5.1 任意角和弧度制（精练）-2022版高中数学新同步精讲精炼（必修第一册）（教师版含解析）

5.1任意角和弧度制【题组一基本概念的辨析】1．(2020·河南林州一中高一月考)已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝()A．{α|α为锐角} B．{α|α小于90°}C．{α|α为第一象限角} D．以上都不对【答案】D【解析】∵A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，∴A∩B＝{小于90°且在第一象限的角}，对于A：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；对于B：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°；对于C：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°，故选D．2．(2020·浙江高一课时练习)下列命题中正确的是()．A．第一象限角一定不是负角 B．小于90°的角一定是锐角C．钝角一定是第二象限角 D．终边和始边都相同的角一定相等【答案】C【解析】为第一象限角且为负角，故A错误；，但不是锐角，故B错误；终边与始边均相同的角不一定相等，它们可以相差，故D错误．钝角一定是第二象限角，C正确．故选：C．3．(2020·汪清县汪清第六中学高一期中(文))下列结论中正确的是()A．小于90°的角是锐角 B．第二象限的角是钝角C．相等的角终边一定相同 D．终边相同的角一定相等【答案】C【解析】对于A，小于可能是负角，不是锐角；对于B，第二象限的角可能是负角，不是钝角；对于C，两个角相等，始边一致，则终边一定相同；对于D，终边相同的角，可能相差360°的倍数，不一定相等.故选C.4．(2020·全国高一课时练习)(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角或直角或锐角.其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.【答案】②【解析】(1)①锐角的范围为是第一象限的角，命题①正确；②第一象限角的范围为，故第一象限角可以为负角，故②错误；③根据任意角的概念，可知小于180°的角，可以为负角，故③错误；故答案为：②(2)将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过，即转过的度数为故答案为：5．(2020·全国高一课时练习)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角或直角或锐角．其中正确说法的序号为________．(把正确说法的序号都写上)【答案】①【解析】锐角指大于0°小于90°的角，都是第一象限角，所以①对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，小于180°的角还有负角、零角，所以②③错误．故答案为：①6．(2020·全国高一课时练习)下列命题正确的是____________(填序号).①－30°是第一象限角；②750°是第四象限角；③终边相同的角一定相等；④－950°12′是第二象限的角.【答案】④【解析】①是第四象限的角度，故①错误；②750°的终边与的终边相同，故其为第一象限的角度，故②错误；③终边相同的角度不一定相等，故③错误；④－950°12′与－950°12′′的终边相同，其为第二象限的角，故④正确.故答案为：④.【题组二角度与弧度转换】1．(2019·伊美区第二中学高一月考)化为弧度是()A． B． C． D．【答案】B【解析】2．(2020·全国高一课时练习)把化为角度是()A．270° B．280° C．288° D．318°【答案】C【解析】因为，故.故选：C.3．(2020·灵丘县豪洋中学高一期中)化为弧度是()A． B． C． D．【答案】B【解析】化为弧度是.故选：B4．(2020·金华市江南中学高一期中)转化为弧度数为()A． B． C． D．【答案】D【解析】由，所以故选：D5．(2019·长沙铁路第一中学高一月考)将300o化为弧度为()A． B． C． D．【答案】B【解析】．故选：B．6．(2020·通榆县第一中学校高一期末)()A．70° B．75° C．80° D．85°【答案】B【解析】因为，故.故选：B.7．(2020·全国高一课时练习)将下列角度与弧度进行互化.(1)20°；(2)－15°；(3)(4)－.【答案】(1)20°＝；(2)－15°＝－；(3)＝105°；(4)－＝－396°.【解析】(1)20°＝＝.(2)－15°＝－＝－.(3)＝×180°＝105°.(4)－＝－×180°＝－396°.【题组三终边相同】1．(2020·浙江高一课时练习)与405°角终边相同的角是()．A． B．C． D．【答案】C【解析】由于，故与405°终边相同的角应为．故选：C2．(2020·永州市第四中学高一月考)在的范围内，与终边相同的角是()A． B． C． D．【答案】B【解析】因为,则在的范围内，与终边相同的角是,故选：B.3．(2020·合肥市第八中学高一月考)下列各个角中与2020°终边相同的是()A． B．680° C．220° D．320°【答案】C【解析】由题,,故选:C4．(2020·汪清县汪清第六中学高一期中(文))在0°~360°范围内，与-1050°的角终边相同的角是()A．30° B．150° C．210° D．330°【答案】A【解析】因为所以在0°~360°范围内，与-1050°的角终边相同的角是故选：A5．(2020·北京延庆·高一期末)与角终边相同的角为()A． B．C． D．【答案】C【解析】与角终边相同的角可写成令，则故选：C6．(2020·辉县市第二高级中学高一期中)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)【答案】C【解析】与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.故答案为C7．(2020·陕西大荔·高一月考)已知角是第一象限角，则的终边位于()A．第一象限 B．第二象限C．第一或第二象限 D．第一或第二象限或轴的非负半轴上【答案】D【解析】∵由角是第一象限角,∴可得,∴.即的终边位于第一或第二象限或轴的非负半轴上.故选:D.8．(2020·宁县第二中学高一期中)已知角的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么________.【答案】.【解析】在范围内，终边落在阴影内的角满足：或满足题意的角为：，，本题正确结果：【题组四象限的判断】1．(2020·广东高一期末)下列各角中，与2019°终边相同的角为()A．41° B．129° C．219° D．﹣231°【答案】C【解析】因为，所以与2019°终边相同.故选：C.2．(2020·湖南隆回·高一期末)下列各角中，与终边相同的角为()A． B． C． D．【答案】C【解析】与终边相同的角的集合是，当时，.故选：C3．(2020·河南项城市第三高级中学高一月考)设是第一象限角，且，则是第()象限角A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【解析】∵是第一象限角，∴，，∴，，∴为第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴线角，∵，∴，∴是第二象限角.故选：.4．(2020·辉县市第二高级中学高一期中)角弧度，则所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】角弧度，，∴α在第三象限，故选:C.5．(2020·全国高一课时练习)若θ＝－5，则角θ的终边在()A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限【答案】D【解析】2π－5与－5的终边相同，∵2π－5∈，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.故选：D6．(2020·浙江高一课时练习)若是第四象限角,则角的终边在()A．第一象限 B．第一或第三象限 C．第四象限 D．第二或第四象限【答案】D【解析】取,则,在第四象限;取,则,在第二象限.故选：D.7．(2020·浙江高一课时练习)试求出终边在如图所示阴影区域内的角的集合．【答案】．【解析】因为，所以的终边与的终边相同，则终边在题图所示阴影区域内的角的集合为．8．(2020·上海高一课时练习)用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合：(1)(2)【答案】(1)；(2)【解析】(1)边界对应射线所在终边的角分别为所以终边在阴影部分的角的集合为(2)边界对应射线所在终边的角分别为所以终边在阴影部分的角的集合为=【题组五扇形】1．(2020·山东潍坊·高一期末)已知某扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为()A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，某扇形的半径为，圆心角为，根据扇形的面积公式，可得所以此扇形的面积为.故选：B.2．(2020·江西省铜鼓中学高一期末)一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为()A．4 B．1 C． D．2【答案】D【解析】圆心角为，设扇形的半径为，，解得.故选：D3．(2020·武威第八中学高一期末)已知扇形的周长为8，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为()A． B． C． D．【答案】A【解析】设此扇形半径为r，扇形弧长为l=2r则2r+2r＝8，r=2，∴扇形的面积为r=故选A4．(2020·辉县市第二高级中学高一期中)已知扇形的圆心角为，周长为，则扇形的面积为()A． B． C． D．【答案】B【解析】设该扇形的半径为，弧长为，则，且，所以有，所以，该扇形的面积为.故选：B.5．(2020·河南宛城·南阳中学高一月考)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为()A． B． C． D．【答案】A【解析】与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设与所在扇形圆心角分别为，则，又，解得故选:A6．(2020·永昌县第四中学高一期末)如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．【答案】【解析】∵120°＝π＝π，∴l＝6×π＝4π，∴的长为4π.∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，如图所示，作OD⊥AB，有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos30°×3＝9.∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.∴弓形ACB的面积为12π－9.【题组六生活中实际】1．(2020·全国高一课时练习)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________．【答案】－120°【解析】将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过，即转过的度数为故答案为：2．(2020·全国高一课时练习)已知α＝30°，将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为________.【答案】1110°【解析】一个角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角的度数为：．故答案为：．3．(2020·全国高一课时练习)写出下列说法所表示的角.(1)顺时针拧螺丝2圈；(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角．【答案】(1)－720°；(2)900°.【解析】(1)顺时针拧螺丝2圈，即旋转了，顺时针旋转得到的角为负角，故转过的角是；(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，时针拨慢2小时30分，是2.5周角，角度数是；又分针是逆时针旋转，转过的角是．4．(2020·浙江高一课时练习)在一昼夜中，钟表的时针和分针有几次重合？几次形成