理科数学2022年高考押题预测卷01（全国甲卷）（全解全析）

2022年高考原创押题预测卷【全国甲卷】

理科数学•全解全析

1.选D【解析】根据题意，M={X|X<3,XWN}={(),1,2},M={(),1,2}时，N={1,2,4},所以选项D正确.

故选：D.

2.选C【解析】由题意知z=32=l-i,所以2=l+i,故其在复平面内对应的点为(LI),位于第一象限.

故选：C.

3.选B【解析】直线/与直线机没有公共点时，它们可以平行，也可能是异面直线，故“直线/与直线，”没

有公共点”是“/〃机”的必要不充分条件，故选：B

4.选A【解析】等差数列{6,}的前〃项和S.=叫+g〃(〃-l)d=9

由d<0,知5<0,即抛物线开口向下，排除选项AB；

d

由4>0,d<0,知对称轴a'~2I4、n，排除选项D.故选：C.

d2d

5.C【解析】输入x=-|,则(gy=2、2,满足

第二次循环，%=-|+2=-1,则(；［=2久2,不满足(gj>2?,则

1

y=log,=log2=log2T=-2log,2=-2,输出-2；故选：C

6.选B【解析】按照甲是否在天和核心舱划分，

①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则

有C；•其=3x2=6种可能；

②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心

舱即可，则有C：=2x4=8种可能；

根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.故选：B.

7.选A【解析】设C(x,y),则党=6,即佐学4s化简得(X-2)2+/=3,

所以点C的轨迹为以。（2,0）为圆心，厂=石的圆，则圆心O到直线x-2y+8=0的距离

|2-2x0+8|

d2r"，所以点C到直线x-2y+8=0的距离的最小值为2石-石；故选：A

8.选B【解析】（l+3x）"展开式第r+1项G=C：（3xy=C：34,因为%=4，所以C,3=，即C；=3C,；,

Hf〃I

所以砺与=3砺''整理得〃—5=2,解得〃=7.故选：B.

9.选C【解析】由三视图知几何体为一侧棱垂直底面，底面为直角三角的三棱锥，且由网格纸知同一顶点

互相垂直的三条棱的长为4,如图，

所以三棱锥的外接球即为三棱锥所在的棱长为4的正方体的外接球，

设外接球的半径为R，贝IJ（2R>=42+42+4、=48,所以外接球的表面积S=（2R外兀=48万,故选:C

10.选A【解析】依题意，设忸闾=m,\AF2\=2m,由双曲线的定义得恒娟=2a+2m,|班|=24+加,

在AA班中,N£Ag=60。，由余弦定理|B耳『=|A"2+|A8『-2|AG||A8|COSN4A6，

得(2a+，")2=(2a+2m)2+9m2-3m(2a+2m),解得a=3，zz,即|A周=2，/+6m=8〃?，

设双曲线的焦距为2c,在“百"中利用余弦定理有4c2=（8附？+4/_16加，解得c=

所以双曲线的离心率为°=£=，迦=X叵.故选：A

a3m3

11.选D【解析】由_一一知点。为A3的中点，设F为A£>中点,由荏=xAD+yZ?得

CD=^（CA+CB）

AE=2xAF+yAC'因为2x+y=l，所以点E在直线CF上，建立如下图所示的平面直角坐标系,

A(0,4),B(0,0),C(4,0),0(0,2),F(0,3)，丽.而=(罚+苏).丽+函=|ED|2-4,当DE_LCF时，国产

最小，CF的直线方程为1+5=1,即3x+4y=12,由点到直线的距离公式可得：

I。+8』_4,即就屈

43|西=

的最小值--

12.选B【解析】当。工0时，不等式奴>lnx在(。,位)上恒成立不会成立，故。>0，

当xe(0,l]lnx<0,此时不等式qe'">In尤恒成立;

不等式>In/在(1,+oo)上恒成立，即axeM>xlnx在(1,”)上恒成立,

而ore">x\nx即axelix>Inx-e,av,

g(x)=xe\gr(x)=(x+l)er，当x>-l时，gz(x)=(x+l)ev>0,故g(x)=xe",(x>-1)是增函数,

lf)x

则ore"Alnx-e”'即g(or)>g(lnx),故ox>lnx,a>——,

X

设Mx)=—,(x>D,//(x)=匕少，

XX

当l<x<e时，刀'3=上坐>0,久幻递增，

X

当x>e时，〃(幻=上坐<0,〃(x)递减，

尸

故/?(x)4"(e)=,，则a>L,

ee

综合以上，实数。的取值范围是,故选：B

e

13.2【解析】由余弦定理/=从+。2-2bccosA可知：c2+4c-12=0,解得：c=2或c=-6(舍).

故答案为：2

14.-5【解析】：/(x)是定义在R上的奇函数，；W))=0,

X"*'x<0,/(x)=3x2-2x+m,/(0)=0=zn,时，/(^)=3^-2x,

设x>0,则-x<0,则/(-司=3/+2》，则〃X)=-/(-X)=-3X2-2X,

即当x>0时，/(X)=-3X2-2X,在［1,2］上单调递减，，危)在［1,2］上的最大值为/⑴=—5.

15.0.27或者---.

【解析】恰好筹集到3000元慈善基金的情况为：答对第一、二张图片，答错第三张图片,

.•.所求概率p=0.9x0.5x。-0.4)=0.27.故答案为：0.27.

16.5【解析】因为函数/(x)=3sin(ox+神0>0,则=3,

所以3sirf(若+9=,所以等+e=T+E(&eZ),⑴=三-等k、y

因为于任意的xeR都有f(V+x)++/x)=0,所以/•(_[++-/•卜/),

所以sin=--cox+~+9，

所以sinIcox-+°J=sin[GX+-(p\,

LL,、[COTlCDTl_._、

所以----+Q=Gx+-----(p+2kHk?eZ)

66

tcmant.._

或GX-----1■8+3XH-----°=攵3兀(z攵3GZ),

66

所以。=――+自兀(匕£Z)或2cox=%兀(攵3wZ),

6~~

即x=g(%eZ)(舍去)，所以夕=竽+匕兀(k,eZ),

2a)6

因为9=区一期+4兀(K£Z),所以4一包+A17c="+公兀(仁GZ),即G=1+2/]一网)，

23236

f(x)在(含引上单调，

令，=仁一左2，所以G=l+2r«rZ),

得卡哈借卜且代卜。，所以在区间停，裔中包含在一个对称轴和对称中心之间小

即展4；,所以。46,而。=l+2«feZ),所以。的最大值为5.故答案为：5.

17.(1)«„=3,)+|；

⑵小誓上千

【解析】

(1)当”=1时，2S|=24=3q-9,解得4=9.

当〃W2时，2a,=25„-2S,i=3«„-3«„.,,整理得«„=3«„.,,

所以｛为｝是以9为首项，3为公比的等比数列，故勺=9x3"、3")

(2)由(1)知,2=("+2)3"“，则7>3x32+4x33+…+(〃+2)3间①，

所以37；,=3x33+4x34+…+(〃+2)3"*2②，

34,,+2n+2

①-②得：-27；,=27+3+3+..-+3向一(〃+2)3=27+-(n+2)3=y-^2x3-2,

故(=等2X3-2_*

18.(1)平均数：12.16千步；众数：12千步

(2)4.093

【解析】

(1)样本平均数为：

T=4xO.()4+6x().O6+8x().l()+l()xO.l()+12xO.3+14xO.2+16x().l+18xO.()8+2()x().()2=12.16样本众数

13+11

a=^—=12；

⑵根据题意得4=12.16,。=3.64；

所以〃-2b=4.88,//+cr=15.8,即(〃一2<7,〃+<7)=(4.88,15.8),

因为P(〃-2cr<Z<〃+cr)=g尸(〃-2cr<Z<必+2cr)+gp(〃—cr<Z<〃+cr)=0.8186,

所以X~5(5,0.8186)，所以£X=5x0.8186=4.093.

19.(1)证明见解析

637465

155

【解析】

(1)证明：因为平面A8C，BCu平面A8C,所以

因为AB=2逐,AC=2BC=4,所以AB，+BC?=AC?,所以BCLAB,

因为ABcAAnA,所以BC,平面A84A，又AQu平面A8BM，所以

(2)解：过B作8“，AC于"，连接44,

因为平面A8C,你//88,所以BB1平面A8C,

又因ACu平面A8C,所以BB|_LAC,因为耳=8,所以AC,平面88声，

又用”u平面88户，所以用”1AC,则4"=如，

因为8H=女友=6，所以84=次9一3=4.

4

以3为坐标原点，建立空间直角坐标系3-g，z,如图所示，

则C（0,0,2）,。（班,0,0）,A（2百,4,0）,4（0,4,0）,

r,、[n-DA.=£x+4y=0

设平面AC。的法向量为w=（x,y,z）,则_'厂,

n-CAt=2瓜+4y-2z=0

令x=4,则万=（4,-G,2g）,同理可得平面AB。的一个法向量为庆=（0,1,2）,

则cos伍巾钙—亚1，

由图可知，二面角为钝角,

'/V5xV31155

故二面角的余弦值为一曙.

（2）证明见解析.

【解析】（1）由长轴的两个端点分别为4-2,0）,8（2,0）,可得”=2,

由离心率为且，可得£=且，.・.c=G，

2a2

2

又/=从+°2,解得人=1,.•.椭圆C的标准方程为三+丁=1；

4

⑵由题可知若/斜率存在，且斜率不为零，故设/的方程为1=，2+1,设M但，y）,N（w，%），

x=my+\

由“V,得,(nr+4)y2+2%一3=0,

一+y=1

14“

2m-3

则y+%=一，y%=所以2mxy2=3(X+%)

nr+4川+4

J=一三，直线AM的方程为y=-(x+2),Q(4,多),

%+NX]+NX+z

J2L.O旦

・k»-0乃

••八NA_玉+2_%+2_3y,

-2工2—2BQ="2=丁=/

%_3-=%(石+2)3,(七一2)=%(用)1+3)—3凶(在为一1)

x,-2%+2(9—2)(%+2)(毛-2)(x,+2)

-2阳跖+3(%+力)-k-N

(”2)(x,+2)应m即kk'B-kBQ,..N、B、。三点共线.

21.(1)答案见解析

(2)证明见解析

【解析】

(1)由题意得，f(x)=xev—=0,即〃=疣，故令g(x)=m",

所以函数的极值点的个数的等价于g(X)=xe'与y=。的交点个数.

gz(x)=e'(x+l),g〈x)>0得x>T；g，(x)<0得x<-l；

所以g(x)在(7,-1)上单调递减，在(-1,内)上单调递增，

所以g(x)极小值=g(T)=_(，

因为当X趋近于V时，g(x)趋近于0,当X趋近于+8时，g(x)趋近于+8,

所以g(x)的大致图象如图：

山图可得，

当时，/(6=立'-42()恒成立，函数f(x)单调递增，极值点的个数为0；

e

当时，g(x)=xe"与y=a的交点个数有两个，分别设为芭,吃且士<当，

e

当xe(ro,A,)5w，y°)时，f(x)>0,工«石,工2)时，f\x)<0,故函数/(X)有两个极值点;

当aNO时，g(x)=xe*与丁=。的交点个数有两个，不妨设为匕，则当xe(fo,可)，/(x)<0,当xe(w，w)

时，/(%)>0,故函数/(x)有1个极值点.

(2)证明：因为函数/(x)有两个极值点，由(1)可知

设,<三,则X]e(Y0,-l),X2€(-1,0),显然中2>0,

所以，由极值点的概念知，书』-〃=0,故炉二色，

所以X=In(-67)-In(-%1),同理毛=ln(—a)—ln(f：2)，

两式相减得X一工2=ln(-x2)-ln(-xI),

另一方面，要证王々<1，只需证在兀'<1，即]n(_：)!ln；，x)>

因为演<电，所以-%>一》2,

故上式可化为ln(-X2)Tn(-xJ>7^

令居”则fe(O,D,上式即为ze(OJ).

令/?")=lnf2-/+-=21n/-z+-(0</<l),

tt

则/?-(/)=|-i_l=2，-；7=节?<0,故h(t)为减函数，

所以力⑺>6⑴=0,即lnr>r」，原命题得证.

t

22.(l)x2+/=4,(x-2)2+y2=9

⑵2+6-2a

【解析】

,,[x=pcosO,,,,

⑴根据.A，可得22=V+y2,

[y=psmO

故曲线G的直角坐标方程为x2+y2=4；

[x=2+3cos。，.

曲线。2的参数方程为.0(6为参数)，则消去参数得(x-2)2+y