信号与系统第二章

第二章连续系统的时域分析学习重点：连续系统微分方程的特点；系统响应的分解形式；阶跃响应与冲激响应；卷积及其应用；系统的特征函数及其应用。2.1LTI连续系统的微分方程及其响应2.2阶跃响应与冲激响应2.3卷积及其应用2.4特征函数及其应用本章目录2.1LTI连续系统的微分方程及其响应描述线性时不变（LTI）系统的输入-输出特性的是线性常系数微分方程。从系统的模型（微分方程）出发，在时域研究输入信号通过系统后响应的变化规律，是研究系统时域特性的重要方法，这种方法就是时域分析方法。1、LTI系统的微分方程的建立

对于电系统，建立其微分方程的基本依据是：

KCL：

i(t)＝0

KVL：

u(t)＝0

VCR：uR(t)=Ri(t)系统的微分方程的建立对图1(a)，有

图1即

对图1(b)，有

即一般形式：对图2的二阶系统，则有

图2对于n阶LTI连续系统，其微分方程为微分方程的经典解：

y(t)(完全解)=yh(t)(齐次解)+yp(t)(特解）齐次解是齐次微分方程

yh(t)的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；

特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。2、微分方程的经典解法

全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应)齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一般形式（无重根）：特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。为特征根齐次解yh(t)的形式(1)特征根是不等实根s1,s2,

,sn(2)特征根是等实根s1=s2=

=sn(3)特征根是成对共轭复根零输入响应（储能响应）：3、零输入响应与零状态响应从观察的初始时刻起不再施加输入信号，仅由该时刻系统本身的起始储能状态引起的响应称为零输入响应（ZIR）。

零状态响应（受激响应）：当系统的储能状态为零时，由外加激励信号（输入）产生的响应称为零状态响应（ZSR）

。

LTI的全响应：y(t)=yzi(t)+yzs(t)零输入响应（1）即求解对应齐次微分方程的解

①特征方程的根为n个单根当特征方程的根(特征根)为n个单根(不论实根、虚根、复数根)λ1，λ2，…，λn时，则yzi(t)的通解表达式为

②

特征方程的根为n重根当特征方程的根(特征根)为n个重根(不论实根、虚根、复数根)λ1=λ2=…=λn时，yzi(t)的通解表达式为:

（2）求yzi(t)的基本步骤

①求系统的特征根，写出yzi(t)的通解表达式。

③将确定出的积分常数C1，C2，…，Cn代入通解表达式，即得yzi(t)。

②由于激励为零，所以零输入的初始值：

确定积分常数C1，C2，…，Cn关于0_和0+初始值

1、0_状态和0＋状态0_状态称为零输入时的起始状态。即起始状态是由系统的储能产生的；0＋状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。

2、从0_状态到0＋状态的跃变当系统已经用微分方程表示时，系统的起始状态从0_状态到0＋状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及其各阶导数。如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0_状态到0＋状态发生了跳变。3、0＋状态的确定已知0_状态求0＋状态的值，可用冲激函数匹配法。求0＋状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。4、各种响应用初始值确定积分常数在经典法求全响应的积分常数时，用的是0＋状态初始值.在求系统零输入响应时，用的是0_状态起始状态。在求系统零状态响应时，用的是0＋状态初始值，这时的零状态是指0_状态为零。零状态响应（1）即求解对应非齐次微分方程的解（2）求yzs(t)的基本步骤

①求系统的特征根，写出的通解表达式yzs(t)。②根据f(t)的形式，确定特解形式，代入方程解得特解yp(t)

④将确定出的积分常数C1，C2，…，Cn代入全解表达式，即得。

③求全解，若方程右边有冲激函数（及其各阶导数）时，根据冲激函数匹配法求得，确定积分常数C1，C2，…，Cn几种典型自由项函数相应的特解

一阶系统的零状态响应对于一阶系统方程

x(t)：强迫函数（与输入信号有关）特征方程的根：则零状态响应：

或

完全响应：响应的分类方法：按响应的不同起因：分为储能响应和受激响应；按系统的性质和输入信号的性质分类：

a、自由响应：取决于系统性质，即特征根；

b、强迫响应：取决于输入信号的形式；按响应的变化形式：

a、瞬态响应：当t无限增长，响应最终趋于零；

b、稳态响应：响应恒定或为某个稳态函数。4、系统响应的划分例2-1

一阶系统当uC(0

)=4V，uS(t)=1+e3t

时，则完全响应为：经典法不足之处

若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。

若激励信号发生变化，则须全部重新求解。

若初始条件发生变化，则须全部重新求解。

这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。

系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统起始状态值uC(0

)和iL(0

)决定的初始值求出待定系数。

系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由起始状态值uC(0

)和iL(0

)为零决定的初始值求出待定系数。

求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积积分法。总结系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即r(t)=e(t)*h(t)单位阶跃信号2.2阶跃响应与冲激响应时延t0发生跃变的阶跃函数表示为

(t–t0)=

1(t>t0)0(t<t0)图1

1(t>0)0(t<0)

(t)=1、阶跃响应LTI系统在零状态下，由单位阶跃信号引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为s(t)。图2对于一阶系统方程则阶跃响应：则零状态响应：阶跃响应的测量图3（1）定义储能状态为零的系统，在单位冲激信号作用下产生的零状态响应称为冲激响应，记为h(t)。对于一阶系统则冲激响应：2、冲激响应例2-3

求图6示系统冲激响应h(t)=uC(t)

解所以

图6（2）阶跃响应与冲激响应的关系由系统的微、积分特性，则算子的运算规则：（1）可因式分解：（2）算子方程中左右两端的算子p不能随意消去：（3）算子p和1/p的位置不能互换：（3）利用转移算子求h(t)定义算子如图所示的二阶系统，其描述方程如下一般可将输入-输出关系表示为：则对一阶方程有所以定义转移算子H(p)：（3）利用转移算子求h(t)例2-4设有二阶方程则有算子方程即H(p)称为转移算子。一般有(2-32)对本例所以最后2.3卷积及其应用教学目的：深刻理解并掌握卷积的定义，会利用其性质求卷积，掌握卷积在LTI系统中的应用。教学重点：卷积的定义，卷积的代数律及性质，卷积在LTI系统中的应用。教学难点：理解卷积的图解法，掌握卷积的系统分析法，会求任意输入信号产生的零状态响应。

1、卷积的定义

若f1(t)、f2(t)均为因果信号：设f1(t)、f2(t)是定义在区间（，）上的两个连续信号，将积分

定义为f1(t)和f2(t)的卷积，记作

即：

例2-7求解设

1=1，

2=3，则4.相乘5.积分，求函数的面积。1.换元（t)2、卷积的图解法2.反折3.移位

图1(1)0

t2时(2)t2时图23、系统的卷积分析法零状态响应=输入信号冲激响应

y(t)=f(t)

h(t)过程：LTI（零状态）

(t)h(t)（定义）

(t

)h(t

)（时不变性）

f(t)

(t)f(t)

h(t)

f(t)y(t)

f(

)

(t

)

f(

)h(t

)（齐次性）

（可加性）图8求零状态响应的图示求解响应的方法：时域经典法：双零法：零输入响应：零状态响应：完全解=齐次解+

特解解齐次方程，用初（起）始条件求系数；总结（1）代数性质：a、交换律：

f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)如，输入和冲激响应的函数表达式互换位置，则零状态响应不变。4、卷积的性质b、结合律：

f1(t)*[f2(t)*f3(t)]=[f1(t)*f2(t)]*f3(t)系统级联，框图表示：

结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。

c、分配律：

[f1(t)+f2(t)]*f3(t)=f1(t)*f3(t)+f2(t)*f3(t)系统并联：

结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。（3）积分特性：应用：

f(t)*

(t)=f(t)*

(1)(t)若y(t)=f1(t)*f2(t)则即信号f(t)与阶跃信号卷积，就等于信号f(t)的积分。

若y(t)=f1(t)*f2(t)则y

(t)=f1(t)*f

2(t)=f

1(