第四章 灵敏度分析课件

第四章灵敏度分析引导案例4.1灵敏度分析概述4.2灵敏度分析4.3软件求解与分析第四章灵敏度分析引导案例王飞在2003年开了一家火腿生产厂，今年效益一直不错。主要生产的火腿包括普通火腿肠、鱼肉肠、清真肠、精制火腿、香菇火腿、牛肉火腿等品种。但近年来，市场上猪肉价格波动较大，普通猪肉价格从去年的10元一公斤涨到了18元一公斤。王飞感到原来企业的生产方案可能已经不是最好的方案了，必须根据当前的市场状况对企业原来的生产计划进行调整。王飞想知道，如何组合其生产方案才能在当前的市场状况下达到企业的最佳效益，当猪肉价格达到多高时其新的生产组合就需要再进行调整。第四章灵敏度分析4.1灵敏度分析概述

Maxf=CXAX=bX

0

系数矩阵A、约束条件右端项b和价值系数C给定以后，这个线性规划问题就确定了。第四章灵敏度分析例产品资源ABC资源拥有量原料甲11112kg原料乙12220kg利润（元/kg）586第四章灵敏度分析数学模型设产品A、B、C的产量分别为x1、x2、x3，则该问题的数学模型为：第四章灵敏度分析（1）当这些系数中的一个或几个发生变化时，已求得的最优

解会有什么变化；（2）这些系数在什么范围内变化时，线性规划问题的最优解

或最优基不变；（3）若最优解变化，如何用最简便的方法找到新的最优解。

为了回答这些问题，可以在变化了的条件下重新求解线性规划问题。但是这样做太麻烦，也不必要。本节的目的是讲，如何在已经得到的最优解的基础上，进行适当的修改计算，即可回答上面的问题。这就是灵敏度分析的基本内容。第四章灵敏度分析1.灵敏度分析的定义

灵敏度分析就是研究cj、bi、aij等参数在什么范围内变化时最优解不变，若最优解发生变化，如何用简便的方法求出新的最优解。线性规划中用到的数据很多，决策者既希望知道个别数据变化的影响，还希望知道几个数据同时发生变化所产生的影响。因此灵敏度分析的范围是相当广的，这里只讨论个别数据变化的灵敏度分析。第四章灵敏度分析2.灵敏度分析的主要内容价值系数cj的变化的分析约束条件右端项bi变化的分析系数矩阵A变化的分析

系数列向量Pk变化的分析（产品的工艺系数发生变化）增加新约束条件的分析增加新变量的分析（增加一种新产品）

第四章灵敏度分析3.灵敏度分析的步骤（1）将参数的改变计算反应到最终单纯形表上来。具体计算方法是：按下列公式计算出参数aij、bi、cj的变化而引起的最终单纯形表上有关数字的变化：（2）检查原问题是否仍为可行解。（3）检查对偶问题是否仍为可行解。（4）按下表所列情况得出结论和决定继续计算的步骤。

第四章灵敏度分析表4-1结论和步骤

第四章灵敏度分析1.价值系数cj变化cj

变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动。cj

的变化仅仅影响到检验数

j（即cj-zj）的变化。

cj的变化会引起检验数的变化，有两种情况：非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数4.2灵敏度分析第四章灵敏度分析例1产品资源ABC资源拥有量原料甲11112kg原料乙12220kg利润（元/kg）586第四章灵敏度分析数学模型设产品A、B、C的产量分别为x1、x2、x3，则该问题的数学模型为：第四章灵敏度分析Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001

j=cj-zj058600初始单纯形表：Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11

j=cj-zj-8400-2-2-3最优单纯形表：第四章灵敏度分析

非基变量对应的价值系数C3的变化在实例1中，分析产品丙的利润C3的变化对最优解的影响。由上表可知：当C3-8≤

0

，即0≤C3≤8时，最优解不变。Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11

j=cj-zj-8400-2-2-3C3C3-8第四章灵敏度分析

基变量X1对应价值系数C1变化(1)基变量对应的价值系数C1的变化由上表可知：当8-2C1≤

0

，同时C1-8≤

0，即

4≤C1≤8时，最优解不变。Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11

j=cj-zj-8400-2-2-3C1C1-28-2C1C1-8-(64+4C1)第四章灵敏度分析基变量X2对应的价值系数C2的变化由上表可知：当6-C2≤

0

，C2-10≤

0，同时5-C2

≤

0，即

6≤C2≤10时，最优解不变。Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11

j=cj-zj-8400-2-2-3C2C26-C2C2-10

5-C2

-(20+8C2)第四章灵敏度分析价值系数cj变化的分析总结cj的变化会引起检验数的变化，有两种情况：（1）非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数（2）基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数。要使原来的最优解不变，新的检验数均≤0第四章灵敏度分析例2:云天公司生产计划问题产品资源产品A产品B资源总量煤（吨）1230劳动日（天）3260仓库（m2）0224利润（千元）4050

解：设产品A、B的产量分别为x1、x2，z表示总利润，则该问题的数学模型为：第四章灵敏度分析用单纯形法求解结果:最优生产方案：产品A生产15件，产品B生产15/2件,利润最大为975千元。三种资源的影子价格第四章灵敏度分析例2在云天公司的实例中:

（1）若c1=20,c2=80,最优生产计划有何变化？

（2）若c1不变,c2在什么范围内变化，该公司的最优生产计划将不发生变化？解：把产品利润的变化直接反映到最优单纯形表中20208080-5010θ3018-[]单纯形迭代计算结果如下表：第四章灵敏度分析新的最优生产方案为：产品A生产6件，产品B生产12件,利润最大为1080千元。第四章灵敏度分析（2）若c1不变,c2在什么范围内变化，该公司的最优生产计划将不发生变化？解：设产品B的利润为C2千元，将其反映到最优单纯形表中：为使最优解不变，应有：C2C220-3/4C2-20+C2/420-3/4C2≤0-20+C2/4≤0解得：80/3≤C2≤80产品B的利润的变化范围是：80/3≤c2

≤80第四章灵敏度分析（2）若c1不变,c2在什么范围内变化，该公司的最优生产计划将不发生变化？解：设产品B的利润为（50+

）千元，将其反映到最优单纯形表中：为使最优解不变，应有：50+

50+

-35/2-3/4-15/2+/4-35/2-3/4≤0-15/2+/4≤0解得：-70/3≤≤30产品B的利润c2=50+

，故c2的变化范围是：80/3≤c2

≤80第四章灵敏度分析2.右端资源项bi变化若b变化后的最优解XB’=B

1b0,则最优基不变；否则，最优基改变，用对偶单纯形法迭代。b的变化在实际问题中表明可用资源量发生变化。由XB=B

1b和

=C-CBB-1A可知，b的变化只会影响最优解的改变，不会引起检验数的变化。第四章灵敏度分析Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001

j=cj-zj058600初始单纯形表Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11

j=cj-zj-8400-2-2-3最优单纯形表例1：

分析b1=16和b2=20时，最优基和最优解的变化16124-92第四章灵敏度分析当b1=16,b2=20时，最优基不变，最优解变为：x1=12，x2=4结论第四章灵敏度分析Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001

j=cj-zj058600初始单纯形表Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11

j=cj-zj-8400-2-2-3最优单纯形表例1：分析b1=22和b2=20时，最优基和最优解的变化2224-2-104第四章灵敏度分析Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X224-21001012-1-11

j=cj-zj-10400-2-2-3Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X550X1X4202102-12-1011-1

j=cj-zj-1000-2-40-5用对偶单纯形方法求解第四章灵敏度分析当b1=22,b2=20时，最优基改变，最优解变为：x1=20，x4=2结论第四章灵敏度分析解之得：10≤b1≤20即:当10≤b1≤20时，最优基不变保持b2=20,分析b1在什么范围内变化时，最优基不变?第四章灵敏度分析Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001

j=cj-zj058600初始单纯形表Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11

j=cj-zj-8400-2-2-3最优单纯形表b12b1-20-b1+20?第四章灵敏度分析解之得：12≤b2≤24即:当12≤b2≤24时，最优基不变保持b1=12,分析b2在什么范围内变化时，最优基不变?第四章灵敏度分析Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001

j=cj-zj058600初始单纯形表Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11

j=cj-zj-8400-2-2-3最优单纯形表b224-b2-12+b2?第四章灵敏度分析练习最优单纯形表为：求：（1）b1、b2的值；（2）对偶问题的最优解；（3）表中f、g、h、d、e的值；（4）在不破坏最优基的情况下，能否单独增加b1、b2来增加目标函数f的值，最多能增加到多少？Cj52300CBXBB-1bX1X2X3X4X550X1X5301010fg2-81-101

j=cj-zj-1500h-7de第四章灵敏度分析例2在云天公司的实例中:（1）若b1=40，试分析公司最优计划的变化。（2）b1在什么范围内变化时，问题的最优基不变？解：由最优单纯形表可知：当b1=40时，第四章灵敏度分析用单纯形法求解结果:4010-615第四章灵敏度分析[]用对偶单纯性迭代得：公司最有计划变为：产品A生产12件，产品B也生产12件。第四章灵敏度分析（2）确定使最优基不变的b1变动范围：所以，当煤的供应量在20吨到36吨之间时，问题的最优基不变。解：问题的最优基不变，只要解得：20≤b1≤36第四章灵敏度分析软件求解与分析第四章灵敏度分析例1产品资源ABC资源拥有量原料甲11112kg原料乙12220kg利润（元/kg）586第四章灵敏度分析Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001

j=cj-zj058600初始单纯形表：Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11

j=cj-zj-8400-2-2-3最优单纯形表：第四章灵敏度分析第四章灵敏度分析第四章灵敏度分析激活灵敏度计算功能方法一：LINGO——options——GeneralSolver—DualComputations——Prices&Ranges；

方法二：打开commandwindow，输入range；第四章灵敏度分析第四章灵敏度分析解释1.灵敏性分析结果表示的是最优基保持不变的系数范围。2.CurrentCoefficient:当前目标函数系数

AllowableIncrease：允许增加量

AllowableDecrease：允许减少量

CurrentRHS：当前右边常数项

第四章灵敏度分析3.系数矩阵A变化的分析系数矩阵A变化的分析包括

（3）增加新变量的分析（增加新产品）（4）系数列向量Pk变化的分析（工艺系数变化）（5）增加新约束条件的分析

第四章灵敏度分析3.增加新的变量的分析假如要增加一个新的决策变量xj，其对应的系数列向量为Pj，价值系数为cj。在原最优单纯形表中xj对应的检验数为若

j≤0，则原最优解不变。从经济学的观点来看，增加该项产品的生产是不利的。

若

j0，则原来的最优解不再是最优解，表明生产该产品是有利的。

这时把xj对应于原最优基B的系数列向量Pj’=B-1Pj

加入到原最优表中，并以xj作为换入变量按单纯形法进行迭代，即可得到新的最优解。第四章灵敏度分析例1：产品资源ABC资源拥有量原料甲11112kg原料乙12220kg利润（元/kg）586第四章灵敏度分析产品资源ABCD资源拥有量原料甲111212kg原料乙122120kg利润（元/kg）5868在本例中，如果该厂还计划生产一种新产品D，问生产产品D是否有利？第四章灵敏度分析Cj586008CBXBB-1bX1X2X3X4X5X600X4X51220111212100121

j=cj-zj0586008初始单纯形表：最优单纯形表：Cj586008CBXBB-1bX1X2X3X4X5X658X1X2481001012-1-11

j=cj-zj-8400-2-2-33-11第四章灵敏度分析新的最优解为X=(028/30004/3)T继续迭代，找到新的最优解Cj586008CBXBB-1bX1X2X3X4X5X688X6X24/328/31/31/301012/3-1/3-1/32/310

j=cj-zj-85.33-1/30-2-2-8/30第四章灵敏度分析例2：在云天公司的实例中，如果该公司又计划推出一种新产品C，生产单位产品C需消耗煤2吨、劳动日3天、仓库1平方米。（1）该产品的预期盈利为多少时，投产产品C有盈利？（2）如该产品的预期盈利为60千元/件，则公司的最优生产计划是什么？解：（1）设产品C的产量为x6，已知（2）当c6=60时当

60，即当从c6115/2时，该产品值得生产。第四章灵敏度分析用单纯形法求解结果:第四章灵敏度分析当

60，即当从c6115/2时，该产品值得生产。第四章灵敏度分析[]用单纯形方法迭代得：该公司新的生产计划变为：产品A生产10件，产品C也生产10件。第四章灵敏度分析4.工艺系数的变化

在初始单纯形表上，变量xj的系数列向量Pj变为Pj’，经过迭代后，在最终单纯形表上，xj是非基变量。这时最终单纯形表上xj的系数列就变成B-1Pj’。新的判别数为若

j≤0

，原最优解不变；若

j

0

，则最优解改变，继续迭代可以求出新的最优解。第四章灵敏度分析例1：产品资源ABC资源拥有量原料甲11112kg原料乙12220kg利润（元/kg）586第四章灵敏度分析Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001

j=cj-zj058600Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11

j=cj-zj-8400-2-2-3在例1中，假设产品C的资源消耗量由变为，试分析最优解的变化情况。213-1-1所有的判别数都非正，故最优解不变。初始表最优表第四章灵敏度分析Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001

j=cj-zj058600Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11

j=cj-zj-8400-2-2-3在例1中，假设产品C的资源消耗量由变为，试分析最优解的变化情况。11101判别数有正，故最优解变化。初始表最优表第四章灵敏度分析Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X568X3X2481001102-1-11

j=cj-zj-88-100-4-2继续求解得到新的最优解Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001[1]02-1-11

j=cj-zj-84001-2-3新的最优解为X=(08400)T第四章灵敏度分析例2中

在云天公司的实例中，假设产品A工艺改变，生产单位产品A需煤1吨、劳动日4天、仓库1平方米，该产品的利润变为50千元，试重新确定该公司最优生产计划。第四章灵敏度分析1413/23/2-1/45050-25/2-25/2-25/2第四章灵敏度分析将该单纯形表标准化：第四章灵敏度分析用对偶单纯形法迭代得：工艺改变后的最优方案为：产品A生产12件，产品B生产6件。第四章灵敏度分析5.增加一个约束条件的变化（1）将最优解代入新的约束条件，若满足，则最优解不变。（2）若不满足，则当前最优解要发生变化；将新增约束条件加入最优单纯形表，并变换为标准型。（3）利用对偶单纯型法继续迭代第四章灵敏度分析例1：

增加新约束条件的分析产品资源ABC资源拥有量原料甲11112kg原料乙12220kg原料丙12218kg利润（元/kg）586第四章灵敏度分析Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001

j=cj-zj058600初始单纯形表：Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11

j=cj-zj-8400-2-2-3最优单纯形表：第四章灵敏度分析

将原最优解x1=4，x2=8代入上式知，原最优解不满足该约束条件，因而原最优解不再是增加约束条件以后的最优解。

这个问题相当于在原问题的基础上增加约束条件

在新的约束条件中引入松驰变量x6，则有将该条件填入最优单纯形表中：第四章灵敏度分析将该单纯形表标准化：将填入最优单纯形表中CBXBB-1bX1X2X3X4X5X6X1X2X648181010120122-10-110001

j=cj-zj-8400-2-2-30CBXBB-1bX1X2X3X4X5X6X1X2X648-21000100102-10-11-1001

j=cj-zj-8400-2-2-30第四章灵敏度分析用对偶单纯形方法迭代一次得：增加约束条件以后的最优解为：x1=6，x2=6CBXBB-1bX1X2X3X4X5X6X1X2X56621000100102-10001-11-1

j=cj-zj-7800-2-20-3第四章灵敏度分析增加新约束条件的分析总结1、将最优解代入新的约束条件，若满足，则最优解不变。2、若不满足，则当前最优解要发生变化；将新增约束条件加入最优单纯形表，并变换为标准型。3、利用对偶单纯形法继续迭代。为什么可以利用对偶单纯形法?第四章灵敏度分析例2

以云天公司为例，假设生产产品A、B还需要经过一道环境检测工序。产品A每件需环境检测3小时，产品B每件需环境检测2小时，又环境检测工序每天可用能力为36小时。试分析增加该工序后的云天公司最优生产计划。第四章灵敏度分析例2:云天公司生产计划问题产品资源产品A产品B资源总量煤（吨）1230劳动日（天）3260仓库（m2）0224环境监测（小时）3236利润（千元）4050第四章灵敏度分析

将原最优解x1=15，x2=15/2代入上式知，原最优解不满足该约束条件，因而原最优解不再是增加约束条件以后的最优解。

这个问题相当于在原问题的基础上增加约束条件

在新的约束条件中引入松驰变量x6，则有将该条件填入最优单纯形表中：第四章灵敏度分析将该单纯形表标准化：用对偶单纯形法迭代，得问题的最优解如下：第四章灵敏度分析增加约束条件以后的最优解为：x1=4，x2=12第四章灵敏度分析4.3软件求解与分析一、问题的提出例4-6

某公司饲养实验用的动物并出售给动物研究所，已知这些动物的生长对饲料中的3种营养成分（蛋白质、矿物质和维生素）特别敏感，每个动物每周至少需要蛋白质60克、矿物质3克、维生素8毫克，该公司能