内蒙古北方重工2021-2022学年高考仿真模拟数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A={XGN|X=J2020},a=2及,则下列结论正确的是（）

A.{a}q4B.a^AC.{a}eAD.a^A

2.某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据，绘制如下折线图，那么，下列叙述错误的是（）

一■一各月最低气温平均值—各月最高气温平均值

A.各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关

B.全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大

C.全年中各月最低气温平均值不高于UTC的月份有5个

D.从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势

3.已知复数z==-+5i,则|z|=（）

2-i

A.小B.5母C.3&D.2下

4.《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素

养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值

高者为优），则下面叙述正确的是（）

直观想敛

A.甲的数据分析素养高于乙

B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养

C.乙的六大素养中逻辑推理最差

D.乙的六大素养整体平均水平优于甲

5.已知A4BC中，角A、3所对的边分别是b,则“a>A”是“A>3”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D,充分必要条件

6.函数/(x)=sinsx9>0)的图象向右平移三个单位得到函数y=g(x)的图象，并且函数g(x)在区间上

1263

单调递增，在区间［?,］］上单调递减，则实数。的值为()

735

A.-B.-C・2D.一

424

7.以下关于/(x)=sin2x—cos2x的命题，正确的是

A.函数“X)在区间10,上单调递增

B.直线\=g需是函数y=/(x)图象的一条对称轴

O

C.点是函数y=/(x)图象的一个对称中心

D.将函数y=/(x)图象向左平移需§个单位，可得到y=&sin2x的图象

O

8.已知aeR,bcR,贝！直线ar+2y-l=0与直线(a+l)x-2ay+l=0垂直”是“。=3”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3,则可输入的实数I.值的个数为()

开始］

/4/

Zy7

［苏柬］

A.1B.2C.3D.4

10.已知抛物线C：y2=2Pxs>0)，直线y=小一。々>0)与C分别相交于点A,M与C的准线相交于点N,

^\AM\^\MN\,贝!!%=()

A.3B.C.272D.-

33

11.已知随机变量X的分布列如下表：

X-101

pabc

其中a,b,c>0.若X的方差o(x)<g对所有ae(0,l—3都成立，则()

1212

A.〃<—B.b—C・b2—D.bN—

3333

22

12.双曲线G：5—4=1(a>()，b>0)的一个焦点为b(c,0)(c>0),且双曲线G的两条渐近线与圆。2：

ab~

(x-c)2+y2=J均相切，则双曲线孰的渐近线方程为()

4

A.x±y/3y=0B.#x±y=0C.y/5x+y=0D.x+->j5y=0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在回归分析的问题中，我们可以通过对数变换把非线性回归方程y=qe'/,(q>0)转化为线性回归方程，即

两边取对数，令z=lny,得到2=。2尤+1119.受其启发，可求得函数y=M°g'(温(%>0)的值域是.

14.已知正数a,5满足"8=1,则2+工的最小值等于,此时的.

ab

15.已知忖=20,£在石方向上的投影为卡,则£与B的夹角为•

,、55s6

16.已知等比数列｛4｝的前〃项和为S“，4+03=7，且4+%=：，则：=---------'

24a6

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)己知函数/(无)=e*-2龙一cos尤.

(1)当xe(Y。,。)时，求证：/(x)>0,

(2)若函数g(x)=/(x)+ln(x+l),求证：函数g(x)存在极小值•

18.(12分)如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCO-ABCi。中，P是侧棱CG上的一点，CP=m

(D若〃7=显,求直线AP与平面与所成角；

3

(2)在线段上是否存在一个定点Q,使得对任意的实数，%都有RQ,AP，并证明你的结论・

19.(12分)如图，在直三棱柱A8C-AB|G中，CA=CB,点P,2分别为A与，CC的中点.求证:

(1)PQ//平面ABC；

(2)PQ_L平面AB4A.

20.（12分）已知｛凡｝是递增的等差数列，%，为是方程f—5x+6=0的根•

（1）求｛a,,｝的通项公式；

⑵求数列修J的前〃项和.

21.（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，24,平面A3CQ,四边形ABCD为正方形，点b为线段PC上的点,

过A,。,厂三点的平面与依交于点E.将①AB=AP,②BE=PE,③QBLED中的两个补充到已知条件中，解答

下列问题:

（1）求平面ADEE将四棱锥分成两部分的体积比；

（2）求直线PC与平面ADEE所成角的正弦值.

22.（10分）某公司欲投资一新型产品的批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格））'（单位:万元）是每日产量'.（单

32元2,

位:吨）的函数：y=:］历1）.

（1）求当日产量为3吨时的边际成本（即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数）；

（2）记每日生产平均成本2="，求证：加＜16;

X

2〃

（3）若财团每日注入资金可按数列4=/上（单位:亿元）递减，连续注入60天，求证:这60天的总投入资金大于

4〃-1

亿元.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

由题意A={xeN|x=。2020}=0,分析即得解

【详解】

由题意A={xeN|x=、2020}=0,故。任4,A^{a}

故选：D

【点睛】

本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.

2.D

【解析】

根据折线图依次判断每个选项得到答案.

【详解】

由绘制出的折线图知：

在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；

在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；

在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10C的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确;

在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力.

3.B

【解析】

利用复数除法、加法运算，化简求得二，再求得目

【详解】

z=者+51=W言)+5i=一1+77,故9=(—1)2+72=5夜.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.

4.D

【解析】

根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项.

【详解】

对于A选项，甲的数据分析3分，乙的数据分析5分，甲低于乙，故A选项错误.

对于B选项，甲的建模素养3分，乙的建模素养4分，甲低于乙，故B选项错误.

对于C选项，乙的六大素养中，逻辑推理5分，不是最差，故C选项错误.

对于D选项，甲的总得分4+5+3+3+4+3=22分，乙的总得分5+4+5+4+5+4=27分，所以乙的六大素养整

体平均水平优于甲，故D选项正确.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.

5.D

【解析】

由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】

AABC中，角A、3所对的边分别是。、h,由大边对大角定理知“a>b”="A>3”，

因此，是“A>6”的充分必要条件.

故选：D.

【点睛】

本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题.

6.C

【解析】

由函数f(x)=sin(ox(co>0)的图象向右平移W个单位得到g(x)=sin[(^x-奈)]=sinCa)x—皆),函数g(九)在

TTJTTT7T

区间上单调递增，在区间

_o3J1_32_

上单调递减，可得X时，g(x)取得最大值，即(0X。—皆)=5+2%乃，kwZ,0>0,当左=0时，解得出=2,

故选C.

点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”

的规律求解出g(x),根据函数g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减可得x=§时，g(x)取

得最大值，求解可得实数。的值.

7.D

【解析】

利用辅助角公式化简函数得到/(%)=&sin(2x-；),再逐项判断正误得到答案.

【详解】

f(x)=sin2x-coslx=夜sin(2x-()

A选项，XG|。,二~|=2x-■丁e函数先增后减，错误

V3J4412

B选项，x=g=2x-1=0不是函数对称轴，错误

84

C选项，X=E=2X-£=£,不是对称中心，错误

444

D选项，图象向左平移需工个单位得到y=^sin(2(x+工)—K)=e'sin2x,正确

884

故答案选D

【点睛】

本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三

角函数是解题的关键.

8.B

【解析】

由两直线垂直求得则4=0或4=3,再根据充要条件的判定方法，即可求解.

【详解】

由题意，“直线5+2y—l=0与直线(a+l)x_2ay+l=0垂直”

则a(a+l)+2x(—2。)=0,解得。=0或。=3,

所以“直线6+2y-1=()与直线(a+l)x-2ay+1=()垂直”是“a=3”的必要不充分条件，故选B.

【点睛】

本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得。的值，同时

熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.

9.C

【解析】

试题分析：根据题意，当xS2时，令/一1=3,得％=±2；当x>2时，令log28=3,得

x=9,故输入的实数x值的个数为1.

考点：程序框图.

10.C

【解析】

根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案.

【详解】

显然直线y=小＞0）过抛物线的焦点厂（go]

如图，过作准线的垂直，垂足分别为C,D,过M作AC的垂线，垂足为E

根据抛物线的定义可知MD=MF,AC=AF,又4M=MN,所以M为AN的中点，所以为三角形M4C的中位线,

UI

故MD=CE=EA=-AC

2

设则AF=AC=2t,所以AM=3f,在直角三角形AEM中，ME=y/AM2-AE2=^9t2-t2=2-Jlt

，八，ME2.y/2.t(—

所以后=tanZ.MAE=----=-------=2J2

AEt

故选：C

【点睛】

本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题.

11.D

【解析】

2

根据X的分布列列式求出期望，方差，再利用a+〃+c=l将方差变形为O(X)=-4a--+1-乩从而可以利用二

\2)

次函数的性质求出其最大值为1-。4；，进而得出结论.

【详解】

由X的分布列可得X的期望为E(X)=—a+c,

又a+Z?+c=l,

所以X的方差£>(X)=(—l+a-c)2Q+(Q—c)~Z?+(l+a—opc

=(a—(a+〃+c)-2(a-c)“+a+c

=-(a-c)2+Q+C

=-(2Q-1+Z?y+1—Z?

2

.4a上I+l-b,

I2

因为ae(0,1-6)，所以当且仅当a=亍时，仇X)取最大值\-b,

又。(X)K；对所有aw(O,l-8)成立，

12

所以1一匕<§,解得。之

故选:D.

【点睛】

本题综合考查了随机变量的期望、方差的求法，结合了概率.二次函数等相关知识，需要学生具备一定的计算能力,属于中

档题.

12.A

【解析】

根据题意得到1=7^^=],化简得到/=3从，得到答案.

【详解】

八b,bec

根据题意知：焦点F(c,0)到渐近线y=的距离为d=/,,=-,

ayJa+b~2

故/=3〃，故渐近线为x土逐y=().

故选：A.

【点睛】

本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.--+00

[3)

【解析】

2

转化y=EM(X>0)为1幅丁=(10g3X+1)-1，即得解.

【详解】

由题意：

y=x嘀⑼。()^>logy=logx•(log9x)=logx-(2+logx)=(log./+1)?-IN-In”；.

X>Q33333

I-00)

故答案为：

【点睛】

本题考查类比法求函数的值域，考查了学生逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

1

14.3-

2

【解析】

根据题意，分析可得2+?=2+*=2+，+1,由基本不等式的性质可得最小值，进而分析基本不等式成立的条

ababab

件可得a的值，即可得答案.

【详解】

根据题意，正数％入满足a+Z?=l,

n,.b1ba+bba,lba,

则一+—=一+----=-+-+1>2J-x-+l=3,

abahab\ab

当且仅当。=>==时，等号成立，

2

故2+1■的最小值为3,此时

ab2

故答案为：3；—.

2

【点睛】

本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归能力，属于基础题.

15.-

6

【解析】

由向量投影的定义可求得两向量夹角的余弦值，从而得角的大小.

【详解】

£在B方向上的投影为cos<a,b>=®:.cos<a,b>=二］=—,即夹角为］.

112V226

故答案为：~~.

O

【点睛】

本题考查求向量的夹角，掌握向量投影的定义是解题关键.

16.63

【解析】

由题意知q=—,继而利用等比数列｛%｝的前"项和为s”的公式代入求值即可.

6Z1+L

【详解】

4（1一小）16

解：由题意知。=仁=5所以2=1—?

«6唁q,Q-q）小6

故答案为：63.

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】

⑴求导得/'(x)=e'-2+sinx,由，<e°=l，且sinx—1,,0,得到尸3<0,再利用函数/⑶在(一双0)上

单调递减论证.

(2)根据题意<式%)="-2彳一8$》+111(工+1),》>-1,求导，令/z(x)=g'(x)=e*+—-—+sinx-2,易知

x+l

〃(0)=0；+cosx,易知当时，h\x)>0,h(x)=g'(x)>g'(0)=0；当xe(—l,0)

(x+l)-

_9_

时,函数"()单调递增，而〃'(又“e+cos-100<0，由零点存在定理得3xe」o

X0)=1,220io'『

使得/2'(%)=0,3XG(XO,O),使得力'(幻>0,有/2(x)=g'(x)<g'(0)=0从而得证.

【详解】

(1)依题意，/'(x)=e'-2+sinx,

因为e'<e°=l，且sinx-L,0,故为'3<0,

故函数/(x)在(一双0)上单调递减,

故/(x)>/(0)=0.

(2)依题意，g(x)=e*-2x-cosx+ln(x+l),x>-l,

令h(x)=g'(x)=ex4——-——i-sinx-2,则力(0)=0；

x+1

Bh\x)=ex--l----+cosx,可知当xe［(),1］时，h'(x)>0,

(x+1)-I2J

故函数/?(x)在上单调递增，故当时，〃(x)=g'(x)>g'(0)=()；

当xe(T,0)时，函数〃(x)单调递增，而"(0)=1,

又"［一高=温+。°$(一高一故叫，(一Q)使得=

故玉五知0)，使得〃(x)>0,即函数力。)单调递增，即g'(x)单调递增；

故当xe(Xo,O)时，g'(x)<g'(0)=0,

故函数g(x)在(/,0)上单调递减，在上单调递增，

故当x=0时，函数g(x)有极小值g(0)=0.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的性质，还考查推理论证能力以及函数与方程思想，属于难题.

18.(1)y,(2)存在，。为线段AC中点

【解析】

解法一:(1)作出平面APC与平面BDRBi的交线0M，可证A0，平面BDD^，计算,AO,得出tanZAMO,

从而得出NAMO的大小；(2)证明gR_L平面ACC0，故而可得当。为线段AG的中点时，AP.

解法二，以。为原点，以为x,y,z建立空间直角坐标系：(1)由sin6=cos利

用空间向量的数量积可求线面角；(2)设4G上存在一定点0，设此点的横坐标为X，可得。(x,l-x,2),由向量垂

直，数量积等于零即可求解.

【详解】

(1)解法一：连接AC交BD于。,

A________

设AP与平面BDRB］的公共点为“，连接QM,

则平面APCD平面BDRB]=OM,

••四边形ABC。是正方形，AC，BO,

•/BB]±平面ABCD,ACu平面ABCD,

：.AC±BBir又BB[CBD=B,

AC,平面B£>£>4,

•••ZAMO为直线AP与平面BDD,B｝所成角,

C/7/平面BDQB|,CPu平面APC,平面APCQ平面BDJBi=OM,

..CP//OM,又。为AC的中点,

:.0M=-PC=—,AO=-AC=—.

2622

A0才

：.tan=—=，AZAMO^-,

OM3

直线AP与平面所成角为1.

BDD{BX

(2)•.•四边形44GR正方形，

±BiD],

A4,，平面44G。，BRu平面AgG。，

M1BtDt,又4GnA4,=A,

••.旦2，平面4GC4,又APu平面4GCA，

BQ1±AP,

•・当。为线段4c中点时，对于任意的实数加，都有AQ_LAP.

解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(LO,O),B(l,l,O),P(O,Lm),

c(o,1,0),0(0,0,0),4(1,1,1),A(0,0,2),

Tuum______

所以8。=(T,-1,0),BBt=(0,0,2),AP=(-l,l,m),AC=(-1,1,0)

又由衣•丽=0，就•函=0,则恁为平面B片。。的一个法向量，

设直线AP与平面BDD,4所成角为。，

…也（兀府•罔一273

12J|AP|.|AC|V2-V2W2

故当机=半时，直线AP与平面8。。内所成角为

（2）若在上存在一定点Q,设此点的横坐标为x,

则。（为1-%,2）,D[Q=（x,l-x,0）,

依题意，对于任意的实数〃?要使RQ，AP,

等价于丽，而o丽•丽=（）,

即-x+l-x=0,解得工=L

2

即当Q为线段4C中点时，对于任意的实数心，都有AQLAP.

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理、线面角的计算，考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题.

19.（1）见解析（2）见解析

【解析】

（D取AB的中点。，连结PO,8.根据线面平行的判定定理即得；（2）先证_LCO,CDA.AB,AB和

都是平面4内的直线且交于点8,由（D得CD〃PQ,再结合线面垂直的判定定理即得.

【详解】

（D取45的中点。，连结PD,CD.

在A4明中，"，O分别为44，A3中点，

PD//BB,,且=.在直三棱柱—中，CCJBB、,CG=8瓦•。为棱C£的中点，

CQ〃BB、,且CQ=；8g.

/.PD//CQ,PD=CQ.

四边形PDCQ为平行四边形，从而PQ//CD.

又.•CDu平面A8C,PQ。平面ABC,，P。〃平面A8C.

（2）在直三棱柱ABC-A4G中，8用1•平面ABC.又CDu平面ABC,，台吕J.CD.：C4=C8,O为AB中

点，:.CD±AB.

由（1）知CQ〃PQ,.•.34_LPQ,ABLPQ.

又♦.•A3n8耳=8,ABI平面AB4A，8与u平面

•.•尸。_1_平面43用4.

【点睛】

本题考查线面平行的判定定理，以及线面垂直的判定定理，难度不大.

20.（1）4=；〃+1；<2）5“=2-/・

【解析】

（1）方程/一5工+6=0的两根为2,3,由题意得%=3,4=2,在利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错

位相减法”、等比数列的前〃项和公式即可求出.

【详解】

方程X?—5x+6=0的两根为2,3.

由题意得az=2,a4=3.

13

设数列｛aj的公差为d,则a4-a2=2d,故（1=—,从而得ai=±.

22

所以｛an｝的通项公式为a=-n+l.

n2

（2）设｛祟〉的前n项和为S”

―,、一〃”〃+2

由⑴知才=广,

r,3,4,,〃+1,〃+2

则5»=合+予+...+-^-+万丁，

1_34,n+ln+2

一Sn=-rH---r+…H----;--r

223242,,+l2"+2

两式相减得

=3+U-J_］一山

4412,,_1J2"2，

k,、.〃+4

所以Sn=2一57r・

考点：等差数列的性质；数列的求和.

【方法点晴】

本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前〃项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综

合应用，解答中方程，—5工+6=0的两根为2,3,由题意得%=3,%=2,即可求解数列的通项公式，进而利用错

位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题.

21.(1)-；(2)返

33

【解析】

若补充②③根据已知可得AD_L平面ABP，从而有AD_L叱，结合PB人FD,可得

3P_L平面ADFE,故有依_LA£,而BE=PE,得到=②③成立与①②相同，

①③成立，可得BE=PE,所以任意补充两个条件，结果都一样，以①②作为条件分析；

(1)设AP=AB=1,可得AE,进而求出梯形AEFD的面积，可求出/匕，即可求出结论；

(2)AB=AD=AP=\,以A为坐标原点，建立空间坐标系，求出坐标，由(1)得8P为平面匠户的

法向量，根据空间向量的线面角公式即可求解.

【详解】

第一种情况：若将①=②BE=PE作为已知条件，解答如下：

(1)设平面AD/7E为平面a.

VBC//AD,BC〃平面a,而平面aA平面PBC=EF,

AEF//BC,又E为PB中点.

设AP=AB=1,则EF"=!BC=?.

22

在三角形中，PB=&,AE="=也，

22

由AD_LA8知AD1平面RW,

:.AD±AE,EF±AE,

二梯形AEFZ)的面积

cAD+EF1+2金3垃,

S=---------xAE=——-x——=----

AEFFDn2228

AB=AP,BE=PE,PBLAE,AD±PB.

ADQAE=A,PB1平面AEFD,

T3垃61V_1,,1

P-AEFD3828