河北省保定市竞秀区2021年中考数学一模试试题（含答案与解析）

河北省保定市竞秀区2021年中考一模试卷

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

学校：班级：考号：得分：.

一、选择题（本大题共16个小题；1〜10小题，每小题3分，11〜16小题，每小题3分.共

42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.计算-1。1=0,则表示的运算符号是（）

A.+B.-C.xD.-r

2.如图，在一张透明的纸上画一条直线/,在/外任取一点。并折出过点Q且与/垂直的直线.这样的直线

能折出（）

A.0条B.1条C.2条D.3条

3.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米.数据0.000000007用科

学记数法表示为（）.

A.7xl（rB.0.7x10/C.7xl0-8D.7xl0-9

4.如图所示几何体是由7个大小相同的小立方块搭成的，下列说法正确的是（）

A.几何体的主视图与左视图一样B.几何体的主视图与俯视图一样

C.儿何体的左视图与俯视图一样D.几何体的三视图都一样

5.以下关于质的说法，错误的是（）

A.瓜是无理数B.y/s=±2y/2,

C.2<78<3D.能够在数轴上找到表示&的点

6.如图，正方形。EFG和正方形ABCD是位似图形，且点F与点C是一对对应点，点F的坐标是（1,1）,

点C的坐标是（4,2）,则它们的位似中心的坐标是（)

B.(—1,0)C.(—2,0)D.(—3,0)

7.已知一元二次方程的常数项被墨水污染，当此方程有实数根时，污染的常数项可以是（)

3尸+2”=0,

A.3B.2D.0

8.嘉淇用一些完全相同的AABC纸片拼接图案，已知用六个△A8C纸片按照如图1所示的方法拼接，可得外

轮廓是正六边形图案，若用〃个ZiABC纸片按如图2所示的方法拼接，那么可以得到外轮廓的图案是（）

A.正七边形B.正八边形C.正九边形D.正十边形

9.下面是某同学“化简一7十一二”的过程，共四步.

x+2x-4

x+3x—2

解:原式=第一步

x+2(x+2)(x-2)

x+31

----------1--------第二步

x+2x+2

_x+4

第三步

x+2

=2....第四步

请判断：该同学的化筒过程从第（）步开始出现错误.

A.一B.二C.三D.四

10.如图，已知NM4N=60。，AB=6.依据尺规作图的痕迹可求出AO的长为（）

D

AN

A.2B.3c.373D.6

11.如图，从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(〃+1)cm的正方形剩余部分

沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为()

A.(2a2+5a)cm2B.(3a4-15)cm2C.(6以+9)5?D.(6a+15)CTW2

12.已知在AACB中，NACB=90。，点。是A8的中点，求证：C£)=LAB.在证明该结论时需要添加辅助

2

B.如图(2),作/AZ)C的角平分线，交AC于点E

C.如图(3),延长CO至点E,DE=CD,连接4E、BE

D.如图(4),过点B,BE//CA,交C。延长线于点E

13.如图，四边形ABCD内接于。0,点I是AABC的内心，NAIC=124。，点E在AD的延长线上，则/CDE

的度数为()

14.我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与

车各几何？”意思是说“每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘,

问人和车的数量各是多少？”下面四个同学的思考正确的是()

XX—9

小聪：设共有X人，根据题意得：一一2=——；

32

xx—9

小明：设共有X人，根据题意得：一+2=--

32

小玲：设共有车y辆，根据题意得：3（y-2）=2y+9

小丽：设共有车），辆，根据题意得：3（y+2）=2），+9

A.小聪、小丽B.小聪、小明C.小明、小玲D.小明、小丽

15.王芳将如图所示的三条水平直线，"1,mi,烟的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线机4,

加6的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了抛物线6以-2.5,则她所

选择的x轴和y轴分别为（）

Atn\,B."12,加3C.m3,meD.nu,机5

16.如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、

N.设△BPQ,ADKM,Z^CNH的面积依次为Si,S2,S3.若SI+S3=20,则S2的值为（）

A.6B.8C.10D.12

二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17〜18小题各3分，19小题有2空，每空2分.请

把答案填在题中横线上）

17.若4-3x41x4。=平，则p的值为.

18.如图，在平面直角坐标系中，RSABC的顶点A、C的坐标分别为（0,5）、（5,0）,ZACB=90°,AC

=2BC,函数丫=8（Q0,x>0）的图象过点8,则％的值为.

X

19.如图，扇形AOB中，半径。4在直线/上，/AOB=120。，OA=1,矩形EFGH的边EF也在/上，且

EH=2,OE=物+2。+桓将扇形AOB在直线I上向右滚动.

32

(1)滚动一周时得到扇形4。5,这时。0，=.

(2)当扇形与矩形EBG”有公共点时停止滚动，设公共点为。，则力E=.

三、解答题(本大题共7个小题，共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20.已知有理数-3和5.

(1)计算：七-3-巳5；

2

(2)若添一个有理数〃，使得这三个数中最大的数与最小的数的差为11,求〃的值.

21.老师在黑板上写下了下图所示的等式，让同学自己出题，并作出答案.

7+o-5x0=38

请你解答下列两个同学所提出的问题.

(1)甲同学提出的问题：当。代表-2时，求。所代表的有理数；

(2)乙同学提出的问题：若。和。所代表的有理数互为相反数，求。所代表的有理数.

22.嘉嘉和琪琪玩摸球游戏，有5个完全相同的小球，嘉嘉拿了3个，在上面分别标上数字2,3,4；琪琪

拿了2个，也标上数字.他们将小球放入同一个不透明的口袋中，并搅拌均匀.琪琪说：“我标的数字是

从3,4这两个数字中选择的(可重复)”.二人经过多次摸球试验，发现摸到的小球上的数字为3的频率

稳定于0.4.

(1)这5个小球上的数字的众数为.

(2)琪琪将口袋中的小球搅匀后，从中摸出一个小球，她说：“摸出这个小球后，剩余的小球上所标数字

的中位数没有变化，”

①琪琪摸出的小球上所标数字为.

②嘉嘉先从剩余的小球中摸出一个，放回，搅拌均匀又摸出一个，用列表或画树状图的方法求嘉嘉两次摸

到的小球上的数字都是偶数的概率.

23.如图，直线/i经过点4(0,2)和C(6,-2),点B的坐标为(4,2),点尸是线段AB上的动点(点

P不与点A重合)，直线，2：y—kx+2k(Z^O)经过点尸，并与/i交于点M.

(1)求人的函数表达式；

4

(2)若点M坐标为(1,-),求SAAPM;

3

(3)无论&取何值，直线/2恒经过点—，在P移动过程中，火的取值范围是—.

24.已知如图，AABC是边长为8的等边三角形，以A为圆心，2为半径作半圆A,交BA所在直线于点例,

N.点E是半圆A上任意一点，连接BE,把BE绕点B顺时针旋转60。到8。的位置，连接ED

(1)求证：△EBA丝△OBC.

(2)当EQ=2后时，判断BE与半圆A的位置关系，并说明理由.

(3)直接写出△BCZ)面积的最大值.

25.

疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测.某校统计了学生早晨到校情况，发现学

生到校累计人数y(单位：人)可以看作时间单位：分钟)的二次函数，其中。姿30.统计数据如下

表:

时间X（分

051015202530

钟）

人数y（人）0275500675800875900

（1）求出y与x之间的函数关系式.

（2）如果学生一进学校就开始测量体温，测温点有2个，每个测温点每分钟检测20人，学生按要求排队测

温.求第多少分钟时排队等待检测体温的人数最多？

（3）检测体温到第4分钟时，为减少排队等候时间，在校门口临时增设1个人工体温检测点，已知人工每

分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果）.

12

26.如图，平行四边形ABCD中，AB=9,AO=13,tanA=M,点P在射线4。上运动，连接尸8,沿PB

将AAPB折叠，得△A,PB.

（1）如图1,点P在线段AO上，当/。以'=20。时，NAPB=度；

（2）如图2,当心」BC时，求线段外的长度：

（3）当点A落在平行四边形ABC。的边所在的直线上时，求线段用的长度；

（4）直接写出：在点尸沿射线A。运动过程中，OA'的最小值是多少？

参考答案

一、选择题（本大题共16个小题；1〜10小题，每小题3分，11〜16小题，每小题3分.共

42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.计算-1。1=0,则表示的运算符号是（）

A.+B.-C.xD.-r

【答案】A

【解析】

【分析】首先分析-1和I的关系，发现它们是互为相反数的关系，而运算结果为0,结合互为相反数的和

为零，可得填.

【详解】V-1和I互为相反数，

-1+1=0，

.•.填“+”，

故选：A.

【点睛】本题考查互为相反数的概念，解题关键是掌握互为相反数的概念.

2.如图，在一张透明的纸上画一条直线/,在/外任取一点。并折出过点Q且与/垂直的直线.这样的直线

能折出（）

A.0条B.1条C.2条D.3条

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】解：根据垂线的性质，这样的直线只能作一条，

故选B.

3.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米.数据0.000000007用科

学记数法表示为（）.

A.7xl（y7B.0.7x10-8C.7x10sD.7xl0-9

【答案】D

【解析】

（分析】由科学记数法知0.000000007=7x10-9；

［详解］解：0.000000007=7x10-。

故选D

【点睛】本题考查科学记数法：熟练掌握科学记数法axlO"中。与〃的意义是解题的关键.

4.如图所示的几何体是由7个大小相同的小立方块搭成的，下列说法正确的是（）

A.几何体的主视图与左视图一样B.几何体的主视图与俯视图一样

C.几何体的左视图与俯视图一样D.儿何体的三视图都一样

【答案】B

【解析】

【分析】分别得出该几何体的三视图进而得出答案.

【详解】解：该几何体三视图如下图所示：

俯视图-

由图可知：该几何体的主视图与俯视图一样.

故选：B

【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图,正确画出三视图是解题关键.

5.以下关于次的说法，错误的是（）

A.4是无理数B.=±2-y2

C.2<78<3D.能够在数轴上找到表示我的点

【答案】B

【解析】

【分析】根据无理数的概念、二次根式的基本性质及实数与数轴上点的关系即可判断.

【详解】A、&=2夜，无理数，故A正确；

B、因为=J4x2=■xfix=2yH,故3错误；

C、因为所以2<小<3，故C正确：

。、因为有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点是一一对应的.故0正确.

【点睛】本题考查了无理数的有关概念、二次根式的基本性质、及实数的性质，掌握相关概念和性质是解

决问题的关键.

6.如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点F与点C是一对对应点，点F的坐标是（1,1）,

D.(-3,0)

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】•点F与点C是一对对应点，可知两个位似图形在位似中心同旁，位似中心就是CF与x轴的交点,

设直线CF解析式的y=kx+b,

将C(4,2),F(1,1)代入,

‘4攵+0=2

k+b=\

,1

左--

3

解得

，2

力--

3

-

12

即-

产3x+3-

令y=0得x=-2,

・・・0'坐标是（-2,0）；

故选C.

7.已知一元二次方程的常数项被墨水污染，当此方程有实数根时，污染的常数项可以是（）

=01

A.3B.2C.1D.O

【答案】D

【解析】

【分析】设此方程为3X2+2X+C=O,当方程有实数根时ANO,代入计算可得c的取值范围，结合选项即可求

解.

【详解】解：设此方程为3x2+2x+c=0,

•••方程有实数根,

・・△=2?-4x3c20,

解得：c<~,

3

故选：D.

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程加+历c+c=O(a/O)的根与八二^一面。有如下关系:

当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当/<0时，方程没有

实数根.

8.嘉淇用一些完全相同的AABC纸片拼接图案，已知用六个AABC纸片按照如图1所示的方法拼接，可得外

轮廓是正六边形图案，若用〃个ZiABC纸片按如图2所示的方法拼接，那么可以得到外轮廓的图案是()

A.正七边形B.正八边形C.正九边形D.正十边形

【答案】C

【解析】

【分析】根据第一个图外轮廓是正六边形图案可求的△ABC纸片的NACB为40。，则NC4B=60°,新多边

形的一个内角为140。，因为是正多边形，利用正多边形的内角和公式即可求解.

【详解】正六边形的每个内角为：-(6-2)x180°=120°

6

•/ZABC=80°

：.ZACB=40°.

ZCAB=180。-ZABC-ZACB=60°

由题意可知，新的图案是一个正多边形，

，新多边形的一个内角为NABC+NGLB=140°

设新多边形的边数为〃

(“—2)x18()0=140。”

n=9.

故选C.

【点睛】本题考查了三角形内角和为180。，正多边形的内角公式，多边形内角和公式，理解题意求出正多

边形的一个内角是解题的关键.

9.下面是某同学“化简——+一三一”的过程，共四步.

x+2x--4

x+3x-2

解:原式=----------1------------------------第一步

x+2(x+2)(x-2)

x+31

----------1---------第二步

x+2x+2

_x+4

第三步

x+2

=2….第四步

请判断：该同学的化简过程从第（）步开始出现错误.

A.—B.二D.四

【答案】A

【解析】

【分析】按正常计算步骤计算，对比题干找出错误的步骤.

x+32-x

【详解】解:------1--9----

x+2x—4

x+32-x

----------1------------------------第一步,

x+2(x+2)(x-2)

故该同学是从第一步开始出现错误的，

故选：A.

【点睛】本题考查分式的化简，解题关键是熟练掌握分式的基本性质.

10.如图，已知/心W=60°,AB=6.依据尺规作图的痕迹可求出AO的长为（）

，M

B

A.2B.3c.3KD.6

【答案】C

【解析】

【分析】证明AABC是等边三角形，求出AB,BD,利用勾股定理求解即可.

【详解】解：由题意，AB=AC,ZBAC=60°,

•**/\ABC是等边二角形,

：.AB=BC=AC=6,

・・山。平分NR4C,

：.AD.LBC9BD=CD=3,

'-AD=y/AB2-BD2=A/62-32=373,

故选：c.

【点睛】本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

11.如图，从边长为(〃+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(。+1)cm的正方形剩余部分

沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为()

，♦4♦

A.(2a2+5a)cm2B.(3a-i-15)cm2C.(6。+9)ctn2D.(6a+15)cm2

【答案】D

【解析】

【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算.

【详解】矩形的面积为：

(a+4)2-(a+1)2

(.a2+8a+16)-(a2+2a+l)

=a2+8a+16-a2-2a-1

=6a+15.

故选D.

12.已知在AACB中，NAC2=90。，点。是48的中点，求证：。£>=’4注在证明该结论时需要添加辅助

2

A.如图(1),取AC的中点E,连接。E

B.如图(2),作NAOC的角平分线，交4c于点E

C.如图(3),延长CO至点E,DE=CD,连接4E、BE

D.如图(4),过点B,BE//CA,交CO延长线于点£

【答案】B

【解析】

【分析】根据提示，证明结论，能证明结论的就是正确的，反之即为不正确的.

【详解】：点。是AB的中点，点E是4c的中点，

:.DE〃BC,

：.ZEDC=ZDCB,ZEDA=ZB,ZAED=ZACB=90°,

：.AD=DC,ZEDC=ZEDA,

：.ZDCB=ZB,

：.BD=DC,

：.AD=DB=CD,

：.CD=—AB.

2

故4正确；

'：AD=DB,DE=CD,

：.四边形ABCD是平行四边形,

,/ZACB=90°,

四边形ABC。是矩形,

：.AB=CE

'：CD=—CE,

2

：.CD=—AB.

2

故C正确；

点。是AB的中点，

AZCAD=ZEBD,ZADC=ZBDE,NEBC=NAC8=90。，

，RADgxBDE,

：.CD=ED,AC=BE,

,:BC=BC,

：.AABgxECB,

：.AB=CE,

'：CD=—CE,

2

：.CD=—AB.

2

故。正确；

只有B无法实现证明，

故选B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的全等和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握三角

形的全等和矩形的判定是解题的关键.

13.如图，四边形ABCD内接于。0,点I是AABC的内心，/AIC=124。，点E在AD的延长线上，则NCDE

的度数为()

A.56°B.62°C.68°D.78°

【答案】C

【解析】

【详解】分析：由点I是ZkABC的内心知NBAC=2/IAC、ZACB=2ZICA,从而求得

ZB=180°-(ZBAC+ZACB)=180°-2(180。-NAIC),再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答

案.

详解：・・•点I是aABC的内心,

・・,NBAC=2NIAC、ZACB=2ZICA,

VZAIC=124°,

AZB=180o-(ZBAC+ZACB)

=180°-2(ZIAC+ZICA)

=180°-2(180°-ZAIC)

=68°,

又四边形ABCD内接于。O,

.,.ZCDE=ZB=68°,

故选C.

点睛：本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性

质.

14.我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与

车各几何？”意思是说“每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘,

问人和车的数量各是多少？”下面四个同学的思考正确的是()

Xx—9

小聪：设共有X人，根据题意得：--2=--；

32

Xx—9

小明：设共有X人，根据题意得：土+2=上工

32

小玲：设共有车y辆，根据题意得：3(y-2)-2y+9

小丽：设共有车y辆，根据题意得：3(y+2)=2y+9

A小聪、小丽B.小聪、小明C.小明、小玲D.小明、小丽

【答案】C

【解析】

【分析】、

分别设人和车的数量为x，y,根据题意列出方程即可.

xx—9

【详解】设共有X人，车的数量相等，根据题意得：—+2=-

32

设共有车),辆，人的数量相等，根据题意得：3(y-2)=2y+9,

结合选项，小明、小玲的为正确解，符合题意.

故选C.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意设出未知数，列出方程是解题的关键.

15.王芳将如图所示的三条水平直线如，mi,物的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线侬,

〃25,“76的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了抛物线丫=数2-6以-2.5,则她所

选择的X轴和y轴分别为（）

A.mi,nuB.mi,m3C.m3,meD.1114,ms

【答案】A

【解析】

【分析】根据抛物线的对称轴在y轴的位置即可判断得出正确答案.

【详解】解：•••抛物线的对称轴：X=一3=3,且与y轴的交点坐标为：（0,-2.5）

2a

.•.对称轴在y轴的右侧

A：对称轴在y轴右侧，且与y轴交点在负半轴，符合题意；

8：两条直线不能构成平面直角坐标系，故选项错误；

C：对称轴在y轴左侧，且与y轴交点在正半轴，故选项错误；

。:两条直线不能构成平面直角坐标系，故选项错误.

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数图象的特征分析，根据表达式确定相关的图象性质是解题的切入点.

16.如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、

N.设△BPQ,ADKM,aCNH的面积依次为S”S2,S3.若SI+S3=20,则S2的值为（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：：矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，

，AB=BD=CD,AE〃BF〃DG〃CH,

四边形BEFD,四边形DFGC是平行四边形，NBQP=NDMK=NCHN,

；.BE〃DF〃CG

ZBPQ=ZDKM=ZCNH,

VAABQ^AADM,△ABQ^AACH,

.ABBQ1BQAB\

••茄一砺一5''CH~~AC~3'

/.△BPQ^ADKM^ACNH

.丝」BQJ

CH-3

.A=LI」

"S2了S39

；.S2=4SI,S3=9SI,

VS1+S3=2O,

•,.Si=2,

.\S2=8.

故选B.

考点：1.矩形的性质，2.三角形的面积，3.相似三角形的判定与性质.

二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17〜18小题各3分，19小题有2空，每空2分.请

把答案填在题中横线上）

17.若4-3x41x4。=彷则p的值为.

【答案】-4

【解析】

【分析】直接根据同底数相乘，底数不变，指数相加计算即可.

【详解】解：4-3XX4°=4(-3)+<-|)+O=4T=4。，

/.p——4.

【点睛】本题主要考查同底数基的乘法，熟练掌握同底数幕运算法则是解决本题的关键.

18.如图，在平面直角坐标系中，RJA3C的顶点A、C的坐标分别为（0,5）、（5,0）,ZACB=90°,AC

k

=2BC,函数y=—（攵>0,x>0）的图象过点3,则左的值为______.

【解析】

【分析】过8点作5。，x轴于。，如图，先判断△04。为等腰直角三角形得到AC=50，ZACO=45°,

再判断ABC。为等腰直角三角形得到8=8。=正8C,则可计算出C£>=8£>==，所以B自，1）,然后

利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值.

【详解】解：过点B作轴，垂足为。，

•.•4、C的坐标分别是（0,5）、（5、0）,

OA=OC=5,

在用ZVIOC中，AC=不守+52=5母，

又•；AC=2BC,

2

又•.♦NACB=90°,

?OAC20cA45?1BCD?CBD,

：.CD=BD=—BC=—2

2222

・•・哈|),

k75

将点B的坐标代入y=—得：k=g

X4

故答案为：---

4

k

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数）=乙（人为常数，ZwO）的图象是双曲线,

X

图象上的点（乐y）的横纵坐标的积是定值即母=攵.也考查了反比例函数的性质.

19.如图，扇形A08中，半径04在直线/上，NAO8=120。，04=1,矩形的边Er也在/上，且

EH=2,0后=业+变也将扇形AOB在直线/上向右滚动.

32

（1）滚动一周时得到扇形400,这时0。'=.

（2）当扇形与矩形EFG”有公共点时停止滚动，设公共点为。，则DE=.

【答案】①.—+2②.立

32

【解析】

【分析】（1）利用扇形弧长公式求出A8，滚动一周，则OO'=A8+2OA；

/7

（2）求得OE与OO'的关系，可知扇形AOB滚动5周后，。与E相距竺，继续滚动，2点与HE相交,

2

即公共点。点，根据勾股定理求出CE的长.

【详解】（1）扇形408滚动一周得到扇形40,8,

•.,乙408=120°,04=1

.，c120°02n

..AB=----x2万•OA=——

36003

27r

OO'=AB+2OA=—+2

3

3限苧，。。音

.八二10）20+V210〃200/21QV2

32322^3J22

即扇形AOB滚动5周后，。与E相距注，继续滚动，B点与相交，即公共点。点,

2

历

：.OD=OB=OA=l,OE=注,ZHEO=9Q0

2

DE=y]OD2-OE2=-与二号

【点睛】本题考查扇形弧长的计算、利用勾股定理解几何题.本题的关键在于理解扇形滚动的规律.

三、解答题（本大题共7个小题，共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20.已知有理数-3和5.

（1）计算：;

2

（2）若添一个有理数〃，使得这三个数中最大的数与最小的数的差为11,求〃的值.

【答案】（1）-4；（2）”的值为8或-6.

【解析】

【分析】（1）根据有理数的运算法则及运算顺序计算即可；

（2）分当n为最大数和〃为最小数两种情况求解即可.

【详解】（1）土^=遇=-4；

22

（2）当〃为最大数时，n-（-3）=11,解得〃=8；

当"为最小数时，5-n=ll,解得"=-6.

综上，〃的值为8或-6.

【点睛】本题考查了有理数的运算，解决第（2）题时要注意有两种情况，不要漏解.

21.老师在黑板上写下了下图所示的等式，让同学自己出题，并作出答案.

7+o-5xO=38

请你解答下列两个同学所提出的问题.

（1）甲同学提出的问题：当。代表-2时，求。所代表的有理数；

（2）乙同学提出的问题：若。和。所代表的有理数互为相反数，求。所代表的有理数.

31

【答案XI）甲同学提出的问题中。所代表的有理数为21；（2）乙同学提出的问题所代表的有理数为-”.

6

【解析】

【分析】（1）当。代表-2时，求。所代表的有理数设为x,根据题意列出方程，求出方程的解即可；

（2）当。和。所代表的有理数互为相反数时，分别设为。，-a,根据题意列出方程，求出方程的解即可.

【详解】解：（1）当。代表-2时，。所代表的有理数为x,

根据题意得：7+x+10=38,

解得：x=21,

则甲提出的问题：。所代表的有理数为21；

（2）当。和。所代表的有理数互为相反数时，分别设为a,

根据题意得：7+a+5a=38，

31

解得：«=—,

6

31

则乙提出的问题：O所代表的有理数为-彳.

【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，以及解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解决本

题的关键.

22.嘉嘉和琪琪玩摸球游戏，有5个完全相同的小球，嘉嘉拿了3个，在上面分别标上数字2,3,4；琪琪

拿了2个，也标上数字.他们将小球放入同一个不透明的口袋中，并搅拌均匀.琪琪说：“我标的数字是

从3,4这两个数字中选择的（可重复）”.二人经过多次摸球试验，发现摸到的小球上的数字为3的频率

稳定于0.4.

（1）这5个小球上的数字的众数为.

（2）琪琪将口袋中的小球搅匀后，从中摸出一个小球，她说：“摸出这个小球后，剩余的小球上所标数字

的中位数没有变化，”

①琪琪摸出的小球上所标数字为.

②嘉嘉先从剩余的小球中摸出一个，放回，搅拌均匀又摸出一个，用列表或画树状图的方法求嘉嘉两次摸

到的小球上的数字都是偶数的概率.

【答案】（1）3,4；（2）①4；②嘉嘉两次摸到的小球上的数字都是偶数的概率为

4

【解析】

【分析】（1）先根据多次摸球实验发现摸到的小球上的数字为3的频率稳定于0.4得出标注数字3的球的个

数，继而得出这5个数字，从而依据众数的概念得出答案；

（2）①根据原数据的中位数为3,如果去掉数字4,新数据的中位数是7=3可得答案；

2

②列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再依据概率公式求解即可.

【详解】解：（1）•••一共有5个小球，经过多次摸球试验，发现摸到的小球上的数字为3的频率稳定于0.4,

,标有数字3的小球的个数为5x04=2,

则琪琪标注的两个数字分别为3、4,

...这5个小球标注的数字分别为2、3、3、4、4,

.•.这5个小球上的数字的众数为3和4,

故答案为：3,4；

（2）①•••琪琪将口袋中的小球搅匀后，从中摸出一个小球，她说：“摸出这个小球后，剩余的小球上所标

数字的中位数没有变化”，

.•.琪琪摸出的小球上所标数字为4；

②列表如下：

2334

2(2,2)(3,2)(3,2)(4,2)

3(2,3)(3,3)(3,3)(4,3)

3(2,3)(3,3)(3,3)(4,3)

4(2,4)(3,4)(3,4)(4,4)

由表可知，共有16种等可能结果，其中嘉嘉两次摸到的小球上的数字都是偶数的有4种，所以嘉嘉两次摸

41

到的小球上的数字都是偶数的概率为一=—.

164

【点睛】此题考查的是利用频率估计概率、用列表法或树状图法求概率.注意画树状图法与列表法可以不

重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的

事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.

23.如图，直线人经过点4（0,2）和C（6,-2）,点8的坐标为（4,2）,点尸是线段A3上的动点（点

P不与点A重合），直线/2：y^kx+2k（^0）经过点P,并与/|交于点

（1）求人的函数表达式；

4

（2）若点M坐标为（1,-）,求

3

（3）无论々取何值，直线，2恒经过点—，在尸的移动过程中，％的取值范围是.

251

【答案】(1)y——x+2；(2)S——(3)(—2,0),—<k<1.

3&APM63

【解析】

【分析】（1）将点A（0,2）和C（6,-2）代入y=6+b,待定系数法求一次函数解析式即可;

4

（2）根据y=&+2Z过点求出解析式，求出求SMW

（3）丁=丘+2攵=左。+2）过定点，分别求出P在4B两点的时的“即可.

【详解】（1）点A（0,2）和C（6,-2）代入，），=依+。得:

仿=2

,,,c，解得13

6k+b=-2

b=2

2

y—尤+2.

3

4

(2)；y=丘+2%过加(1,§)

4

%=

k+2k-9-

8

4-

/.V=-X49

-9

•••4(0,2),B(4,2),点P是线段AB上的动点

：.Py=2

直线京y^kx+2k(原0)经过点P

2=3+§,5

x=—

992

二*2)

PA=-

2

14

S®M=”AX(2-7

2236

-S

6

(3)y—kx+2k=k(x+2)

•••过定点(-2,0)

当点P经过A(0,2)时，代入丁=履+2女

2k=2,解得％=1

当点P经过B(4,2)时，代入了=履+2人

4k+2k=2,解得女=1

3

当点P从点A到点B的移动过程中，4的值在不断变小，点尸不与点A重合.

/.-<Z:<1.

3

【点睛】本题考查了，待定系数法求一次函数解析式，一次函数围成的三角形面积，过定点的一次函数,

通过数形结合，理解题意，正确的解得一次函数解析式是解题的关键.

24.已知如图，AABC是边长为8的等边三角形，以A为圆心，2为半径作半圆A,交BA所在直线于点M,

N.点E是半圆A上任意一点，连接BE,把BE绕点B顺时针旋转60。到8。的位置，连接ED.

'N

（1）求证：&EBA妾4DBC.

（2）当即=2厉时，判断BE与半圆A的位置关系，并说明理由.

（3）直接写出△8C。面积的最大值.

【答案】（1）见解析；（2）BE与半圆A相切，理由见解析；（3）ZBC。面积的最大值8.

【解析】

【分析】（1）根据等边三角形性质及旋转的性质证得BE=8£>,NEBA=NDBC,BA=BC,由此即可判定

△EBA畛ADBC；

（2）8E与半圆4相切，证明是等边三角形，即可得BE=E£）=2ji5，再证明B/+AE2=AB2,

根据勾股定理的逆定理即可得N8E4=90°,由此即证得8E与半圆A相切；

（3）当时，的面积最大，由此即可求得ABCQ面积的最大值.

【详解】证明：（1）;△ABC是等边三角形，