六年级下册数学-几何模块综合（解析版）

奥数竞赛培优专题一几何模块综合（解析版）

一、知识点

1、基本平面图形

周长

公式法

平移法

标向法

面积

公式法

割补法

角度

内角和

2、圆与扇形

周长与面积公式的正反运用

圆与方

平移与旋转

重合与整体法

运动轨迹问题

3、几何模型

等积变换

一半模型

等高模型

鸟头模型

蝴蝶模型

沙漏模型

燕尾模型

4、立体几何

容器倒置求高

物体入水问题

二、学习目标

1.我能够理解线段比与面积比之间的对应关系。

2.我能够构造出常见的几何模型，解决复杂的图形问题。

3.我能够通过平移与旋转、整体法等技巧解决圆与扇形相关问题。

三、课前练习

求下列各图中阴影部分的面积。

【答案】（16+12）X124-2-12X124-2=96

10X104-2-10X104-4-4X44-2=17

四、典型例题

例题1

如图，A、B是两个大小完全一样的长方形，已知这两个长方形的长比宽长8厘米，图中的

字母表示相应部分的长度。则A、B中阴影部分的周长哪个长？长多少？

AB

【答案】：16

【解析】：

A中阴影部分的周长：2(a+a-b)+2(b+2b)=4a+4b

B中阴影部分的周长：2(a+2b+a+b)=4a+6b

因此B的周长更长，长了2b。因为两个长方形的长比宽长8厘米，即

(a+2b)—(a+b)=8,可得2b=16,所以长了16厘米。

例题2

如图所示，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是3平方米、

10

4平方米、好方米呜平方米。已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方

5

米？

25

【答案】：

441

【解析】：

根据面积比可得DH：HC=2：1、AE：EB=3：4

则FI=EB=±4米，GI=HC=士1米，FG=4---1=—5（米）

7321

所以阴影部分的面积是工义工=至（平方米）。

2121441

例题3

图中长方形的面积是198平方厘米，Si和，的面积都是66平方厘米，则阴影部分的面积

是多少平方厘米？

【答案】：55

【解析】：

连接对角线AC

易知三角形ACD面积为99平方厘米

可得DE：EC=66：33=2：1

同理，CF：FB=1：2

根据鸟头模型，

三角形EPC的面积='X』X，xi98=ll（平方厘米）

332

阴影部分的面积=66—11=55（平方厘米）

例题4

如图，三角形ABC的面积为60。D、E分别为AB、AC的中点。F、G分别为BC边上的三等

分点。请问：三角形DEF的面积是多少？三角形DOE的面积是多少？

【答案】：15；9

【解析】：

根据等积变换，三角形DEF面积=三角形BDE面积=；三角形ABE面积=5三角形ABC面积

=15

连接E、G,易知FG：DE=2：3,利用蝴蝶模型可设三角形FOG的面积为4份，则三角形

DOE的面积为9份，三角形DOF的面积=三角形EOG的面积=6份

三角形DEF的面积=,三角形ABC的面积=15份

4

三角形ABC的面积为60份，可得1份为：60+60=1,则三角形DOE的面积为9X1=9。

例题5

如图，三角形ABC'的面积为1,D、E、F分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面

积。

BDC

【答案】：-

7

【解析】：

连接B、P。设三角形BPC的面积为1份，根据燕尾模型，则三角形APC的面积为2份，三角

形ABP的面积为4份。整个三角形ABC的面积是7份，三角形APC占其中的2份，所以面积

为士2。同理，三角形BMC、三角形ABN的面积也是2士。所以阴影三角形的面积是1—14x3=

777

O

7

例题6

如图，在三角形ABC中，内接一个正六边形。已知三角形ABC'的面积为9,E是BC的中点,

BD：DA=2：1,CF：FA=2：1,求阴影部分的面积。

【答案】：5

【解析】：

利用鸟头模型，可得：

三角形ADF的面积=9X』X」=l,

33

三角形BDE的面积=三角形EPC的面积=9X-?X11=3

33

所以三角形DEF的面积=9-3-3-1=2

易知在正六边形中，三角形DEF的面积是正六边形面积的一半，则阴影部分的面积=9—2X2

=5o

例题7

如图，若大圆的半径为6,则阴影部分的面积是多少？（答案保留“）

【答案】：9n

【解析】：

如图连接出两个半径，将分割出的阴影半圆沿圆心逆时针旋转90°,拼成一个完整的四分之

一圆。

2

阴影面积为：-XnX6=9Ji0

例题8

求图中阴影部分的面积。（八取3）

lOCTW

【答案】：25

【解析】：

阴影部分面积=半圆面积+扇形面积一等腰直角三角形面积

145

2

=ITX52X-+JIX10X--10X104-2=25（平方厘米）

2360

例题9

如图，在一个直角三角形ABC中，C=60°,AC=12,BC=6。以点C为中心，使点B旋转

到AC边的延长线上的点B'处。请问线AB边绕点C扫过的图形的面积是多少？（结果保留n）

【答案】：36n

【解析】：

如右图所示，所求面积即为阴影部分的面积。

阴影部分的面积=扇形ACA'的面积十三角形A'B'C的面积一扇形BCB'的面积一三角形ABC

的面积

17021702

即扇形ACA'的面积一扇形BCB'的面积=m乂nX12-—XnX6=36n

360

选讲题

一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，容器中装有一个底面半径为

2厘米，高为18厘米的铁圆柱。这时容器里的水深15厘米现在把铁圆柱轻轻地向正上方提

起6厘米，露出水面的铁圆柱浸湿部分长多少厘米?

【答案】：7-

7

【解析】：

法1：水的体积为（52—22）XnX15=315n（立方厘米）

铁圆柱被提起来之后，从底面到6厘米高度处水的体积为：52XJIX6=150JI（立方厘米）

所以6厘米以上处于水中的部分的高度是：（315n—150”）+（52XJI-22XJI）=7y

（厘米）

则露出水面的部分被浸湿部分长18—3—7色=7,（厘米）

77

法2：6+nX22X64-[n（52-22）]=7-（厘米）

7

五、课后作业

1.如图，有8个相同的小长方形，拼成一个长为12厘米的大长方形，则每个小长方形的面积

是多少？

【答案】：12平方厘米

【解析】：

小长方形的长为：124-2=6（厘米）

小长方形的长=3义小长方形的宽

小长方形的宽为：64-3=2（厘米）

小长方形的面积为：2*6=12（平方厘米）

2.已知三角形BED的面积为36,AC=12,CD=5,DE=BE,求阴影部分的面积。

【答案】：51

【解析】】：

阴影部分面积=整体一空白

12X5+36=96

96-12X54-2-6X54-2=51

3.如图，梯形ABCD的上底AD长10厘米，下底BC长15厘米。如果EF与上、下底平行，那

么EF的长度是多少？

【答案】：12

【解析】】：

根据沙漏模型,易知AD：BC=A0：0C=D0：0B=2：3

利用金字塔模型，可得E0：BC=A0：AC=2：5

同理OF：BC=DO：DB=2：5

所以E0=F0=6（厘米）,EF=6+6=12（厘米）

4.如图，在长方形ABCD中，AB=30,阴影部分面积是120,那么CF的长度是多少？

AB

【答案】：8

【解析】：

阴影部分的面积=BFXCE+2=120,可得BFXCE=240

根据沙漏模型可知，BF：FC=AB：CE,转化可得BFXCE=FCXAB=240所以FC=240+30=8

5.如图所示，正方形ABCD和EFGH的面积分别为9平方厘米和64平方厘米，阴影部分的面积

为7.5平方厘米，则三角形BCF的面积是多少？

EH

B

FG

【答案】：4.5

【解析】：

易知小正方形的边长为3,大正方形的边长为8,AC//EG

根据等积变形，可知三角形ACE的面积等于阴影部分等于7.5平方厘米梯形ABPE的面积为:

（3+8）X34-2=16.5（平方厘米）

所以三角形BCF的面积为：16.5-7.5-3X34-2=4.5（平方厘米）

6.如图，在三角形ABC'中，CE=2AE,F是AD的中点，三角形ABC的面积是12,那么阴影部

分的面积是多少？

【答案】：5

【解析】：

连接C、F,设三角形AFE的面积为1份，则三角形CFE的面积为2份三角形AFC的面积为3

份，根据F是.AD的中点，可得三角形DFC的面积也是3份，且三角形ABF的面积等于三角

形BFD的面积。

根据燕尾模型，可得三角形ABF的面积：三角形BFC的面积=1：2,所以三角形BFD的面积

也是3份。

此时三角形ABC的面积可表示为1+2+3+3+3=12（份），阴影部分占其中的5份，所以

阴影部分的面积为124-12X5=5

7.有一个下面是圆柱、上面是圆锥的容器，圆柱的高是10厘米，圆锥的高是6厘米，内水

深7厘米，将这个容器倒过来放时，从圆锥的顶点到液面的高是多少厘米？

【答案】：11

【解析】：

水的体积相当于7厘米高的圆柱体积，容器倒过来后，圆锥内水的体积相当于2厘米高的圆

柱体积，所以此时圆柱部分水的高度为7—2=5厘米，

故总高度为6+5=1