近五年20172021高考数学真题分类汇编11立体几何含解析

H、立体几何

一、多选题

1.（2021•全国高考真题）在正三棱柱ABC-A4G中，A6=A4,=1，点P满足

BP=ABC+pBB],其中；则（）

A.当4=1时，△AB/的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥尸一48。的体积为定值

C.当时，有且仅有一个点P,使得A尸，8尸

D.当〃=（时，有且仅有一个点P,使得平面437

二、单选题

2.（2021•浙江高考真题）如图已知正方体A8C£>-A4CQ,M,N分别是A。，[B

的中点，则（）

A.直线A。与直线垂直，直线MN//平面ABCD

B.直线A。与直线平行，直线平面用

C.直线A。与直线。乃相交，直线MN//平面ABCO

D.直线AQ与直线0B异面，直线MNL平面BDRB]

3.（2021•浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（)

3Q2

A.-B.3C.D.3J?

22

4.（2021•全国高考真题（理））已如A,B,C是半径为I的球。的球面上的三个点,

且4。_1_8。,4。=8。=1,则三棱锥0-45。的体积为（）

AV2R百cV2口百

121244

5.（2021.全国高考真题（文））在一个正方体中，过顶点力的三条棱的中点分别为£,

F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，

则相应的侧视图是（）

D.

6.（2021•全国高考真题（理））在正方体ABC。-44G2中，P为4R的中点，则

直线尸3与所成的角为（）

717171K

A.-B.-C.-D.一

2346

7.（2021.全国高考真题）已知圆锥的底面半径为灰,其侧面展开图为一个半圆，则该

圆锥的母线长为（）

A.2B.272C.4D.4夜

8.（2020•天津高考真题）若棱长为26的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表

面积为（）

A.12万B.24〃C.36万D.144万

9.（2020・北京高考真题）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱

的表面积为（）.

A.6+6B.6+2百C.12+V3D.12+2百

10.（2020•浙江高考真题）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体

积（单位：cm?）是（）

14

TC.3D.6

11.（2020•海南高考真题）日号是中国古代用来测定时间的仪器，利用与唇而垂直的辱

针投射到号面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为。），地球上一点A的纬

度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与04垂直的平

面.在点A处放置一个日辱，若愚面与赤道所在平面平行，点4处的纬度为北纬40。，则

号针与点A处的水平面所成角为（）

A.20°B.40°

C.50°D.90°

12.（2020・全国高考真题（文））下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

A.6+4行B.4+4后C.6+273D.4+26

13.（2020•全国高考真题（理））已知A,8,C为球0的球面上的三个点，。。1为一ABC

的外接圆，若。。।的面积为4兀，AB=BC=AC=00{,则球。的表面积为（）

A.64KB.48KC.367rD.32K

14.（2020.全国高考真题（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状

可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角

形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）

\/5—1^^5—1RA/5+1n亚+1

A.-----D.------C.------U.------

4242

15.（2020•全国高考真题（理））已知△ABC是面积为艺的等边三角形，且其顶点都

4

在球O的球面上.若球O的表面积为16必则。到平面ABC的距离为（）

A.J3B.-C.1D.—

22

16.（2020•全国高考真题（理））如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一

个端点在正视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对

应的点为（）

E

GH

A.EB.FC.GD.H

17.（2019•浙江高考真题）祖唯是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“基势既同,

则积不容异''称为祖晒原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式匕主体=5%，其中S是

柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示（单位：cm）,则该柱体的

体积（单位：cnP）是

A.158B.162

C.182D.324

18.（2019•全国高考真题（理））如图，点N为正方形ABCO的中心，AECD为正三

角形，平面ECD_L平面是线段的中点，则

A.BM=EN,且直线是相交直线

B.BM手EN,且直线BM,EN是相交直线

C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线

D.BM手EN,且直线BM,EN是异面直线

19.（2019•浙江高考真题）祖眶是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“帚势既同,

则积不容易”称为祖随原理，利用该原理可以得到柱体体积公式K«*=s/7,其中S是柱

体的底面积，/I是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是

A.158B.162

C.182D.32

20.（2019•浙江高考真题）设三棱锥V—ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是

棱L4上的点（不含端点），记直线依与直线AC所成角为a，直线P3与平面ABC所

成角为二面角P—AC—8的平面角为/,则

A.f3<y,a<yB.P<a,f3<y

C.P<a,y<aD.a</3,y<P

21.（2019•全国高考真题（理））已知三棱锥P-A8C的四个顶点在球。的球面上，

PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形，E,尸分别是PA,AB的中点，NCE尸=90。,

则球。的体积为

A.8m兀B.4瓜兀C.2瓜兀D.娓兀

22.（2019•全国高考真题（文））设a,“为两个平面，则a〃夕的充要条件是

A.a内有无数条直线与万平行

B.a内有两条相交直线与尸平行

C.a,夕平行于同一条直线

D.a,£垂直于同一平面

23.（2019・上海高考真题）已知平面£、/两两垂直，直线a、b、c满足：

a=a,b三B，c三Y,则直线a、b、C不可能满足以下哪种关系

A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面

24.（2018•浙江高考真题）已知直线犯〃和平面a,"ua,则是“小〃q”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

25.（2018・上海高考真题）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四

棱锥为阳马，设AA是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、

以AA为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）

A.4B.8C.12D.16

26.（2018♦浙江高考真题）已知四棱锥S-A8CD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是

线段A3上的点（不含端点），设SE与3C所成的角为4，SE与平面ABCO所成的

角为。2,二面角S-A8-C的平面角为。3,则

A.<02—^3B.W02W4C.Oy<<O2D.。240344

27.（2018•全国高考真题（文））在长方体A8C。一A4G。中，AB=BC^2,AC,

与平面所成的角为30,则该长方体的体积为

A.8B.672C.872D.8后

28.（2018•北京高考真题（理））某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中,

直角三角形的个数为

29.（2018•全国高考真题（文））某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示，

圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点

为5,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为

B

A.2历B.2#)C.3D.2

30.（2018•全国高考真题（理））设A,B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，

ABC为等边三角形且其面积为9百，则三棱锥O-ABC体积的最大值为

A.B.1873C.24百D.54拒

31.（2018•全国高考真题（理））中国古建筑借助柳卯将木构件连接起来，构件的凸出

部分叫桦头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是样头.若如图摆放的木构

件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

A.B.

32.（2018•浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该儿何体的体

俯视图

A.2B.4C.6D.8

33.（2018•全国高考真题（文））在正方体ABC。—A4GA中，E为棱的中点,

则异面直线AE与CO所成角的正切值为

A.—B.—C.此D.—

2222

34.（2018•全国高考真题（文））已知圆柱的上、下底面的中心分别为。-02,过直线

O}o2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为

A.]2x/27tB.12KC.8&兀D.10K

35.（2018.全国高考真题（理））在长方体ABC。—中，AB=BC^\,

AA=^3,则异面直线AR与。用所成角的余弦值为

立

如

1在

-

A.5B.65D.2

36.（2018•全国高考真题（理））已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面。所成

的角都相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为

A3A/3r273r3>/2n73

4342

37.（2017•全国高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A、8为正方体的两个

顶点，M、N、。为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线A3与平面MNQ不

平行的是（）

未命名

未命名

三、解答题

38.（2021•全国高考真题）如图，在三棱锥A—BCD中，平面平面BCD,

AB=AD，。为3。的中点.

（1）证明：OA1CD；

（2）若一OCZ）是边长为1的等边三角形，点七在棱AD上，DE=2EA，且二面角

E-BC-。的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.

39.（2021•全国高考真题（文））如图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，底面

ABCD,例为的中点，且依_LA〃.

（1）证明：平面平面P8Z）;

（2）若PD=DC=1,求四棱锥P—ABC。的体积.

40.（2021•浙江高考真题）如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是平行四边形,

ZABC=120°,A5=1,BC=4,PA=V151M,N分别为8cpe的中点，

PD1DC,PM±MD.

（1）证明：AB1PM-,

（2）求直线AN与平面PDW所成角的正弦值.

41.（2021•全国高考真题（文））已知直三棱柱ABC-AAG中，侧面A448为正方

形，AB=BC=2,E,尸分别为AC和CC的中点，BF

(2)已知。为棱4月上的点，证明：BFLDE.

42.(2021.全国高考真题(理))已知直三棱柱ABC-48cl中，侧面44由8为正方

形，AB=BC=2,E,尸分别为AC和C0的中点，。为棱4月上的点.BF

(1)证明：BF上DE；

(2)当为何值时，面B4GC与面£>EE所成的二面角的正弦值最小？

43.(2021•全国高考真题(理))如图，四棱锥P-ABC。的底面是矩形，QDJ_底面

ABCD,PD=DC=\,M为3C的中点，且m_LAM.

R

（2）求二面角A—90—B的正弦值.

44.（2020海南高考真题）如图，四棱锥/MBCD的底面为正方形，底面A8CD设

平面PAD与平面PBC的交线为/.

（1）证明：/1平面/>。（7；

（2）已知产£>=AD=1,。为/上的点，QB=g,求P8与平面QC。所成角的正弦值.

45.（2020•天津高考真题）如图，在三棱柱ABC—中，CG，平面

ABC,ACLBC,AC^BC^2,CG=3,点。，£分别在棱和棱C0上，且

4)=1CE=2,M为棱4月的中点.

Cl

Bi

(1)求证：C}M±BtD；

(II)求二面角8—gE—。的正弦值；

(III)求直线AB与平面。与E所成角的正弦值.

46.(2020.北京高考真题)如图，在正方体ABCD—agGR中，E为8月的中点.

(I)求证：BC"/平面A"E；

(II)求直线A4与平面A"E所成角的正弦值.

47.(2020•浙江高考真题)如图，三棱台ABC—QEF中，平面ACFC平面ABC,

ZACB=ZACD=45°,DC=2BC.

（I）证明：EFYDB,

（ID求。尸与面。8c所成角的正弦值.

48.（2020•海南高考真题）如图，四棱锥P-A8C。的底面为正方形，PZ），底面4BCD.设

平面PAD与平面PBC的交线为I.

（1）证明：平面POC；

（2）已知PO=A£>=1,Q为/上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

49.（2020・江苏高考真题）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=亚,BD=2,。为的

中点，AO_L平面8C。，AO=2,E为4c的中点.

（1）求直线48与。E所成角的余弦值；

⑵若点F在BC上，满足BF=-BC,设二面角F—DE—C的大小为仇求sin。的值.

4

50.（2020•江苏高考真题）在三棱柱ABC-AIBICI中，AB±AC,BiC,平面A8C,E,F

分别是AC,BC的中点.

（1）求证：EF〃平面A3G；

（2）求证：平面A8iC_L平面ABBi.

51.（2020.全国高考真题（理））如图，在长方体ABCO—AgGA中，点分别在

梭DD],BB[上,K2DE=ED},BF=2FB、.

（1）证明：点C1在平面AE/7内；

（2）若A6=2,AD=bA4=3,求二面角4一砂一4的正弦值.

52.（2020.全国高考真题（文））如图，在长方体ABCO-AAGA中，点E,尸分别

在棱BB1上,且2DE=EQ,BF=2F%证明：

(1)当AB=BC时，EFLAC-,

（2）点G在平面A防内.

53.（2020•全国高考真题（文））如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，.A6c

是底面的内接正三角形，P为。。上一点，N4PC=90。.

（1）证明：平面布8_L平面布C；

（2）设。。=近，圆锥的侧面积为也兀，求三棱锥尸-ABC的体积.

54.（2020•全国高考真题（理））如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AE为

底面直径，AE^AD..A3C是底面的内接正三角形，尸为。O上一点，PO=—DO.

（1）证明：PA_L平面PBC；

（2）求二面角8—PC-E的余弦值.

55.（2020•全国高考真题（文））如图，已知三棱柱ABC-4BC1的底面是正三角形，侧

面88cle是矩形，M,N分别为BC,BiCi的中点，P为4例上一点.过BCi和尸的

平面交AB于E,交AC于F.

(1)证明：A4//MN,且平面4AMN_L平面EBCiF；

(2)设。为A48Q的中心，若AO=A8=6,AO〃平面EB1C1F,且NMPN=三，求四

3

棱锥的体积.

56.(2020•全国高考真题(理))如图，已知三棱柱ABC-A山iG的底面是正三角形，侧

面8BCC是矩形，M,N分别为BC,81G的中点，尸为AM上一点，过81cl和尸的

平面交AB于E,交AC于E

(1)证明：AA\//MN,且平面AiAMN_LEBiGF；

(2)设。为△AiBCi的中心，若AO〃平面EBiCiF,且求直线BE与平面

44WV所成角的正弦值.

57.(2019・江苏高考真题)如图，在直三棱柱ABC—43G中，D,E分别为BC,AC

的中点，AB=BC.

4氏

C

求证：(1)〃平面DECi；

(2)BELCiE.

58.(2019•天津高考真题(理))如图，AE，平面ABC。，CF//AE,AD//BC,

AD±AB,AB=AD=\,AE=BC=2.

(I)求证：〃平面石；

(II)求直线CE与平面BOE所成角的正弦值；

(III)若二面角£一89—/的余弦值为:，求线段。户的长.

59.(2019•全国高考真题(理))图1是由矩形AOEB,RsABC和菱形BFGC组成的

一个平面图形，其中AB=1,BE=BF=2,NFBC=60。,将其沿AB,BC折起使得2E与

8F重合，连结力G,如图2.

(1)证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面ABC,平面BCGE；

(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.

图1图2

60.(2019•全国高考真题(文))如图，直四棱柱ABCM山Ci。/的底面是菱形，44=4,

AB=2,ZBAD=6Q°,E,M,N分别是BC,BBj,A/O的中点.

(1)证明：MN〃平面C/OE；

(2)求点C到平面。。E的距离.

61.(2019•全国高考真题(理))

如图，长方体ABCQ-AIBIGG的底面ABCQ是正方形，点£在棱A4i上，8ELEG.

(1)证明：BE，平面EBCi；

(2)若AE=4E,求二面角B-EC-G的正弦值.

62.(2019•上海高考真题)如图，在正三棱锥P—ABC中，

PA=PB=PC=2,AB=BC=AC=C

(1)若P3的中点为M，8c的中点为N,求AC与MN的夹角;

(2)求。一ABC的体积.

63.(2018・上海高考真题)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为。，半径为2.

(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；

(2)设PO=4,OA、是底面半径，且NAOB=90°,M为线段A3的中点，

如图.求异面直线PM与OB所成的角的大小.

64.(2018•江苏高考真题)在平行六面体ABC。—44GA中，AA,=AB,AB{LB.C,.

求证：⑴钻//平面430；

(2)平面J.平面48c.

5

65.（2018・江苏高考真题）如图，在正三棱柱ABC-4B1G中，AB=AA]=2,点产，。分

别为4Bi,8c的中点.

（1）求异面直线8尸与4a所成角的余弦值：

（2）求直线CG与平面AQG所成角的正弦值.

66.（2018•全国高考真题（文））如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧C0所在平面垂

直，M是C。上异于C，。的点.

（1）证明：平面4WD,平面8MC；

（2）在线段上是否存在点P,使得MC〃平面P8D?说明理由.

67.（2018•北京高考真题（理））如图，在三棱柱ABC-A4G中，CG，平面ABC,

D,E,F,G分别为A41,AC,AG，8片的中点，AB=BC=亚,AC=AA]=2.

Ci

Ai

（1）求证：ACJ-平面BEF；

（2）求二面角8-CD-Ci的余弦值；

（3）证明：直线FG与平面BCD相交.

68.（2018•北京高考真题（文））如图，在四棱锥P—ABC。中，底面A6C。为矩形,

平面平面ABCD,PA±PD，PA=PD，E、尸分别为A。、依的中点.

（1）求证：PE工BC；

（II）求证：平面R48,平面PC。；

（III）求证：EF〃平面PCD.

69.（2018•全国高考真题（理））如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC

的中点，以。尸为折痕把△。尸C折起，使点C到达点P的位置，且PE_L斯.

（1）证明：平面PEE_L平面A3H）；

（2）求。。与平面ABED所成角的正弦值.

70.（2018•全国高考真题（理））如图,边长为2的正方形A8CO所在的平面与半圆弧CO

所在平面垂直，M是CO上异于C,。的点.

(1)证明：平面AMD,平面BMC；

(2)当三棱锥M-ABC体积最大时，求面与面MC。所成二面角的正弦值.

71.（2018•浙江高考真题）如图，已知多面体ABC-AiBiG,A,A,B,B,CiC均垂直于

平面ABC,ZABC=120°,A,A=4.CiC=l,AB=BC=B,B=2.

(I)证明：ABi,平面AiBiCi；

(II)求直线AC,与平面ABBi所成的角的正弦值.

72.(2018•全国高考真题(文))如图，在三棱锥P—ABC中，AB=BC=2丘,

PA=PB=PC=AC=-4,。为AC的中点.

(1)证明：POJ■平面A8C；

(2)若点M在棱8C上，且MC=2MB,求点C到平面PQM的距离.

p

73.(2018•全国高考真题(文))如图，在平行四边形中，A8=AC=3,

ZACM=90°,以AC为折痕将小ACM折起，使点M到达点D的位置,且A5J_D4.

(1)证明：平面ACD_L平面ABC；

2

(2)Q为线段AO上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=§DA，求三棱锥

。一ABP的体积.

74.(2017.山东高考真题(文))由四棱柱ABOABICQI截去三棱锥CLBCG后得

到的几何体如图所示，四边形A8CQ为正方形，。为AC与8。的交点，E为AQ的中

点，AiE_L平面A8CD

(1)证明：A。〃平面BC。；

(2)设M是。。的中点，证明：平面4EM1平面BCG.

四、填空题

75.（2021.全国高考真题（理））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧

视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为

（写出符合要求的一组答案即可）.

图①图②图③

76.（2021•全国高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30〃则该圆

锥的侧面积为.

77.（2020.海南高考真题）已知正方体4BC£>-AIBICI£）I的棱长为2,M、N分别为B海、

AB的中点，则三棱锥A-NMA的体积为

78.（2020・海南高考真题）已知直四棱柱ABCD-AiBGn的棱长均为2,ZBAD=60°.以

。为球心，V5为半径的球面与侧面BCCB的交线长为.

79.（2020•江苏高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成

的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角

螺帽毛坯的体积是一cm.

80.（202。全国高考真题（文））已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半

径最大的球的体积为.

81.（2020•全国高考真题（理））设有下列四个命题：

pi：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

P1-,过空间中任意三点有且仅有一个平面.

P3:若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

P4：若直线/U平面a,直线相，平面a,则机，/.

则下述命题中所有真命题的序号是.

①Pl人〃4②P|A〃2③-1P2Vp3④-V73

82.（2019•江苏高考真题）如图，长方体ABCO-4片0。的体积是120,E为CQ的

83.（2019•北京高考真题（理））某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三

视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为.

①/_1_m；®m//a.③/J.a.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题:

85.（2019•全国高考真题（理））学生到工厂劳动实践，利用3。打印技术制作模型.如

图，该模型为长方体A5CO-AgGA挖去四棱锥。―EFG”后所得的几何体，其中

。为长方体的中心，瓦EG,“分别为所在棱的中点，A6=8C=6cm,AA=4cm,

3。打印所用原料密度为0.9g/CH?,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为

86.（2019♦天津高考真题（文））已知四棱锥的底面是边长为正的正方形，侧棱长均为

石.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥

底面的中心，则该圆柱的体积为.

87.（2019•全国高考真题（文））已知NAC8=90。，P为平面ABC外一点，PC=2,点P

到ZACB两边AC,BC的距离均为也,那么P到平面ABC的距离为.

88.（2018•江苏高考真题）如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的

多面体的体积为.

89.（2018•全国高考真题（文））已知圆锥的顶点为S,母线必，SB互相垂直，SA与

圆锥底面所成角为30°,若6S45的面积为8,则该圆锥的体积为.

90.（2018•全国高考真题（理））已知圆锥的顶点为S,母线SA,S3所成角的余弦

值为C，SA与圆锥底面所成角为45。，若25AB的面积为5厉，则该圆锥的侧面

积为.

91.（2018•天津高考真题（理））已知正方体ABC。—A4C%的棱长为1,除面ABCD

外，该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M（如图），则四棱锥M—EFG”

的体积为.

五、双空题

92.（2019•全国高考真题（文））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印

信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半

正多面体'’（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面

体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一

个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱

长为.

图1图2

近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编

十一、立体几何（答案解析）

1.BD

【分析】

对于A,由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；

对于B,将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；

对于C,考虑借助向量的平移将尸点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点

的个数；

对于D,考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点

的个数.

【解析】

易知，点尸在矩形BCCg内部（含边界）.

对于A,当2=1时，BP=BC+〃BB[=BC+〃CQ，即此时Pe线段CG，△AB/周长

不是定值，故A错误；

对于B,当〃=1时，=,故此时2点轨迹为线段，而

B\CJ/BC,平面4BC,则有P到平面的距离为定值，所以其体积为定值，

故B正确.

1-1-一

对于C,当丸=3时，BP=-BC^iuBB},取BC,4G中点分别为Q，H,则

BP=BQ+、NQH,所以尸点轨迹为线段Q",不妨建系解决，建立、空间直角坐标系如图,

,0,//-1,BP=\0,--,//j,

y,O,l,P（0,0,〃）,则4P=

A2

7

4尸=1)=0,所以〃=0或〃=1.故“，。均满足，故C错误;

I--1

对于D,当〃=5时，BP=4BC+]B4,取四，CC,中点为M,N.BP=BM+九MN'

所以P点轨迹为线段MN.设P0,此；，因为4f_V31）

，所以AP=，为，彳‘

22

7

731nfiC1.311n

A,B'所以z+5%-5=0n%=-此时P与N重合，故D正确.

乙乙/一4■乙2乙22

7

故选：BD.

【小结】

本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内.

2.A

【分析】

由正方体间的垂直、平行关系，可证平面AB。，即可得出结论.

【解析】

连A。，在正方体ABC。-中,

"是的中点，所以M为中点,

又N是R8的中点，所以MN〃/W,

MN«平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以MN〃平面ABCD.

因为A3不垂直30,所以MN不垂直BD

则MN不垂直平面8。。与，所以选项B,D不正确;

在正方体A6CD—4耳G2中，A。，4。，

45，平面A4.DQ,所以A6_LA。，

AD}r>AB=A,所以AQ,平面AB",

RBu平面ABR,所以AQ_L26,

且直线4。,是异面直线，

所以选项B错误，选项A正确.

故选：A.

【小结】

关键点小结：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同

一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.

3.A

【分析】

根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.

【解析】

几何体为如图所示的四棱柱ABC。-44GA，其高为I，底面为等腰梯形ABC。，

该等腰梯形的上底为Ji,下底为20，腰长为1，故梯形的高为

故=QX（夜+2五卜=

故选：A.

【分析】

由题可得，A5C为等腰直角三角形，得出一"。外接圆的半径，则可求得。到平面ABC

的距离，进而求得体积.

【解析】

==ABC为等腰直角三角形，；.48=0，

则..A6C外接圆的半径为在，又球的半径为1,

2

设0到平面A8C的距离为d,

所以%.A8C=gsABC-d=与=*•

故选：A.

【小结】

关键小结：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到

截面距离的勾股关系求解.

5.D

【分析】

根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.

【解析】

由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，

6.D

【分析】

平移直线A。至BC-将直线依与AA所成的角转化为形与BG所成的角，解三角形即

可.

如图，连接8£,PG，P8,因为A£)1〃BG，

所以NPBG或其补角为直线PB与AR所成的角，

因为BBi±平面A4GA,所以BB11PC,,又PC,1BR,BB,nB.D,=4，

所以PCi1平面PBB、,所以PG，尸8,

设正方体棱长为2,则BG=2JIPG=gf)4=0,

sinZPBC,=^-=1所以NP8G=工.

%L6

故选：D

7.B

【分析】

设圆锥的母线长为/,根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得/的值，即为所求.

【解析】

设圆锥的母线长为/,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则R=2万x也，解得

/=2万

故选：B.

8.C

【分析】

求出正方体的体对角线的一半，叩为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.

【解析】

这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，

即,（2国+（2村+（2国

2

所以，这个球的表面积为S=4万&=44x32=36万.

故选：C.

【小结】

本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础

题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢

复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球

可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点,

再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作

两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.

9.D

【分析】

首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.

【解析】

由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形,

贝ij其表面积为：S=3x(2x2)+2x(gx2x2xsin60o)=12+26.

故选：D.

【小结】

(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从

三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理.

(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而

表面积是侧面积与底面圆的面积之和.

10.A

【分析】

根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积.

【解析】

由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，

且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1,

棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2,

所以几何体的体积为：

lx|1x2x1|xl+|1x2x1|x2=-+2=-.

3(2J(2)33

故选：A

【小结】

本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础题.

11.B

【分析】

画出过球心和劈针所确定的平面截地球和号面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂

直的定义判定有关截线的关系，根据点A处的纬度，计算出谷针与点A处的水平面所成角.

【解析】

画出截面图如下图所示，其中CO是赤道所在平面的截线；/是点A处的水平面的截线，依

题意可知OA_L/；A3是辱针所在直线是唇面的截线，依题意依题意，唇面和赤道平面

平行，唇针与唇面垂直，

根据平面平行的性质定理可得可知mllCD、根据线面垂直的定义可得ABlm..

由于NAOC=40。,m〃8,所以N。4G=NAOC=40°,

由于NQ4G++NG4E=90°，

所以NBAE=ZOAG=40°,也即愚针与点A处的水平面所成角为ZBAE=40°.

故选：B

【小结】

本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质,

属于中档题.

【分析】

根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其

表面积.

【解析】

根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形

根据立体图形可得：!…

根据勾股定理可得：AB=AD=DB=2O

出是边长为20的等边三角形

根据三角形面积公式可得：

S-=^ABAD-sin600=g(272)2-=2y/3

...该几何体的表面积是：3x2+26=6+2百.

故选：c.

【小结】

本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体

图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.

13.A

【分析】

由已知可得等边..A6c的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性

质，求出球的半径，即可得出结论.

【解析】

设圆&半径为广，球的半径为H，依题意，

得万y