第七章 立体几何与空间向量 第4节 直线、平面平行的判定与性质

第4节直线、平面平行的判定与性质考试要求1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.1.直线与平面平行知

识

梳

理(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示判定定理平面外____________________________平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的_____与该直线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b一条直线与此平面内的一条直线交线2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条__________与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β相交直线性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线_______于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的_______平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b平行交线[常用结论与微点提醒]1.平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.2.三种平行关系的转化线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向.诊

断

自

测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(

)(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.(

)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(

)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(

)解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)√2.(老教材必修2P61A组T1(2)改编)下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是(

) A.直线a上有无数个点不在平面α内 B.直线a与平面α内的所有直线平行 C.直线a与平面α内无数条直线不相交 D.直线a与平面α内的任意一条直线都不相交

解析因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.

答案D3.(新教材必修第二册P142T2改编)平面α∥平面β的一个充分条件是(

) A.存在一条直线a，a∥α，a∥β B.存在一条直线a，a⊂α，a∥β C.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

解析若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A；

若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B；

若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C；

故选D.

答案D4.(2020·洛阳尖子生联考)设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l⊂α，m⊂β，下列结论正确的是(

) A.若α⊥β，则l⊥β B.若l⊥m，则α⊥β C.若α∥β，则l∥β D.若l∥m，则α∥β

解析对于A，α⊥β，l⊂α，只有加上l垂直于α与β的交线，才有l⊥β，所以A错误；对于B，若l⊥m，l⊂α，m⊂β，则α与β可能平行，也可能相交但不垂直，所以B错误；对于C，若α∥β，l⊂α，由面面平行的性质可知，l∥β，所以C正确；对于D，若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α与β可能平行，也可能相交，所以D错误.

答案C5.(2019·东营月考)若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中(

) A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一与a平行的直线

解析当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.

答案A6.(2019·衡水中学开学考试)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________.

解析∵平面ABFE∥平面DCGH，

又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，

平面EFGH∩平面DCGH＝HG， ∴EF∥HG.同理EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形.

答案平行四边形考点一与线、面平行相关命题的判定【例1】(1)(2019·长沙模拟)设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，给出下列命题： ①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α； ③若a∥α，b∥α，则a∥b.

其中真命题的个数是(

) A.0 B.1 C.2 D.3(2)(2020·江西红色七校联考)设m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(

)A.若m∥n，n⊂α，则m∥αB.若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nC.若α∥β，m⊥α，则m⊥βD.若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β解析(1)对于①，根据线线平行的传递性可知①是真命题；对于②，由a∥b，b∥α，可以推出a∥α或a⊂α，故②是假命题；对于③，根据a∥α，b∥α，可以推出a与b平行、相交或异面，故③是假命题.所以真命题的个数是1.故选B.(2)若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，所以选项A不正确；若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n或m与n异面，所以选项B不正确；若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β或α与β相交，所以选项D不正确.故选C.答案(1)B

(2)C规律方法1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.【训练1】(1)(2019·全国Ⅱ卷)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(

) A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α，β平行于同一条直线 D.α，β垂直于同一平面 (2)(多选题)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是(

) A.AD1∥BC1 B.平面AB1D1∥平面BDC1 C.AD1∥DC1 D.AD1∥平面BDC1解析(1)若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，当无数条直线互相平行时，α与β可能相交；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件.根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立.因此B中条件是α∥β的充要条件.(2)如图，因为AB綉C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形.故AD1∥BC1，从而A正确；易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，从而B正确；由图易知AD1与DC1异面，故C错误；因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故D正确.答案(1)B

(2)ABD角度1直线与平面平行的判定考点二直线与平面平行的判定与性质多维探究(1)证明取CD的中点M，连接EM，BM.因为CE＝ED，所以EM⊥CD.因为平面ECD⊥平面BCD，且平面ECD∩平面BCD＝CD，EM⊂平面ECD，所以EM⊥平面BCD.因为AB⊥平面BCD，所以AB∥EM.又EM⊂平面ECD，AB⊄平面ECD，所以AB∥平面ECD.(2)解因为原四边形BCED为正方形，M为CD的中点，所以BM⊥CD.由(1)可知，点A到平面ECD的距离等于点B到平面ECD的距离，又因为平面ECD⊥平面BCD，且平面ECD∩平面BCD＝CD，BM⊂平面BCD，所以BM⊥平面ECD.角度2直线与平面平行性质定理的应用【例2－2】

如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.

证明：FG∥平面AA1B1B.证明在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.规律方法1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.【训练2】

(2019·日照一模)如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别是BC，DE的中点，△ABE是等边三角形，平面ABE⊥平面BCE，BE⊥CE，BE＝CE＝2. (1)求证：CN∥平面AEM； (2)求三棱锥N－AEM的体积.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.(1)证明如图，设AE的中点为F，连接MF，NF.又∵N是DE的中点，∴四边形MCNF是平行四边形，∴CN∥MF.又MF⊂平面AEM，CN⊄平面AEM，∴CN∥平面AEM.(2)解如图，过点A作AO⊥BE，O为垂足，连接AC.∵平面ABE⊥平面BCE，平面ABE∩平面BCE＝BE，∴AO⊥平面BCE.∵BE⊥CE，BE＝CE＝2，M为BC的中点，由(1)得CN∥平面AEM，【例3】

(经典母题)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG.

证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC， ∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.考点三面面平行的判定与性质典例迁移(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【迁移1】

在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性质及D，D1分别为BC，B1C1的中点知，D1C1綉BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，因此平面A1