集合与函数(复习)

第一章集合与函数的概念（复习）集合集合含义与表示集合间关系集合基本运算列举法描述法补集并集交集知识结构包含关系相等关系函数函数的概念函数的表示方法函数的基本性质定义域对应法则值域单调性最值解析法列表法图像法知识结构奇偶性集合映射1.集合的有关概念

元素(element)---我们把研究的对象统称为元素。集合(set)---把一些元素组成的总体叫做集合,简称集。常用大写的拉丁字母A、B、C…表示集合；用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素。

注：组成集合的元素可以是人、物、数、图、点等。2.集合元素的特性：集合中的元素必须是互不相同的.集合中的元素必须是确定的.

集合中的元素是无先后顺序的．集合中的任何两个元素都可以交换位置．

注：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.1.确定性：2.互异性：3.无序性：

判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由；(1)大于3小于11的偶数；(2)我国的小河流。思考中国的直辖市身材较高的人著名的数学家我们班年龄很小的同学判断下列例子能否构成集合

注:

像”很”,”非常”,”比较”这些不确定的词都不能构成集合√×××（1）属于(belongto)：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作（2）不属于(notbelongto)：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作3.元素与集合的关系

记我们班同学构成的集合为A，我们班其中两位同学为a、b，那么a、b与A是什么关系？4.重要数集：(1)N:自然数集(含0)(2)N﹡或N＋

:正整数集(不含0)(3)Z：整数集(4)Q：有理数集(5)R：实数集

即非负整数集用符号“∈”或“”填空：

(1)3.14_______Q(2)π_______Q(3)0_______N(4)0_______N+(5)_______Z(6)2_______R练一练∈∈∈∈5.集合的表示方法

1、列举法：

将集合中的元素一一列举出来，用花括号{}括起来，并将元素用逗号隔开.互异无序{1，2，3，4，5}{北京，天津，上海，重庆}用列举法表示下列集合(自然语言描述)：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合。例12、描述法：用所含元素的共同特征表示集合，写成{元素符号及取值范围︱特征性质}如：不等式x-7<3的解集{}如：所有偶数组成的集合{}试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合。例2集合的基本关系BA子集真子集相等(1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}（2)A={所有矩形}，B={所有平行四边形}.（3)A={海南第二中学高一（7）班女生}.B={海南第二中学高一（7）班学生},1.观察下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？（4）C={x|x是两条边相等的三角形}D={x|x是等腰三角形}BAABABBBABAA＝B例题3：写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集

解：集合{a,b}的所有子集为φ，{a}，{b}，{a,b}，真子集为φ，{a}，{b}，

（思考：集合{a1,a2,a3,…,an}有多少个子集？）(1).空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集;(2).任何一个集合是它本身的子集；(3).传递性：

(4).若集合A的元素个数为n，则它的子集有ABABUA并集的性质例4设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B.解:A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}例5设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3}求A∪B.解:A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}例6新华中学开运动会,设A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学},求A∩B.解:A∩B={x|x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.例8设U={x|x是小于9的正整},A={1,2,3}B={3,4,5,6},求CUA,CUB.解:根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以CUA={4,5,6,7,8}CUB={1,2,7,8}.例9设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形}求A∩B,CU(A∪B).设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A

1.函数的概念函数值自变量定义域函数值的集合C={f(x)|x∈A}叫做函数的值域。函数的三要素：定义域、对应关系、值域。对于函数的概念，我们可以用“射击模型”来加以理解。AB1235412345678910=C对应关系f之下，使得集合A和集合B中的元素满足：“一对一”“多对一”（不能“一对多”）下列可作为函数y=f(x)的图象的是ＡＢＣＤxxxxyyyyOOOO√．关于求定义域:（1）分母不等于零；偶次根式不小于零；每个部分有意义的实数的集合的交集；符合实际意义的实数集合．关于求值域：①y=3x+2(-1≤x≤1)RRRRR集合表示区间表示数轴表示{xa＜x＜b}(a,b)。。{xa≤x≤b}[a,b]..{xa≤x＜b}[a,b).。{xa＜x≤b}(a,b].。{xx＜a}(－∞,a)。{xx≤a}(－∞,a].{xx＞b}(b,+∞)。{xx≥b}[b,+∞).{xx∈R}(－∞,+∞)数轴上所有的点2.函数的表示法例3.某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).问题1解：(1)解析法(2)列表法(3)图象法X∈{1,2,3,4,5},解：由绝对值的概念，我们有

x,x≥0,-x,x＜0.

所以，函数y=|x|的图象如右图所示例5：画出函数y=|x|的图象。Y=12345y12x－33－2－10例6：某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定

（1）5公里以内（含5公里），票价2元。（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）。如果某条路线的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。解：设票价为y,里程为x，由题意可知，自变量的取值范围是（0，20】由“招手即停”的票价制定规则，可得函数的解析式：Y=0＜x≤5,5＜x≤10,10＜x≤15,15＜x≤20,2,3,4,5,5151020x012345y分段函数

x,x≥0,-x,x＜0.Y=Y=0＜x≤5,5＜x≤10,10＜x≤15,15＜x≤20,2,3,4,5,1、在定义域的不同部分上，有不同的解析式。12345y12x－33－2－105151020x012345y2、图象不是连续的而是分段的。

设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射。映射映射思考:映射与函数关系如何?映射的几种形式：一对一，多对一3.函数的基本性质☞画出下列函数的图象，观察其变化规律：

1.从左至右图象上升还是下降____? 2.在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着______．f(x)=x(-∞,+∞)增大上升引例2：分析一次函数f(x)=x

图象Oxy引例3：分析二次函数的图象Oxy引例3：分析二次函数的图象Oxy引例3：分析二次函数的图象Oxy引例3：分析二次函数的图象Oxy引例3：分析二次函数的图象Oxy引例3：分析二次函数的图象Oxy引例3：分析二次函数的图象Oxy引例3：分析二次函数的图象Oxy引例3：分析二次函数的图象1.在区间_______上,f(x)的值随着x的增大而_____．2.在区间_______上,f(x)的值随着x的增大而_____．

f(x)=x2(-∞,0](0,+∞)增大减小从上面的观察分析，能得出什么结论？归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxy二、归纳探索，形成概念如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxy如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxy如何用x与f(x)来描述上升的图象？x2x1Oxyx1＜x2如何用x与f(x)来描述上升的图象？x2x1Oxyy＝f(x)x1＜x2如何用x与f(x)来描述上升的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)x1＜x2如何用x与f(x)来描述上升的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)x1＜x2如何用x与f(x)来描述上升的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)x1＜x2

f(x1)＜f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)x1＜x2

f(x1)＜f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取x1,x2x1＜x2

f(x1)＜f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取x1,x2x1＜x2

f(x1)＜f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取x1,x2函数f(x)在给定区间上为增函数.x1＜x2

f(x1)＜f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取x1,x2如何用x与f(x)来描述下降的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)函数f(x)在给定区间上为增函数.x1＜x2

f(x1)＜f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取x1,x2如何用x与f(x)来描述下降的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)函数f(x)在给定区间上为增函数.在给定区间上任取x1,x2x1＜x2

f(x1)＜f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取x1,x2如何用x与f(x)来描述下降的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)函数f(x)在给定区间上为增函数.x1＜x2

f(x1)＞f(x2)在给定区间上任取x1,x2x1＜x2

f(x1)＜f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取x1,x2如何用x与f(x)来描述下降的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)函数f(x)在给定区间上为增函数.函数f(x)在给定区间上为减函数.x1＜x2

f(x1)＞f(x2)在给定区间上任取x1,x21．增（减）函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域

I

内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2

，当x1<x2

时，都有f(x1)<f(x2)（），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）．2．单调性与单调区间

如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。注意：（1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;（2）x1,x2取值具有任意性。3．证明函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①取值：任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差：f(x1)－f(x2)；③变形：（通常是因式分解和配方）；④定号：（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论：（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．问题1

函数f(x)＝x2.在(－∞,0]上是减函数，在[0,+∞)上是增函数.当x≤0时，f(x)≥f(0)，

x≥0时，f(x)≥f(0).从而x∈R，都有f(x)≥f(0).因此x＝0时，f(0)是函数值中的最小值.问题2

函数f(x)＝－x2.同理可知x∈R，都有f(x)≤f(0).即x＝0时，f(0)是函数值中的最大值.函数最大值概念：二、讲授新课函数最大值概念：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M，满足：二、讲授新课函数最大值概念：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M，满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M.二、讲授新课函数最大值概念：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M，满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.二、讲授新课函数最大值概念：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M，满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值.记作：y|max=M或f(x)max=M二、讲授新课最大值的几何意义：函数图像上最高点的纵坐标。类比最大值的定义，请你给出最小值的定义。函数最小值概念：二、讲授新课函数最小值概念：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M，满足：二、讲授新课函数最小值概念：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M，满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.二、讲授新课函数最小值概念：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M，满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.二、讲授新课函数最小值概念：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M，满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值.记作：y|min=M或f(x)min=M二、讲授新课yx20123-1-2-313456f(-3)=9y=x29410149-1x-3-20123实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),……f(-x)f(x)表（1）填写表（1），你发现了什么？f(-1)=1f(-2)=4x-xy=x2=f(1)=f(2)=f(3)=这时我们称函数y=x2为偶函数。1.偶函数定义：

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。

例如：函数y=x2+1，都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.如果一个函数是偶函数,则它的图象关于y轴对称。yxoy=x2偶函数的图像特征反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数。,是偶函数吗？问题：0x123-1-2-3123456y不是。性质：偶函数的定义域关于原点对称解：性质：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。xoy=x2例：3210-1-2-3-1x-3-20123f(-3)=-3=实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数。0xy123-1-2-1123-2-3……f(-x)-f(x)f(x)=x填写表（3），你发现了什么？f(-1)=-1f(-2)=-2=x-x表（3）-f(1)=-f(2)-f(3)=f(x)=x0xy123-1-2-1123-2-3填写表（4），你发现了什么？f(-3)==-f(3)f(-1)=-1=-f(1)f(-2)==-f(2)……f(-x)=-f(x)f(-x)=-1/x=-f(x),这时我们称函数y=1/x为奇函数。13210-2-3x-1-1表（4）实际上，对于非零实数集内任意的一个x,都有2.奇函数定义：

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－

f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。

奇函数的图像特征y=x3xyO如果一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称。反过来如果一个函数的图象关于原点对称，则这个函数为奇函数。问题：

是奇函数吗？-30xy123-1-2-1123-2-3解：不是。性质：奇函数的定义域关