,【答案】C,(A)I₁<I₂<I₃(C)I₁<I₃<I₂【答案】A——jyyy^tw~000{,y~uyQqỹj~u—-(7)设,(7)设,,故I₂<l₃.(5)设A为3阶矩阵，,则A特征值为1,-1,0的充分必要条件是()(A)存在可逆矩阵P,Q,使得A=PAQ(B)存在可逆矩阵P,使得A=PAP-1(D)存在可逆矩阵P,使得A=PAP⁷【解析】若(B)成立，则矩阵A与A相似，特征值相等，可推出A特征值为1,-1,0若A特征值为1,-1,0,则矩阵A可以相似对角化，矩阵A与A相似，所以(B)为充要条件(6)设矩阵!:则线性方程组Ax=b的解的情况为(),,价，则λ的取值范围是()方程无解，故选(D)——jjjj^w~000{,yujQqỹj~u—-【答案】C【解析】由(8)设随机变量X～N(0,》,随机变量(C)6(9)设随机变量序列Xj,X₂,…,X₂,…独立同分布，且X₁的概率密度为,则当n→0时，依概率收敛于()【答案】(B)XY012b——yyyy^w~000{.y~uyQ1a(A)-0.6(C)0【答案】(B)02P二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上.【解析】——yyyy^w~000{,y~uyQ【答案】-1——yyyy^w~000{,yy~uy