2024版新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案含解析新人教A版20230519135

2024版新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案含解析新人教A版20230519135第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式一、教材概念·结论·性质重现1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).(1)平方关系的作用：实现同角的正弦值与余弦值之间的转化，利用该公式求值，要注意确定角的终边所在的象限，从而判断三角函数值的符号．(2)商数关系的作用：切化弦，弦切互化．(3)掌握变形公式：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))，sin2α＝eq\f(tan2α,1＋tan2α)，cos2α＝eq\f(1,1＋tan2α).2．诱导公式公式一sin(α＋k·2π)＝sinα，cos(α＋k·2π)＝cosα，tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Z公式二sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα公式三sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα公式四sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα公式五sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα公式六sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα(1)诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”“偶”指的是“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化．若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．(2)利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤：eq\x(\a\al(任意负,角的三,角函数))eq\o(→,\s\up10(利用诱导),\s\do10(公式三或一))eq\x(\a\al(任意正,角的三,角函数))eq\o(→,\s\up10(利用诱导),\s\do10(公式一))eq\x(\a\al(0～2π的,角的三,角函数))eq\o(→,\s\up17(利用诱导公式),\s\do10(二或四或五或六))eq\x(\a\al(锐角三,角函数))也就是：“负化正，去周期，大化小，全化锐”．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立． (√)(2)诱导公式中的角α可以是任意角． (×)(3)若cos(nπ－θ)＝eq\f(1,3)(n∈Z)，则cosθ＝eq\f(1,3)． (×)(4)已知sinθ＝eq\f(m－3,m＋5)，cosθ＝eq\f(4－2m,m＋5)，其中θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则m<－5或m≥3． (×)2．若tanα＝2，则eq\f(sinα－cosα,sinα＋cosα)的值为()A．－eq\f(1,3)B．－eq\f(5,3)C．eq\f(1,3)D．eq\f(5,3)C解析：eq\f(sinα－cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(tanα－1,tanα＋1)＝eq\f(2－1,2＋1)＝eq\f(1,3).3．sin750°＝________.eq\f(1,2)解析：sin750°＝sin(360°×2＋30°)＝sin30°＝eq\f(1,2).4．若sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)<α<π，则tanα＝________.－eq\f(1,2)解析：因为eq\f(π,2)<α<π，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2).5．化简eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)))·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．－sin2α解析：原式＝eq\f(sinα,cosα)·(－sinα)·cosα＝－sin2α.考点1同角三角函数基本关系的应用——应用性考向1知弦求切(2020·福州一模)已知3sinα·tanα＋8＝0，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则tanα＝________.－2eq\r(2)解析：因为3sinα·tanα＋8＝0，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以eq\f(31－cos2α,cosα)＋8＝0，整理可得3cos2α－8cosα－3＝0，解得cosα＝－eq\f(1,3)或cosα＝3(舍去)．所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2\r(2),3).所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－2eq\r(2).若本例的条件改为“eq\f(sinα,1＋cosα)＝2，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))”．求tanα的值．解：因为eq\f(sinα,1＋cosα)＝2，所以sinα＝2＋2cosα.两边平方，得sin2α＝4＋8cosα＋4cos2α，即1－cos2α＝4＋8cosα＋4cos2α，整理得，5cos2α＋8cosα＋3＝0，解得cosα＝－1或cosα＝－eq\f(3,5).当cosα＝－1时，1＋cosα＝0，eq\f(sinα,1＋cosα)无意义；当cosα＝－eq\f(3,5)时，sinα＝eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).本例为已知sinα，cosα，tanα中的一个求另外两个的值．解决此类问题时，直接套用公式sin2α＋cos2α＝1及tanα＝eq\f(sinα,cosα)即可，但要注意α的取值范围，即三角函数值的符号．考向2知切求弦已知eq\f(tanα,tanα－1)＝－1，求下列各式的值：(1)eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.解：由已知得tanα＝eq\f(1,2).(1)eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(tanα－3,tanα＋1)＝－eq\f(5,3).(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝eq\f(sin2α＋sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋2＝eq\f(tan2α＋tanα,tan2α＋1)＋2＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(2)＋\f(1,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(2)＋1)＋2＝eq\f(13,5).利用“切弦互化”的技巧(1)弦化切：把正弦、余弦化成正切的结构形式，统一为正切的表达式，进行求值．常见的结构：①sinα，cosα的齐次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)；②sinα，cosα的齐次分式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα))).(2)切化弦：利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)，把式子中的正切化成正弦或余弦．一般单独出现正切、余切时，采用此技巧．考向3“sinα±cosα，sinαcosα”之间的关系已知－π<x<0，sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，求sinx－cosx的值．解：由已知，得sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，整理得2sinxcosx＝－eq\f(24,25).因为(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25)，所以sinx－cosx＝±eq\f(7,5).由－π<x<0知，sinx<0，又sinxcosx＝－eq\f(12,25)<0，所以cosx>0.所以sinx－cosx<0.故sinx－cosx＝－eq\f(7,5).本例中若将条件“－π<x<0”改为“0<x<π”，求sinx－cosx的值．解：因为0<x<π，2sinxcosx＝－eq\f(24,25)，所以sinx>0，cosx<0，所以sinx－cosx>0，故sinx－cosx＝eq\f(7,5).“sinα±cosα，sinαcosα”关系的应用sinα±cosα与sinαcosα通过平方关系联系到一起，即(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝eq\f(sinα＋cosα2－1,2)，sinαcosα＝eq\f(1－sinα－cosα2,2).因此在解题时已知一个可求另外两个．1．已知α∈(0，π)，cosα＝－eq\f(3,5)，则tanα＝()A．eq\f(3,4)B．－eq\f(3,4)C．eq\f(4,3)D．－eq\f(4,3)D解析：因为cosα＝－eq\f(3,5)且α∈(0，π)，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).故选D．2．已知sinx＋cosx＝eq\f(\r(3)－1,2)，x∈(0，π)，则tanx＝()A．－eq\f(\r(3),3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\r(3)D．－eq\r(3)D解析：因为sinx＋cosx＝eq\f(\r(3)－1,2)，且x∈(0，π)，所以1＋2sinxcosx＝1－eq\f(\r(3),2)，所以2sinxcosx＝－eq\f(\r(3),2)＜0，所以x为钝角，所以sinx－cosx＝eq\r(sinx－cosx2)＝eq\f(1＋\r(3),2)，结合已知解得sinx＝eq\f(\r(3),2)，cosx＝－eq\f(1,2)，则tanx＝eq\f(sinx,cosx)＝－eq\r(3).3．(2020·化州二模)已知曲线f(x)＝eq\f(2,3)x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则eq\f(sin2α－cos2α,2sinαcosα＋cos2α)的值为________．eq\f(3,5)解析：由f(x)＝eq\f(2,3)x3得f′(x)＝2x2，所以f′(1)＝2，故tanα＝2.所以eq\f(sin2α－cos2α,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(tan2α－1,2tanα＋1)＝eq\f(22－1,2×2＋1)＝eq\f(3,5).考点2诱导公式的应用——基础性(1)点A(sin2021°，cos2021°)在直角坐标平面上位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限C解析：sin2021°＝sin221°＝－sin41°＜0，cos2021°＝cos221°＝－cos41°＜0.故选C．(2)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))的值是________．0解析：因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝－a，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝0.(1)利用诱导公式解题的一般思路．①化绝对值大的角为锐角．②角中含有±eq\f(π,2)的整数倍时，用公式去掉eq\f(π,2)的整数倍．(2)常见的互余和互补的角.互余的角eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α；eq\f(π,3)＋α与eq\f(π,6)－α；eq\f(π,4)＋α与eq\f(π,4)－α互补的角eq\f(π,3)＋θ与eq\f(2π,3)－θ；eq\f(π,4)＋θ与eq\f(3π,4)－θ提醒：对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角的终边所在的象限，防止三角函数值的符号及三角函数名称出错．1．已知sin(π＋α)＝－eq\f(1,3)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝()A．2eq\r(2)B．－2eq\r(2)C．eq\f(\r(2),4)D．±2eq\r(2)D解析：因为sin(π＋α)＝－eq\f(1,3)，所以sinα＝eq\f(1,3)，cosα＝±eq\f(2\r(2),3)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝eq\f(cosα,sinα)＝±2eq\r(2).故选D．2．(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件C解析：①当存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ时，若k为偶数，则sinα＝sin(kπ＋β)＝sinβ；若k为奇数，则sinα＝sin(kπ－β)＝sin[(k－1)π＋π－β]＝sin(π－β)＝sinβ，充分性成立；②当sinα＝sinβ时，α＝β＋2nπ或α＝π－β＋2nπ，n∈Z，即α＝kπ＋(－1)kβ(k＝2n)或α＝kπ＋(－1)kβ(k＝2n＋1)，亦即存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，必要性成立．所以，“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的充要条件．故选C．已知3cosx＋4sinx＝5，求tanx的值．[四字程序]读想算思求tanx的值1.同角的正弦、余弦和正切有什么关系？2.3cosx＋4sinx的最大值是多少？3.由已知条件联想点A(cosx，sinx)在哪条直线上1.求sinx和cosx；2.辅助角公式1.方程思想2.数形结合3.转化与化归3cosx＋4sinx＝51.sin2x＋cos2x＝1，tanx＝eq\f(sinx,cosx)；2.3cosx＋4sinx的最大值为5；3.点A(cosx，sinx)在直线3x＋4y＝5上1.联立3cosx＋4sinx＝5与sin2x＋cos2x＝1；2.3cosx＋4sinx＝5sin(x＋φ)1.tanx可看作直线的斜率．2.将已知条件变为eq\f(3,5)cosx＋eq\f(4,5)sinx＝1思路参考：解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3cosx＋4sinx＝5，,sin2x＋cos2x＝1.))解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2x＋cos2x＝1，,3cosx＋4sinx＝5，))消去cosx，整理得(5sinx－4)2＝0.解得sinx＝eq\f(4,5)，cosx＝eq\f(3,5).故tanx＝eq\f(sinx,cosx)＝eq\f(4,3).思路参考：注意到3cosx＋4sinx的最大值为5，利用辅助角公式推出x与辅助角的关系．解：3cosx＋4sinx＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)sinx＋\f(3,5)cosx))＝5sin(x＋φ)＝5，其中cosφ＝eq\f(4,5)，sinφ＝eq\f(3,5).所以tanφ＝eq\f(3,4).所以x＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．于是tanx＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)－φ))＝eq\f(1,tanφ)＝eq\f(4,3).思路参考：令tanx＝t，借助已知条件用t表示sinx和cosx.解：令tanx＝t，即tcosx＝sinx，代入3cosx＋4sinx＝5，得3cosx＋4tcosx＝5，所以cosx＝eq\f(5,4t＋3)，sinx＝eq\f(5t,4t＋3).再代入sin2x＋cos2x＝1，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4t＋3)))eq\s\up8(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5t,4t＋3)))eq\s\up8(2)＝1，解得t＝eq\f(4,3)，即tanx＝eq\f(4,3).思路参考：设P(m，n)为角x终边上任意一点，r＝eq\r(m2＋n2)，利用三角函数的定义．解：设P(m，n)为角x终边上任意一点，点P到原点O的距离为r，则r＝eq\r(m2＋n2).把sinx＝eq\f(n,r)，cosx＝eq\f(m,r)代入已知等式得3·eq\f(m,r)＋4·eq\f(n,r)＝5.即(3m＋4n)2＝(5r)2＝25(m2＋n2)．整理得(4m－3n)2＝0，所以4m＝3n.显然m≠0，故tanx＝eq\f(n,m)＝eq\f(4,3).思路参考：设点A(cosx，sinx)是直线3x＋4y＝5与单位圆x2＋y2＝1的切点，而tanx＝kOA．解：由3cosx＋4sinx＝5可知点A(cosx，sinx)在直线3x＋4y＝5上，同时也在单位圆x2＋y2＝1上，所以点A为直线3x＋4y＝5与单位圆的切点．由于直线3x＋4y＝5的斜率为－eq\f(3,4)，所以OA的斜率为eq\f(4,3)，即tanx＝eq\f(4,3).思路参考：m＝(cosx，sinx)，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))，证明m∥n.解：因为eq\f(3,5)cosx＋eq\f(4,5)sinx＝1，不妨令m＝(cosx，sinx)，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))，可知|m|＝1，|n|＝1.所以m，n均为单位向量，且m·n＝1.由|m||n|≥|m·n|，等号成立的条件为m∥n，则有eq\f(4,5)cosx＝eq\f(3,5)sinx，即tanx＝eq\f(4,3).1．本题考查同角三角函数基本关系的应用，基本解题方法是构建方程(组)、数形结合等．在求解过程中，应注意同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程．2．基于课程标准，解答本题一般需要熟练掌握运算求解能力，转化与化归的能力，体现数学运算的核心素养．3．基于高考数学评价体系，本题的多种解法中涉及同角三角函数基本关系式、方程、辅助角公式、直线与圆、向量等知识，渗透着函数与方程、等价转换、数形结合等思想方法，提升思维的灵活性起到了积极的作用．已知θ是第一象限角，若sinθ－2cosθ＝－eq\f(2,5)，求sinθ＋cosθ的值．解：因为sinθ－2cosθ＝－eq\f(2,5)，所以sinθ＝2cosθ－eq\f(2,5).所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cosθ－\f(2,5)))eq\s\up8(2)＋cos2θ＝1.所以5cos2θ－eq\f(8,5)cosθ－eq\f(21,25)＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ－\f(3,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5cosθ＋\f(7,5)))＝0.又因为θ为第一象限角，所以cosθ＝eq\f(3,5)，所以sinθ＝eq\f(4,5)，所以sinθ＋cosθ＝eq\f(7,5). 第三节三角函数的图象与性质一、教材概念·结论·性质重现1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(x∈R，且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))值域[－1,1][－1,1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(＋\f(π,2)))上单调递增；在eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3,2)π))上单调递减(k∈Z)在[2kπ，2kπ＋π]上递减；在[2kπ－π，2kπ]上单调递增(k∈Z)在eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))(k∈Z)上单调递增对称中心(kπ，0)(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)对称轴x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)无(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解．(2)表示单调区间时，不要忘记k∈Z.3．常用结论(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若y＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)y＝sinx在第一、第四象限单调递增． (×)(2)由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(2π,3)))＝sineq\f(π,6)，知eq\f(2π,3)是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期． (×)(3)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1． (×)(4)若sinx>eq\f(\r(2),2)，则x>eq\f(π,4)． (×)2．若函数f(x)＝－cos2x，则f(x)的一个单调递增区间为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))B解析：由f(x)＝－cos2x知单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z，故只有B满足．3．函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(2π,3)))的定义域为________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(π,18)))＋\f(kπ,3)，k∈Z))解析：由3x＋eq\f(2π,3)≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，得x≠－eq\f(π,18)＋eq\f(kπ,3)，k∈Z.4．若函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是________．eq\f(π,2)解析：若函数为偶函数，则φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．因为0≤φ≤π，所以φ＝eq\f(π,2).5．函数y＝3＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的最大值为________，此时x＝________.5eq\f(π,4)＋2kπ(k∈Z)解析：函数y＝3＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的最大值为3＋2＝5，此时x＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，即x＝eq\f(π,4)＋2kπ(k∈Z).考点1三角函数的定义域——基础性1．函数f(x)＝eq\f(tan2x,tanx)的定义域为()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(x≠\f(kπ,4)，k∈Z))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(x≠kπ－\f(π,4)，k∈Z)))A解析：要使函数f(x)＝eq\f(tan2x,tanx)有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ，,x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,2x≠kπ＋\f(π,2)))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)，,x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)))(k∈Z)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(2kπ,4)，,x≠\f(2k＋1,4)π.))所以x≠eq\f(nπ,4)，n∈Z.所以函数f(x)＝eq\f(tan2x,tanx)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(x≠\f(kπ,4)，k∈Z))).2．函数y＝lg(2sinx－1)＋eq\r(1－2cosx)的定义域是________．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)，2kπ＋\f(5π,6)))，k∈Z解析：要使函数y＝lg(2sinx－1)＋eq\r(1－2cosx)有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2sinx－1＞0，,1－2cosx≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＞\f(1,2)，,cosx≤\f(1,2).))解得2kπ＋eq\f(π,3)≤x<2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z.即函数的定义域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)，2kπ＋\f(5π,6)))，k∈Z.求三角函数的定义域，实际上是构造简单的三角不等式(组)，有时候还需要借助三角函数图象求解．考点2三角函数的值域或最值——综合性(1)函数y＝3－2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))的值域为________．[1,4]解析：因为eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,2)，所以0≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(2π,3)，所以－eq\f(1,2)≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))≤1，所以1≤3－2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))≤4.所以函数的值域为[1,4]．(2)(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3π,2)))－3cosx的最小值为________．－4解析：f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3π,2)))－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1.令cosx＝t，t∈[－1,1]，则f(t)＝－2t2－3t＋1＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(3,4)))eq\s\up8(2)＋eq\f(17,8).易知当t＝1时，f(t)min＝－2×12－3×1＋1＝－4.故f(x)的最小值为－4.函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的最小值是________．－1解析：设sinx－cosx＝t，t＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))).因为x∈[0，π]，所以x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，所以t∈[－1，eq\r(2)]，sinxcosx＝eq\f(1－t2,2)，所以y＝t＋eq\f(1－t2,2)＝－eq\f(1,2)(t－1)2＋1，当t＝－1时，ymin＝－1.求三角函数的值域(最值)常见的三种类型(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．1．当0<x<eq\f(π,4)时，函数f(x)＝eq\f(cos2x,cosxsinx－sin2x)的最小值是()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．2D．4D解析：分子、分母同时除以cos2x，得f(x)＝eq\f(1,tanx－tan2x).因为0<x<eq\f(π,4)，所以0<tanx<1.因为tanx－tan2x＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanx－\f(1,2)))eq\s\up8(2)＋eq\f(1,4)，所以当tanx＝eq\f(1,2)时，tanx－tan2x取得最大值eq\f(1,4).所以f(x)＝eq\f(cos2x,cosxsinx－sin2x)的最小值是4.2．已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，其中x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，a)).若f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，则实数a的取值范围是________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))解析：因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，a))，所以x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，a＋\f(π,6))).当x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))时，f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，所以由函数的图象(图略)知，eq\f(π,2)≤a＋eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6)，所以eq\f(π,3)≤a≤π.考点3三角函数的单调性——应用性考向1求三角函数的单调区间(1)已知函数f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))，x∈[－π，0]，则f(x)的单调递减区间为_________________；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(7π,12)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，0))解析：f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))＝－4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，得－eq\f(π,12)＋kπ≤x≤eq\f(5π,12)＋kπ(k∈Z)．所以函数f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)＋kπ，\f(5π,12)＋kπ))(k∈Z)．因为x∈[－π，0]，所以函数f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(7π,12)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，0)).(2)函数y＝|tanx|的单调递增区间为________，单调递减区间为________．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))，k∈Zeq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))，k∈Z解析：作出函数y＝|tanx|的图象，如图．观察图象可知，函数y＝|tanx|的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z；单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))，k∈Z.已知三角函数解析式求单调区间的方法(1)代换法：将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角，利用复合函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求函数的单调区间．考向2已知三角函数的单调性求参数已知ω>0，函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，则ω的取值范围是________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4)))解析：由eq\f(π,2)<x<π，ω>0，得eq\f(ωπ,2)＋eq\f(π,4)<ωx＋eq\f(π,4)<ωπ＋eq\f(π,4).又y＝sinx的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))，k∈Z，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ωπ,2)＋\f(π,4)≥\f(π,2)＋2kπ，,ωπ＋\f(π,4)≤\f(3π,2)＋2kπ，))k∈Z，解得4k＋eq\f(1,2)≤ω≤2k＋eq\f(5,4)，k∈Z.又由4k＋eq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k＋\f(5,4)))≤0，k∈Z且2k＋eq\f(5,4)>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4))).本例中，若已知ω>0，函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递增，则ω的取值范围是________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(7,4)))解析：函数y＝cosx的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ωπ,2)＋\f(π,4)≥－π＋2kπ，,ωπ＋\f(π,4)≤2kπ，))k∈Z，解得4k－eq\f(5,2)≤ω≤2k－eq\f(1,4)，k∈Z.又由4k－eq\f(5,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(1,4)))≤0，k∈Z且2k－eq\f(1,4)>0，k∈Z，得k＝1，所以ω∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(7,4))).已知三角函数的单调区间确定参数ω的取值范围的步骤首先，明确所给单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的包含关系求解；另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷．1．(2020·咸阳一模)函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx－\f(π,4)))的单调递增区间是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2k－\f(1,4)，2k＋\f(3,4)))(k∈Z) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2k＋\f(3,4)，2k＋\f(7,4)))(k∈Z)C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2k－\f(3,4)，2k＋\f(1,4)))(k∈Z) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2k＋\f(1,4)，2k＋\f(5,4)))(k∈Z)C解析：由2kπ－π≤πx－eq\f(π,4)≤2kπ，得2k－eq\f(3,4)≤x≤2k＋eq\f(1,4).所以函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx－\f(π,4)))的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2k－\f(3,4)，2k＋\f(1,4)))(k∈Z)．2．若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]上单调递减，则a的最大值是()A．eq\f(π,4)B．eq\f(π,2)C．eq\f(3π,4)D．πA解析：f(x)＝cosx－sinx＝－eq\r(2)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))).当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，即x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))单调递增，则f(x)＝－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))单调递减．因为函数f(x)在[－a，a]上单调递减，所以[－a，a]⊆eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，所以0<a≤eq\f(π,4).所以a的最大值是eq\f(π,4).考点4三角函数的周期性、奇偶性、对称性综合——综合性考向1三角函数的周期性和奇偶性(1)(2020·浙江卷)函数y＝xcosx＋sinx在区间[－π，π]的图象大致为()ABCDA解析：因为f(x)＝xcosx＋sinx，所以f(－x)＝－xcosx－sinx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，可知选项CD错误；当x＝π时，y＝πcosπ＋sinπ＝－π<0，可知选项B错误．故选A．(2)(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝eq\f(π,4)，x2＝eq\f(3π,4)是函数f(x)＝sinωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝()A．2B．eq\f(3,2)C．1D．eq\f(1,2)A解析：由x1＝eq\f(π,4)，x2＝eq\f(3π,4)是f(x)＝sinωx的两个相邻的极值点，可得eq\f(T,2)＝eq\f(3π,4)－eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，则T＝π＝eq\f(2π,ω)，得ω＝2.故选A．(3)函数f(x)＝eq\f(tanx,1＋tan2x)的最小正周期为()A．eq\f(π,4)B．eq\f(π,2)C．πD．2πC解析：由已知得f(x)＝eq\f(tanx,1＋tan2x)＝eq\f(\f(sinx,cosx),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))eq\s\up8(2))＝eq\f(\f(sinx,cosx),\f(cos2x＋sin2x,cos2x))＝sinx·cosx＝eq\f(1,2)sin2x，所以f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,2)＝π.(1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T＝eq\f(2π,|ω|)，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq\f(π,|ω|).考向2三角函数图象的对称性(1)已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象()A．关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))对称 B．关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)，0))对称C．关于直线x＝eq\f(π,3)对称 D．关于直线x＝eq\f(5π,3)对称B解析：因为函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝eq\f(2π,ω)＝4π，所以ω＝eq\f(1,2)，即f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6))).函数f(x)图象的对称轴为eq\f(x,2)＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ，解得x＝eq\f(2,3)π＋2kπ(k∈Z)；函数f(x)图象的对称中心的横坐标为eq\f(x,2)＋eq\f(π,6)＝kπ，解得x＝2kπ－eq\f(1,3)π(k∈Z)．故选B．(2)(2020·全国卷Ⅲ)关于函数f(x)＝sinx＋eq\f(1,sinx)有如下四个命题：①f(x)的图象关于y轴对称；②f(x)的图象关于原点对称；③f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称；④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是________．②③解析：要使函数f(x)＝sinx＋eq\f(1,sinx)有意义，则有sinx≠0，所以x≠kπ，k∈Z，所以定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．又因为f(－x)＝sin(－x)＋eq\f(1,sin－x)＝－sinx－eq\f(1,sinx)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(1,sinx)))＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．所以f(x)的图象关于原点对称．所以①是假命题，②是真命题．对于③，要说明f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称，只需说明feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x)).因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＋eq\f(1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)))＝cosx＋eq\f(1,cosx)