2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（精讲）-2022版高中数学新同步精讲精炼（必修第一册）（教师版含解析）

2.3二次函数与一元二次方程、不等式思维导图思维导图常见考法常见考法考点一解无参数一元二次不等式【例1】(2020·全国高一课时练习)解下列不等式：(1)；(2)；(3).【答案】(1)或；(2)；(3)或.【解析】(1)不等式即为，解得或，因此，不等式的解集为或；(2)不等式即为，解得，因此，不等式的解集为；(3)不等式即为，即，解得或.因此，不等式的解集为或.解不含参数的一元二次不等式有以下3种方法：解不含参数的一元二次不等式有以下3种方法：方法一：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．方法二：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得．方法三：则采用求一元二次不等式解集的通法——判别式法【举一反三】1(2020·全国高一课时练习)解下列一元二次不等式：(1)；(2)【答案】(1)；(2).【解析】(1)不等式，即，对应抛物线开口向下，不等式解集为“两根之间”，所以解集为(2)，化简，对应方程，方程的根所以解集为.2．(2020·浙江高一课时练习)解不等式：．【答案】或．【解析】原不等式可化为即即如图，结合数轴，可得原不等式的解集为或．3．(2020·荆州市北门中学高一期末)不等式的解集是________.【答案】【解析】原不等式可化为即，所以，故，所以原不等式的解集为.故答案为：.考点二解含有参数的一元二次不等式【例2】(2020·怀仁市第一中学校云东校区高一期末(理))解关于的不等式:【答案】当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；【解析】由则因为，故对分情况讨论当时，则，所以，不等式的解集为当时，由，不等式的解集或当时，不等式的解集为或当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为解含参数的一元二次不等式时解含参数的一元二次不等式时（1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数a＞0，a＝0，a＜0；（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0)；（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2．【举一反三】1．(2019·山东济宁.高一月考)求关于的一元二次不等式的解集．【答案】详见解析.【解析】，，令，，，(1)当时，即，解集为，或．(2)当时，即，解集为．(3)当时，即，解集为，或．2．(2020·安徽金安.六安一中高一期中(文))解关于x的不等式．【答案】分类讨论，答案见解析.【解析】当时，不等式的解为；当时，不等式对应方程的根为或2，①当时，不等式即的解集为；②当时，不等式的解集为；③当时，不等式的解集为；④当时，不等式的解集为.综上所述，当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.3．(2019·陕西秦都咸阳市实验中学高二月考(理))解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.【答案】见解析【解析】原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0当a＝0时，原不等式解为x>1.当a<0时，不等式可化为，∵，∴或x>1.当a>0时，原不等式可化为若，即a>1，则；若，即a＝1，则；若，即0<a<1，则.综上所述，当a<0时，原不等式的解集为或；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，原不等式的解集为；当a＝1时，原不等式的解集为；当a>1时，原不等式的解集为.考点三三个一元二次的关联【例3】(1(2020·江西上高二中高一期末(文))设一元二次不等式的解集为则的值为()A．1 B． C．4 D．(2)(2020·全国高一课时练习)已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是()A． B．C． D．【答案】(1)B(2)B【解析】由题意可知方程的根为，所以有(2)方程的两根都大于2，则二次函数的图象与轴的两个交点都在x=2的右侧，根据图象得：方程的判别式；当时函数值；函数对称轴。即，解得，所以正确选项为B.1．一元二次不等式1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．【举一反三】1．(2020·农安县实验中学高一期末)已知关于的不等式的解集是，则的值是()A． B．11 C． D．1【答案】C【解析】若关于的不等式的解集是，则2，3是方程的根，故，故，故选：．2．(2020·上海高一开学考试)一元二次不等式的解集是，则的值是()A．10 B．-10 C．14 D．-14【答案】D【解析】根据题意，一元二次不等式的解集是，则方程的两根为和，则有，解可得，，则，故选：．3．(2020·全国高一课时练习)关于的不等式的解集为，则_____________.【答案】-1【解析】由题意，方程有一个根为1，得，则不等式为，其解集为，得，，所以答案为-1.【点睛】本题主要考查一元二次不等式和一元二次方程的关系．4．(2020·浙江高一课时练习)已知关于的不等式的解集是，则_____.【答案】【解析】因为不等式等价于，又其解集是，所以和是关于的方程的两个根，因此，解得，故答案为 考点四一元二次的恒成立【例4】(1)(2020·怀仁市第一中学校云东校区高一期末(理))已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是()A． B． C． D．(2)(2020·安徽金安。六安一中高一期中(理))若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】(1)A(2)A【解析】(1)时，不等式可化为；当时，不等式为，满足题意；当时，不等式化为，则，当且仅当时取等号，所以，即；当时，恒成立；综上所述，实数的取值范围是答案选A(2)原不等式在内有解等价于在内有解，设函数，所以原问题等价于又当时，，所以.故选：A.一、求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法：一、求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法：1.利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x)＞0恒成立a＞0且Δ＜0；f(x)≥0恒成立a＞0且Δ≤0；f(x)＜0恒成立a＜0且Δ＜0；f(x)≤0恒成立a＜0且Δ≤0．注：当未说明不等式是否为一元二次不等式时，先讨论a＝0的情况．2,。将参数分离出来，利用等价转化思想转化为求函数的最值问题（转化为f(x)＞a或f(x)≥a或f(x)＜a或f(x)≤a恒成立的问题）即：存在成立若f(x)在定义域内存在最大值m，则f(x)＜a恒成立a＞m；若f(x)在定义域内存在最大值m，则f(x)≤a恒成立a≥m；若f(x)在定义域内存在最小值m，则f(x)＞a恒成立a＜m；若f(x)在定义域内存在最小值m，则f(x)≥a恒成立a≤m．（2）恒成立在定义域上，不等式恒成立，则，不等式能成立，则，不等式恒成立，则，不等式能成立，则．转化时要注意是求最最小【举一反三】1．(2020·安徽省六安中学高二期末(文))若命题“存在，”为假命题，则实数的取值范围是____【答案】【解析】由题意可知，命题“对任意的，”为真命题，，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.2．(2020·全国高一课时练习)不等式x2＋ax＋4＜0的解集不为空集，则a的取值范围是()A．［－4，4］B．(－4，4)C．(－∞，－4］∪［4，＋∞)D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)【答案】D【解析】不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16>0，∴a<－4或a>4，故选D.3．(2019·山东济宁.高一月考)(1)若不等式的解集是，求不等式的解集；(2)若不等式在实数集上恒成立，求的范围．【答案】(1)，或；(2).【解析】(1)的解集是，所以，是方程的根，由韦达定理得，不等式化为，解得，所以，或.(2)由题意可得，，即，整理得，解得．考点五实际运用题【例5】(2020·浙江高一课时练习)某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入(单位：万元)的函数为，其中x是产品生产并售出的数量(单位：百台)．(1)把利润表示为年产量的函数．(2)年产量为多少时，企业所得利润最大？(3)年产量为多少时，企业才不亏本(不赔钱)？【答案】(1)；(2)475台；(3)年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．【解析】(1)设利润为y万元，得即(2)显然当时，企业会获得最大利润，此时，，，即年产量为475台时，企业所得利润最大．(3)要使企业不亏本，则．即或得或，即．即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．【举一反三】1．(2020·全国高一专题练习)国家原计划以2400元/t的价格收购某种农产品按规定,农户向国家纳税为:每收入100元的税为8元(称作税率为8个百分点,即8%).为了减轻农民负担,制定积极的收购政策,根据市场规律税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点,试确