2023年高中考试数学模考适应模拟卷05（新高考专用）（答案版）

第=PAGE1*2-11页共=SECTIONPAGES2*24页◎第=PAGE1*22页共=SECTIONPAGES2*24页第=PAGE1*2-11页共=SECTIONPAGES2*24页◎第=PAGE1*22页共=SECTIONPAGES2*24页保密★启用前2023新高考名师一模模拟卷（5）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题(共40分)1．已知集合为全集的子集，若，则（

）A．A B． C．U D．【答案】C【分析】由可得出，从而求出结果.【详解】解：因为，所以有，则.故选：C.2．若为虚数单位，复数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】表示的几何意义是复数对应的点与点连线段的长度，从这个角度可以得到复数模的最大值.【详解】表示的几何意义是复数对应的点到原点的距离小于等于1，表示的几何意义是复数对应的点与点连线段的长度，故的最大值为，故选：C.3．已知一个圆锥的底面半径为，高为，其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设半径为，根据已知条件列等式求出的值，利用球体的体积公式可求得结果.【详解】设球的半径为，圆锥的体积为，由于球的体积大小等于某球的表面积大小，则，，因此，该球的体积为.故选：D.4．如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，按规则有，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为（

）A．4 B．7 C．16 D．31【答案】B【分析】由题意，根据递推公式求数列中的某一项，可得答案.【详解】由题意，，，，解下第4个圆环，则，即，而，则，故选：B.5．如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线的一部分，若的中心在原点，焦点在轴上，离心率，且点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用待定系数法可求双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的方程为：，因为离心率，故半焦距，故，而双曲线过，故，解得，故双曲线的方程为：，故选：C.6．已知，，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题知，进而得，，，再根据，并结合齐次式求解即可.【详解】解：因为，，所以，因为，所以所以，，，，所以，.故选：A．7．设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抛物线焦半径公式得到B点横坐标，进而利用抛物线方程求出B点纵坐标，直线AB的方程，求出C点坐标，联立直线与抛物线，求出A点纵坐标，利用求出答案.【详解】如图，过点B作BD垂直准线于点D，则由抛物线定义可知：，设直线AB为，，，，不妨设，则，所以，解得：，则，解得：，则，所以，解得：，则直线AB为，所以当时，即，解得：，则，联立与得：，则，所以，其中.故选：C8．已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令函数，利用导数求得函数的单调性，得到，再根据，，，结合题意，，，得到，分别求得，，，即可求解.【详解】令函数，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，所以，因为，，，所以，，，所以，即，因为，可得，又因为，则，同理，，所以，，因为当时，，函数单调递减，所以．故选：C．【点睛】方法点拨：设函数，求得当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，得到，得出，结合函数的单调性进行比较是解答的关键.二、多选题(共20分)9．已知是两个随机事件，，下列命题正确的是（

）A．若相互独立， B．若事件，则C．若是对立事件，则 D．若是互斥事件，则【答案】ABD【分析】利用条件概率、相互独立事件判断A；利用条件概率的定义判断B；利用条件概率及对立、互斥事件的意义判断C，D作答.【详解】对于A，随机事件相互独立，则，，A正确；对于B，事件，，，B正确；对于C，因是对立事件，则，，C不正确；对于D，因是互斥事件，则，，D正确.故选：ABD10．如图所示，在正六边形中，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量为【答案】BCD【分析】根据图形，结合向量的线性运算及数量积运算，对选项逐一判断即可.【详解】因为为正六边形，即每个内角都为对于A，,故A错误.对于B，连接,，则为等边三角形，设六边形边长为，中点为，连接，则，，，所以即，故B正确.对于C，由B选项可知，且，故C正确.对于D，因为，所以在上的投影向量为故D，正确.故选:BCD.11．设，过定点A的动直线，和过定点B的动直线交于点P，圆，则下列说法正确的有（

）A．直线过定点(1，3) B．直线与圆C相交最短弦长为2C．动点P的曲线与圆C相交 D．|PA|+|PB|最大值为5【答案】ABC【分析】根据直线过定点的求法求出定点坐标即可判断A；由题意可知当时所得弦长最短，由求出进而得到的方程，结合到直线的距离公式和勾股定理求出弦长即可判断B；当时得到，P在圆C外；当时，根据两直线方程消去m得到点P的轨迹方程，比较圆心距和两圆半径之和的大小即可判断C；由题可证，设可得，进而得到，结合三角函数的值域即可判断D.【详解】A：由，有，所以直线过的定点为，故A正确；B：由圆的标准方程可得圆心为，半径，直线过的定点为，当时所得弦长最短，则，又，，所以，得，则圆心到直线的距离为，所以弦长为：，故B正确；C：当时，，则点，此时点P在圆C外；当时，由直线得，代入直线中得点P的方程为圆，得，半径为，所以圆心距，所以两圆相交.故C正确；D：由，当时，，有，当时，，，则，所以，又点P是两直线的交点，所以，所以，设，则，因为，所以，所以，故D错误.故选：ABC.12．如图，在三棱锥中，，，，为的中点，点是棱上一动点，则下列结论正确的是（

）A．三棱锥的表面积为B．若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为C．若与平面所成角的正弦值为，则二面角的正弦值为D．的取值范围为【答案】ABD【分析】连结OB.证明出面ABC.O为原点，以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.对于A：直接求出三棱锥的表面积，即可判断；对于B：用向量法求出异面直线与所成角的余弦值，即可判断；对于C：用向量法求出二面角的平面角的正弦值为，即可判断；对于D:把平面PBC展开，判断出当M与C重合时，最大；的最小值为AP，利用余弦定理可以求得.【详解】连结OB.在三棱锥中，，，.所以,,且,.所以，所以.又因为，所以面ABC.可以以O为原点，以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.则，，，，，所以,,,.对于A：在三棱锥中，，，，所以底面三角形为直角三角形，其面积为；为边长为2的等边三角形，所以面积为；和为腰长为2，底边为的等腰三角形，所以面积均为；所以三棱锥的表面积为.故A正确；对于B：为棱的中点，所以,所以,.所以异面直线与所成角的余弦值为.故B正确；对于C：点是棱上一动点，不妨设，（）.所以.设为面PAM的一个法向量，则，不妨设y=1，则.因为与平面所成角的正弦值为，所以，解得：取，则显然，面PAC的一个法向量为.设二面角的平面角为，所以，所以.故C错误；对于D:如图示，把平面PBC展开，使A、B、C、P四点共面.当M与B重合时，；当M与C重合时，最大；连结AP交BC于M1，由两点之间直线最短可知，当M位于M1时，最小.此时，，所以.由余弦定理得：.所以的取值范围为.故D正确.故选：ABD【点睛】立体几何题目的解题策略：(1)证明题：几何关系的证明，用判定定理；(2)计算题：求角或求距离（求体积通常需要先求距离），可以用向量法.第II卷（非选择题）三、填空题(共20分)13．已知函数，则________．【答案】【分析】根据分段函数的解析式求得正确答案.【详解】.故答案为：14．若直线与抛物线交于点，则的值为______.【答案】【分析】首先将直线与抛物线联立，利用韦达定理求出与的值，然后利用向量数量积的坐标运算公式及抛物线方程得，将的值代入即可.【详解】已知，，将代入抛物线中得：，即，所以，.，，又，，，得.故答案为：15．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5人的名次排列共可能有________种不同的情况.（用数字作答）【答案】【分析】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三名同学在三个位置上全排列，由分步乘法计数原理即可求解.【详解】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，有第二、三、四名3种情况，再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，其他三名同学排在三位置全排列有种，由分步乘法计数原理可知共有种，故答案为：.16．在处理多元不等式的最值时，我们常用构造切线的方法来求解．例如：曲线在处的切线方程为，且，若已知，则，当时等号成立，所以的最小值为3．已知函数，若数列满足，且，则数列的前10项和的最大值为________；若数列满足，且，则数列的前100项和的最小值为________．【答案】

70

630【分析】利用导数的几何意义求、处的切线方程，根据题设描述，数形结合求的前10项和最大值、的前100项和的最小值，注意等号成立条件.【详解】，则在R上单调递增，如下图所示：①易知，所以曲线在处的切线方程为，即，结合图象知（），所以，所以，当且仅当时，等号成立；②曲线在处的切线为，因为，则令此切线过原点，解得或，所以曲线在处的切线方程为，结合图象知，所以当且仅当或时等号成立，取，，即的前100项中有70项为3，30项为0时，等号成立．故答案为：70，630.【点睛】关键点点睛：根据导数几何意义求切线方程，数形结合列不等式求、前n项和的最值.四、解答题(共70分)17．(本题10分)设各项非负的数列的前项和为，已知，且成等比数列.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用得出的递推关系，从而得数列从第2项起为等差数列，结合等比数列的性质可求得，这样可得通项公式，然后由已知式中令求得，比较后可得结论；（2）用错位相减法求和．(1)当时，，当时，①，②.①-②得，即，∵，∴，∴数列从第2项起是公差为1的等差数列.∴，又，，成等比数列，∴，即，解得，∴，∵，∴，适合上式，∴数列的通项公式为.(2)，∴数列的前项的和为③④③-④得，∴.18．(本题12分)在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，D为AC边上的一点，，且______，求的面积．①BD是的平分线；②D为线段AC的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化简，再根据三角形中角的范围可求得；（2）若选①：利用三角形面积关系和余弦定理求得，然后根据面积公式即可；若选②：根据中点的向量关系式并同时平方，结合余弦定理求得，然后根据面积公式即可.(1)由正弦定理知：又：代入上式可得：，则故有：又，则故的大小为：(2)若选①：由BD平分得：则有：，即在中，由余弦定理可得：又，则有：联立可得：解得：（舍去）故若选②：可得：，，可得：在中，由余弦定理可得：，即联立解得：故19．(本题12分)如图，在四棱锥中，四边形是矩形，为的中点，平面，．(1)若点在线段上，且直线平面，确定点的位置；(2)若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)M为PB的中点(2)【分析】（1）根据线面平行的性质定理及线面平行的判定定理，再利用平行四边形的性质及三角形的中位线，结合平行的传递性即可求解；（2）根据（1）建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标，分别求出平面和平面的法向量，再利用向量的夹角公式即可求解.（1）为的中点时，直线平面．证明如下：设平面交直线于，连接.因为平面，平面平面,平面,所以．因为，平面，平面，所以平面，平面平面,平面,所以，所以四边形为平行四边形，从而．因为为的中点，则，所以又，所以点为的中点．（2）因为平面PAB，则，，以为原点，以垂直所在直线为x轴，为y轴，为z轴，建立的空间直角坐标系，如图所示设，则，．因为，则．所以点，，，，，，，设平面PCE的一个法向量为，则，即不妨令，得，，所以，因为平面，所以为平面的一个法向量．设平面与平面所成锐为二面角为，则，所以平面PCE与平面PAB所成锐二面角的余弦值为．20．(本题12分)2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、、[90，100]，统计结果如图所示：(1)试估计这100名学生得分的平均数；(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在[90，100]的人数为，试求的分布列和数学期望；(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算．现从所有参加知识竞赛的学生中随机抽取500人，若这500名学生的得分相互独立，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？参考数据：，，．【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为(3)最有可能是79【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式计算可得；（2）首先按照分层抽样求出得分在的人数，则的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；（3）由（1）知，，根据正态分布的性质求出，记500名学生中得分高于77的人数为，则，根据二项分布的概率公式求出取何值时概率取得最大，即可得解；【详解】（1）解：由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数．（2）解：参加座谈的11人中，得分在的有人，所以的可能取值为，，，所以，，．所以的分布列为012∴．（3）解：由（1）知，，所以．记500名学生中得分高于77的人数为，则，其中，∴，，1，2，…，500，则，当时，，当时，，∴得分高于77分的人数最有可能是．21．(本题12分)如图.矩形ABCD的长，宽，以A､B为左右焦点的椭圆恰好过C､D两点，点P为椭圆M上的动点.(1)求椭圆M的方程，并求的取值范围；(2)若过点B且斜率为k的直线交椭圆于M､N两点（点C与M､N两点不重合），且直线CM､CN的斜率分别为，试证明为定值.【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）由，把点的坐标代入椭圆方程，结合可求得得椭圆方程，设点，求出，根据椭圆的范围得数量积的范围；（2）设两点M､N，直线方程代入