2024版新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第1节任意角与蝗制及三角函数的概念学案含解析新人教B版202305182158

2024版新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第1节任意角与蝗制及三角函数的概念学案含解析新人教B版202305182158第4章三角函数与解三角形课程标准命题解读1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化．2．借助单位圆理解任意角三角函数的定义，能够利用定义推导出诱导公式．3．理解同角三角函数的基本关系式sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx.4．能画出三角函数的图像，了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值．5．了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义．6．会推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式．7．能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.考查形式：一般为一个选择题或一个填空题和一个解答题．考查内容：三角函数的定义、图像与性质、同角三角函数基本关系、诱导公式、三角恒等变换、正弦定理、余弦定理．备考策略：(1)熟练应用同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换公式化简、求值．(2)重视对三角函数图像和性质的研究，注意将问题和方法进行归纳、整理．(3)加强正弦定理、余弦定理应用方面的训练．核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算.第1节任意角与弧度制及三角函数的概念一、教材概念·结论·性质重现1．角的概念(1)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1rad.(2)公式①弧度与角度的换算：360°＝2πrad,180°＝πrad，eq\f(n,180)＝eq\f(α,π).②弧长公式：l＝αr.③扇形面积公式：S扇形＝eq\f(1,2)lr和S扇形＝eq\f(1,2)αr2.说明：②③公式中的α必须为弧度制．有关角度与弧度的注意点角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．任意角的三角函数(1)定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝eq\r(x2＋y2)＞0)．一般地，称eq\f(y,r)为角α的正弦，记作sinα；称eq\f(x,r)为角α的余弦，记作cosα；称eq\f(y,x)为角α的正切，记作tanα.(2)三角函数与单位圆：角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)，则角α的终边与单位圆的交点为P(cos_α，sin_α)．(3)三角函数值在各象限内的符号．(口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦)二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)小于90°的角是锐角．(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×)(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(×)(4)三角形的内角必是第一、第二象限角．(×)2．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cosα＝()A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)D解析：记P(－4,3)，则x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝eq\r(－42＋32)＝5.故cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－4,5)＝－eq\f(4,5).故选D.3．已知sinA>0且tanA<0，则角A的终边在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限B解析：因为sinA>0，所以角A为第一或第二象限角；因为tanA<0，所以角A为第二或第四象限角，所以角A为第二象限角．4．在与2020°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．－eq\f(7π,9)解析：2020°＝eq\f(101π,9)＝12π－eq\f(7π,9)，所以与2020°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为－eq\f(7π,9).5．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．6π解析：设此扇形的半径为r.由题意得eq\f(π,3)r＝2π，所以r＝6.所以此扇形的面积为eq\f(1,2)×2π×6＝6π.考点1象限角及终边相同的角——基础性1．(多选题)下列四个命题中，正确的是()A．－eq\f(3π,4)是第二象限角B．eq\f(4π,3)是第三象限角C．－400°是第四象限角D．－315°是第一象限角BCD解析：－eq\f(3π,4)是第三象限角，故A错误；eq\f(4π,3)＝π＋eq\f(π,3)，从而eq\f(4π,3)是第三象限角，故B正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，故C正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，故D正确．2．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是()C解析：当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)(n∈Z)，此时α的终边在eq\f(π,4)～eq\f(π,2)内；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2)(n∈Z)，此时α的终边在π＋eq\f(π,4)～π＋eq\f(π,2)内，结合选项知选C.3．设集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，那么()A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅B解析：由于M中，x＝eq\f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝eq\f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.故选B.4．若角α是第二象限角，则eq\f(α,2)是第________象限角．一或三解析：因为α是第二象限角，所以eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，所以eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，eq\f(α,2)是第一象限角；当k为奇数时，eq\f(α,2)是第三象限角．(1)判断象限角的两种方法图像法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角(2)确定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的终边位置的步骤①用终边相同的角的形式表示出角α的范围；②写出kα或eq\f(α,k)的范围；③根据k的可能取值确定kα或eq\f(α,k)的终边所在的位置．考点2扇形的弧长、面积公式——综合性已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解：(1)因为α＝60°＝eq\f(π,3)，所以l＝α·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)．(2)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2R＋α·R＝10，,\f(1,2)α·R2＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝1，,α＝8))(舍去)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝4，,α＝\f(1,2).))故扇形的圆心角为eq\f(1,2).(3)由已知得l＋2R＝20(cm)．(方法一)S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以，当R＝5cm时，S取得最大值，且最大值为25cm2，此时l＝10cm，α＝2.(方法二)S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,4)l(2R)≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l＋2R,2)))2＝25，当且仅当l＝2R＝10，即R＝5时，Smax＝25cm2，此时α＝2.若本例(1)条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．解：l＝αR＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)，S弓形＝S扇形－S三角形＝eq\f(1,2)lR－eq\f(1,2)×R2×sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10－eq\f(1,2)×102×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(50π－75\r(3),3)(cm2)．应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积的最大值问题，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，也可以通过“配凑”法利用均值不等式求最值．1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A．2 B．sin2C．eq\f(2,sin1) D．2sin1C解析：如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于点C，并延长OC交eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))于点D.则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝eq\f(1,2)AB＝1.在Rt△AOC中，AO＝eq\f(AC,sin∠AOC)＝eq\f(1,sin1)，即r＝eq\f(1,sin1)，从而eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的长为l＝α·r＝eq\f(2,sin1).故选C.2．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．3 D．eq\r(3)D解析：如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝eq\f(2π,3)，作OM⊥AB，垂足为M.在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝eq\f(π,3)，所以AM＝eq\f(\r(3),2)r，AB＝eq\r(3)r.所以弧长l＝eq\r(3)r.所以圆心角α＝eq\f(l,r)＝eq\f(\r(3)r,r)＝eq\r(3).考点3三角函数的定义及应用——应用性考向1三角函数的定义(1)已知点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|＝2，则点M的坐标为()A．(2cosθ，sinθ) B．(－2cosθ，2sinθ)C．(－2cosθ，－2sinθ) D．(2cosθ，－2sinθ)C解析：由任意角的三角函数定义，可知角θ的终边上的点M′的坐标为(2cosθ，2sinθ)，其中|OM′|＝2.因为|OM|＝2，所以点M和点M′关于原点对称，所以点M的坐标为(－2cosθ，－2sinθ)．(2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m的值为()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．±eq\f(1,2) D．±eq\f(\r(3),2)A解析：因为角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)＝(－8m，－3)，cosα＝－eq\f(4,5)<0，所以角α的终边在第三象限，则m>0，|OP|＝eq\r(64m2＋9).由cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，解得m＝eq\f(1,2)(m>0)．三角函数定义的应用策略(1)已知角α终边上一点P的坐标，可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程(注意分为两条射线)，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解．(3)已知角α的某个三角函数值，求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．考向2三角函数值的符号(1)(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则()A．cos2α>0 B．cos2α<0C．sin2α>0 D．sin2α<0D解析：因为α是第四象限角，所以－eq\f(π,2)＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，所以－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，所以角2α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上，所以sin2α<0，cos2α可正、可负、可为零．故选D.(2)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．大于等于0A解析：因为eq\f(π,2)＜2＜3＜π＜4＜eq\f(3π,2)，所以sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.所以sin2·cos3·tan4＜0.故选A.(3)若sinαtanα＜0，且eq\f(cosα,tanα)＜0，则角α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角C解析：由sinαtanα＜0可知sinα，tanα异号，则α为第二或第三象限角．由eq\f(cosα,tanα)＜0可知cosα，tanα异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．(1)三角函数值符号及角的终边位置判断．已知角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．(2)三角函数值的符号规律．一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝eq\f(1,5)x，则tanα＝()A．eq\f(4,3) B．eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)D解析：因为α是第二象限角，所以cosα＝eq\f(1,5)x<0，即x<0.又cosα＝eq\f(1,5)x＝eq\f(x,\r(x2＋16))，解得x＝－3，所以tanα＝eq\f(4,x)＝－eq\f(4,3).2．(2020·永州祁阳二模)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝－2x上，则sin2θ＝()A．eq\f(3,5) B．－eq\f(3,5)C．eq\f(4,5) D．－eq\f(4,5)D解析：在角θ的终边所在直线y＝－2x上任取一点P(a，－2a)(a≠0)，则r＝|OP|＝eq\r(5)|a|.由三角函数的定义知sinθ＝eq\f(－2a,\r(5)|a|)，cosθ＝eq\f(a,\r(5)|a|)，故sin2θ＝2sinθ·cosθ＝2·eq\f(－2a,\r(5)|a|)·eq\f(a,\r(5)|a|)＝－eq\f(4,5).故选D.3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是()A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]A解析：因为cosα≤0，sinα>0，所以角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2>0，))所以－2<a≤3.故选A.第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式一、教材概念·结论·性质重现1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).(1)平方关系的作用：实现同角的正弦值与余弦值之间的转化，利用该公式求值，要注意确定角的终边所在的象限，从而判断三角函数值的符号．(2)商数关系的作用：切化弦，弦切互化．(3)掌握变形公式：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))，sin2α＝eq\f(tan2α,1＋tan2α)，cos2α＝eq\f(1,1＋tan2α).2．诱导公式公式①sin(α＋k·2π)＝sinα，cos(α＋k·2π)＝cosα，tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Z公式②sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα公式③sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα公式④sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα公式⑤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα公式⑥sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα(1)诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”“偶”指的是“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化．若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．(2)利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤：eq\x(\a\al(任意负,角的三,角函数))eq\o(→,\s\up9(利用诱导),\s\do8(公式③或①))eq\x(\a\al(任意正,角的三,角函数))eq\o(→,\s\up9(利用诱导),\s\do8(公式①))eq\x(\a\al(0～2π的,角的三,角函数))eq\o(→,\s\up9(利用诱导公式),\s\do8(②或④或⑤或⑥))eq\x(\a\al(锐角三,角函数))也就是：“负化正，去周期，大化小，全化锐”．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．(√)(2)诱导公式中的角α可以是任意角．(×)(3)若cos(nπ－θ)＝eq\f(1,3)(n∈Z)，则cosθ＝eq\f(1,3).(×)(4)已知sinθ＝eq\f(m－3,m＋5)，cosθ＝eq\f(4－2m,m＋5)，其中θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则m<－5或m≥3.(×)2．若tanα＝eq\f(1,2)，则sin4α－cos4α的值为()A．－eq\f(1,5) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)D解析：因为tanα＝eq\f(1,2)，所以sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝eq\f(sin2α－cos2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(tan2α－1,1＋tan2α)＝－eq\f(3,5).故选D.3．已知cos31°＝a，则sin239°·tan149°的值是()A．eq\f(1－a2,a) B．eq\r(1－a2)C．eq\f(a2－1,a) D．－eq\r(1－a2)B解析：sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝eq\r(1－a2).4．若sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)<α<π，则tanα＝________.－eq\f(1,2)解析：因为eq\f(π,2)<α<π，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2).5．化简eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)))·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．－sin2α解析：原式＝eq\f(sinα,cosα)·(－sinα)·cosα＝－sin2α.考点1同角三角函数基本关系的应用——应用性考向1知弦求切(2020·福州一模)已知3sinα·tanα＋8＝0，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则tanα＝________.－2eq\r(2)解析：因为3sinα·tanα＋8＝0，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以eq\f(31－cos2α,cosα)＋8＝0，整理可得3cos2α－8cosα－3＝0，解得cosα＝－eq\f(1,3)或cosα＝3(舍去)．所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2\r(2),3).所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－2eq\r(2).若本例的条件改为“eq\f(sinα,1＋cosα)＝2，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))”．求tanα的值．解：因为eq\f(sinα,1＋cosα)＝2，所以sinα＝2＋2cosα.两边平方，得sin2α＝4＋8cosα＋4cos2α，即1－cos2α＝4＋8cosα＋4cos2α，整理得，5cos2α＋8cosα＋3＝0，解得cosα＝－1或cosα＝－eq\f(3,5).当cosα＝－1时，1＋cosα＝0，eq\f(sinα,1＋cosα)无意义；当cosα＝－eq\f(3,5)时，sinα＝eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).本例为已知sinα，cosα，tanα中的一个求另外两个的值．解决此类问题时，直接套用公式sin2α＋cos2α＝1及tanα＝eq\f(sinα,cosα)即可，但要注意α的取值范围，即三角函数值的符号．考向2知切求弦已知eq\f(tanα,tanα－1)＝－1，求下列各式的值：(1)eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.解：由已知得tanα＝eq\f(1,2).(1)eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(tanα－3,tanα＋1)＝－eq\f(5,3).(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝eq\f(sin2α＋sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋2＝eq\f(tan2α＋tanα,tan2α＋1)＋2＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\f(1,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋1)＋2＝eq\f(13,5).利用“切弦互化”的技巧(1)弦化切：把正弦、余弦化成正切的结构形式，统一为正切的表达式，进行求值．常见的结构：①sinα，cosα的齐次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)；②sinα，cosα的齐次分式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα))).(2)切化弦：利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)，把式子中的正切化成正弦或余弦．一般单独出现正切、余切时，采用此技巧．考向3“sinα±cosα，sinαcosα”之间的关系已知－π<x<0，sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，求sinx－cosx的值．解：由已知，得sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，整理得2sinxcosx＝－eq\f(24,25).因为(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25)，所以sinx－cosx＝±eq\f(7,5).由－π<x<0知，sinx<0，又sinxcosx＝－eq\f(12,25)<0，所以cosx>0.所以sinx－cosx<0.故sinx－cosx＝－eq\f(7,5).本例中若将条件“－π<x<0”改为“0<x<π”，求sinx－cosx的值．解：因为0<x<π，2sinxcosx＝－eq\f(24,25)，所以sinx>0，cosx<0，所以sinx－cosx>0，故sinx－cosx＝eq\f(7,5).“sinα±cosα，sinαcosα”关系的应用sinα±cosα与sinαcosα通过平方关系联系到一起，即(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝eq\f(sinα＋cosα2－1,2)，sinαcosα＝eq\f(1－sinα－cosα2,2).因此在解题时已知一个可求另外两个．1．已知α∈(0，π)，cosα＝－eq\f(3,5)，则tanα＝()A．eq\f(3,4) B．－eq\f(3,4)C．eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)D解析：因为cosα＝－eq\f(3,5)且α∈(0，π)，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).故选D.2．已知sinx＋cosx＝eq\f(\r(3)－1,2)，x∈(0，π)，则tanx＝()A．－eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\r(3) D．－eq\r(3)D解析：因为sinx＋cosx＝eq\f(\r(3)－1,2)，且x∈(0，π)，所以1＋2sinxcosx＝1－eq\f(\r(3),2)，所以2sinxcosx＝－eq\f(\r(3),2)＜0，所以x为钝角，所以sinx－cosx＝eq\r(sinx－cosx2)＝eq\f(1＋\r(3),2)，结合已知解得sinx＝eq\f(\r(3),2)，cosx＝－eq\f(1,2)，则tanx＝eq\f(sinx,cosx)＝－eq\r(3).3．(2020·化州二模)已知曲线f(x)＝eq\f(2,3)x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则eq\f(sin2α－cos2α,2sinαcosα＋cos2α)的值为________．eq\f(3,5)解析：由f(x)＝eq\f(2,3)x3得f′(x)＝2x2，所以f′(1)＝2，故tanα＝2.所以eq\f(sin2α－cos2α,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(tan2α－1,2tanα＋1)＝eq\f(22－1,2×2＋1)＝eq\f(3,5).考点2诱导公式的应用——基础性(1)(多选题)在△ABC中，下列关系恒成立的是()A．tan(A＋B)＝tanCB．cos(2A＋2B)＝cos2CC．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))＝sineq\f(C,2)D．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))＝coseq\f(C,2)BD解析：对于A，由于tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，故A错误；对于B，由于cos(2A＋2B)＝cos2(π－C)＝cos2C，故B正确；对于C，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π－C,2)))＝coseq\f(C,2)，故C错误，D正确．(2)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))的值是________．0解析：因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝－a，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝0.(1)利用诱导公式解题的一般思路①化绝对值大的角为锐角；②角中含有±eq\f(π,2)的整数倍时，用公式去掉eq\f(π,2)的整数倍．(2)常见的互余和互补的角互余的角eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α；eq\f(π,3)＋α与eq\f(π,6)－α；eq\f(π,4)＋α与eq\f(π,4)－α互补的角eq\f(π,3)＋θ与eq\f(2π,3)－θ；eq\f(π,4)＋θ与eq\f(3π,4)－θ提醒：对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角的终边所在的象限，防止三角函数值的符号及三角函数名称出错．1．已知sin(π＋α)＝－eq\f(1,3)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝()A．2eq\r(2) B．－2eq\r(2)C．eq\f(\r(2),4) D．±2eq\r(2)D解析：因为sin(π＋α)＝－eq\f(1,3)，所以sinα＝eq\f(1,3)，cosα＝±eq\f(2\r(2),3)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝eq\f(cosα,sinα)＝±2eq\r(2).故选D.2．(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C解析：①当存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ时，若k为偶数，则sinα＝sin(kπ＋β)＝sinβ；若k为奇数，则sinα＝sin(kπ－β)＝sin[(k－1)π＋π－β]＝sin(π－β)＝sinβ，充分性成立；②当sinα＝sinβ时，α＝β＋2nπ或α＝π－β＋2nπ，n∈Z，即α＝kπ＋(－1)kβ(k＝2n)或α＝kπ＋(－1)kβ(k＝2n＋1)，亦即存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，必要性成立．所以，“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的充要条件．故选C.已知3cosx＋4sinx＝5，求tanx的值．[四字程序]读想算思求tanx的值1.同角的正弦、余弦和正切有什么关系？2．3cosx＋4sinx的最大值是多少？3．由已知条件联想点A(cosx，sinx)在哪条直线上1.求sinx和cosx；2．辅助角公式1.方程思想；2．数形结合；3．转化与化归3cosx＋4sinx＝51.sin2x＋cos2x＝1，tanx＝eq\f(sinx,cosx)；2．3cosx＋4sinx的最大值为5；3．点A(cosx，sinx)在直线3x＋4y＝5上1.联立3cosx＋4sinx＝5与sin2x＋cos2x＝1；2．3cosx＋4sinx＝5sin(x＋φ)1.tanx可看作直线的斜率；2．将已知条件变为eq\f(3,5)cosx＋eq\f(4,5)sinx＝1思路参考：解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3cosx＋4sinx＝5，,sin2x＋cos2x＝1.))解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2x＋cos2x＝1，,3cosx＋4sinx＝5，))消去cosx，整理得(5sinx－4)2＝0.解得sinx＝eq\f(4,5)，cosx＝eq\f(3,5).故tanx＝eq\f(sinx,cosx)＝eq\f(4,3).思路参考：注意到3cosx＋4sinx的最大值为5，利用辅助角公式推出x与辅助角的关系．解：3cosx＋4sinx＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)sinx＋\f(3,5)cosx))＝5sin(x＋φ)＝5，其中cosφ＝eq\f(4,5)，sinφ＝eq\f(3,5).所以tanφ＝eq\f(3,4).所以x＋φ＝2kπ＋e