理论力学课件

1第八章点的合成运动2§8–1点的合成运动的概念

§8–2点的速度合成定理

§8–3牵连运动为平动时点的加速度合成定理

§8–4牵连运动为转动时点的加速度合成定理习题课第八章点的合成运动3§8-1点的合成运动的概念

一．坐标系：

1.静坐标系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系,简称静系。

2.动坐标系：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系，称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。

在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有什么不同的结果呢？运动学4三．三种运动及三种速度与三种加速度。

１．绝对运动：动点对静系的运动。

２．相对运动：动点对动系的运动。例如：人在行驶的汽车里走动。

３．牵连运动：动系相对于静系的运动例如：行驶的汽车相对于地面的运动。

牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时该点叫牵连点。点的运动刚体的运动运动学二．动点：所研究的点（运动着的点）。

绝对运动绝对速度

绝对加速度相对运动相对速度

相对加速度牵连运动牵连速度

牵连加速度5下面举例说明以上各概念：

四．动点的选择原则：一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有运动的点。

五．动系的选择原则：动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或者能直接看出的。运动学动点：动系：静系：AB杆上A点固结于凸轮Ｏ'上固结在地面上6运动学相对运动：牵连运动：曲线（圆弧）直线平动绝对运动：直线7运动学绝对速度：相对速度：牵连速度：8绝对加速度：相对加速度：牵连加速度：运动学9动点：A（在圆盘上)动系：O'A摆杆静系：机架绝对运动：曲线（圆周）相对运动：直线牵连运动：定轴转动运动学动点：A1（在O'A1

摆杆上)动系：圆盘静系：机架绝对运动：曲线（圆弧）相对运动：曲线牵连运动：定轴转动10

若动点A在偏心轮上时动点：A(在AB杆上)

A（在偏心轮上）动系：偏心轮AB杆静系：地面地面绝对运动：直线圆周（红色虚线）相对运动：圆周（曲线）曲线（未知）牵连运动：定轴转动平动[注]要指明动点应在哪个物体上，但不能选在动系上。运动学11§８－２点的速度合成定理

速度合成定理将建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。＝＋运动学当t

t+△t

AB

A'B'

M

M'也可看成M

M１

M´MM'为绝对轨迹MM'为绝对位移M1M'为相对轨迹M1M'为相对位移将上式两边同除以后，时的极限，得取一．证明12运动学13说明：

va—动点的绝对速度；

vr—动点的相对速度；

ve—动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度

I)动系作平动时，动系上各点速度都相等。

II)动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。

即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。运动学14

点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。二．应用举例运动学[例1]

桥式吊车已知：小车水平运行，速度为v平，物块A相对小车垂直上升的速度为v

。求物块A的运行速度。15运动学作出速度平四边形如图示，则物块Ａ的速度大小和方向为解：选取动点:物块A

动系:小车

静系:地面相对运动:直线;相对速度vr=v

方向

牵连运动:平动;牵连速度ve=v平方向绝对运动:曲线;绝对速度va

的大小,方向待求由速度合成定理：16解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动系，基座为静系。 绝对速度va

=r

方向

OA

相对速度vr

=?方向//O1B

牵连速度ve

=?方向O1B（）运动学[例2]

曲柄摆杆机构已知：OA=r,

,OO1=l图示瞬时OA

OO1

求：摆杆O1B角速度

1由速度合成定理va=vr+

ve

作出速度平行四边形如图示。17由速度合成定理va=vr+

ve

，作出速度平行四边形如图示。解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘，

静系固结于基座。绝对速度va=?待求，方向//AB

相对速度vr

=?未知，方向CA

牵连速度ve=OA

=2e,方向

OA（翻页请看动画）

运动学[例3]

圆盘凸轮机构已知：OC＝e,

,

（匀角速度）图示瞬时,OC

CA

且

O,A,B三点共线。求：从动杆AB的速度。18运动学19由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为：

选取动点，动系和静系。

三种运动的分析。

三种速度的分析。

根据速度合成定理作出速度平行四边形。

根据速度平行四边形，求出未知量。恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。运动学20动点、动系和静系的选择原则

动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动

动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。运动学21

分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。运动学[例４]

已知:凸轮半径r,图示时杆OA靠在凸轮上。求：杆OA的角速度。22解:取凸轮上C点为动点,

动系固结于OA杆上,

静系固结于基座。绝对运动:直线运动,绝对速度:相对运动:直线运动,相对速度:牵连运动:定轴转动,牵连速度:

如图示。根据速度合成定理做出速度平行四边形（）运动学23§8-3牵连运动为平动时点的加速度合成定理由于牵连运动为平动，故由速度合成定理对t求导：运动学设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O'x'y'z'的曲线AB运动,而曲线AB同时又随同动系O'x'y'z'相对静系Oxyz平动。24(其中 为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，所以 ）运动学—牵连运动为平动时点的加速度合成定理即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。∴一般式可写为：25解：取杆上的A点为动点，

动系与凸轮固连。运动学[例1]

已知：凸轮半径求：j=60o时,顶杆AB的加速度。请看动画26绝对速度va=?,方向

AB

；绝对加速度aa=?,方向

AB，待求。相对速度vr

=?,方向

CA;相对加速度art=?方向

CA ,方向沿CA指向C牵连速度ve=v0,方向→;牵连加速度ae=a0,方向→运动学由速度合成定理做出速度平行四边形,如图示。

27运动学因牵连运动为平动，故有作加速度矢量图如图示，将上式投影到法线上，得整理得[注]加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程的投影关系不同

n28§8-4牵连运动为转动时点的加速度合成定理上一节我们证明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例。运动学设一圆盘以匀角速度

绕定轴Ｏ顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以大小不变的速度vr

沿槽作圆周运动，那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？29相对运动为匀速圆周运动，（方向如图）由速度合成定理可得出运动学选点M为动点，动系固结与圆盘上，则M点的牵连运动为匀速转动（方向如图）即绝对运动也为匀速圆周运动，所以方向指向圆心Ｏ点30运动学

分析上式： 还多出一项2vr。可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。那么他们之间的关系是什么呢？2vr又是怎样出现的呢？它是什么呢？下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。31运动学三种速度分析牵连速度相对速度绝对速度

t

瞬时在位置Ｉt+Dt瞬时在位置II

可以看出，经过Dt时间间隔，牵连速度和相对速度的大小和方向都变化了。

设有已知杆OA在图示平面内以匀

绕轴O转动，套筒M（可视为点M）沿直杆作变速运动。取套筒M为动点，动系固结于杆OA上，静系固结于机架。32运动学其中--在Dt内相对速度大小的改变量，它与牵连转动无关。 --在Dt内由于牵连转动而引起的相对速度方向的改变 量，与牵连转动的

的大小有关

。

Dt时间间隔内的速度变化分析相对速度：由 作速度矢量三角形，在矢量上截取长度后，分解为和

牵连速度：由 作速度矢量三角形，在矢量上截取等于长后，将分解为和，33运动学其中:

—表示Dt内由于牵连转动而引起的牵连速度方向的改变量，与相对运动无关。

—表示Dt内动点的牵连速度，由于相对运动而引起的大小改变量，与相对速度有关。加速度分析根据加速度定义上式中各项的物理意义如下：第一项大小：34运动学

方向：Dt

0时，D

0,其方向沿着直杆指向A点。因此，第一项正是t

瞬时动点的牵连加速度。第三项大小：为对应于大小改变

方向：总是沿直杆。因此，该项恰是ｔ瞬时动点的相对加速度。第二项大小：该项为由于相对运动的存在而引起牵连速度的大小改变的加速度。第四项大小：这一项表明由于牵连转动而引起相对速度方向改变的加速度。35运动学所以，当牵连运动为转动时，加速度合成定理为

当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。一般式

一般情况下

科氏加速度的计算可以用矢积表示

由于第二项和第四项所表示的加速度分量的大小，方向都相同，可以合并为一项，用表示，称为科里奥利加速度，简称科氏加速度。36解:动点:顶杆上A点；动系:凸轮;静系:地面。绝对运动:直线;

绝对速度:va=?待求,方向//AB;

相对运动:曲线;相对速度:vr=?方向

n;

牵连运动:定轴转动;

牵连速度:ve=r，方向

OA，。运动学方向：按右手法则确定。[例2]

已知：凸轮机构以匀

绕O轴转动，图示瞬时OA=r

，A点曲率半径

,

已知。求：该瞬时顶杆AB的速度和加速度。37运动学根据速度合成定理做出速度平行四边形38运动学由牵连运动为转动时的加速度合成定理作出加速度矢量图如图示向n轴投影：39DABC解：点M1的科氏加速度 垂直板面向里。

运动学

[例3]

矩形板ABCD以匀角速度

绕固定轴z转动，点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为和，计算点M1、

M2的科氏加速度大小,并图示方向。点M2的科氏加速度40解：根据做出速度平行四边形方向：与相同。运动学[例4]

曲柄摆杆机构已知：O1A＝r,

,

,

1;取O1A杆上A点为动点，动系固结O2B上，试计算动点A的科氏加速度。41运动学第八章点的合成运动习题课一．概念及公式

1.一点、二系、三运动点的绝对运动为点的相对运动与牵连运动的合成．

2.速度合成定理

3.加速度合成定理牵连运动为平动时牵连运动为转动时42运动学二．解题步骤

1.选择动点、动系、静系。

2.分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。

3.作速度分析,画出速度平行四边形,求出有关未知量(速度,

角速度）。

4.作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、角加速度未知量。43运动学

二．解题技巧

1.恰当地选择动点.动系和静系,应满足选择原则.，具体地有：

两个不相关的动点，求二者的相对速度。根据题意,选择其中之一为动点,动系为固结于另一点的平动坐标系。

运动刚体上有一动点，点作复杂运动。该点取为动点，动系固结于运动刚体上。

机构传动,传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触点,

相对于另一个刚体运动。导杆滑块机构：典型方法是动系固结于导杆，取滑块为动点。凸轮挺杆机构：典型方法是动系固结与凸轮，取挺杆上与凸轮接触点为动点。

44运动学

特殊问题,特点是相接触两个物体的接触点位置都随时间而变化.此时,这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则的非接触点为动点。2.速度问题,一般采用几何法求解简便,即作出速度平行四边形；加速度问题,往往超过三个矢量,一般采用解析（投影）法求解，投影轴的选取依解题简便的要求而定。45

四．注意问题

1.牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。

2.牵连转动时作加速度分析不要丢掉，正确分析和计算。

3.加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程的投影式不同。

4.圆周运动时，非圆周运动时，(为曲率半径)运动学r46已知:OA＝l,=45o

时，w,e;

求：小车的速度与加速度．

解：动点：OA杆上A点;动系：固结在滑杆上;静系：固结在机架上。

绝对运动：圆周运动，相对运动：直线运动，牵连运动：平动；[例1]曲柄滑杆机构请看动画运动学47小车的速度：

根据速度合成定理 做出速度平行四边形,如图示投至x轴：，方向如图示小车的加速度：根据牵连平动的加速度合成定理做出速度矢量图如图示。运动学48[例2]摇杆滑道机构解：动点:销子D(BC上);动系:固结于OA；静系:固结于机架。

绝对运动：直线运动， 相对运动：直线运动，，沿OA线 牵连运动：定轴转动，（）已知

求:OA杆的

,

。根据速度合成定理做出速度平行四边形,如图示。请看动画运动学49投至

轴：（）根据牵连转动的加速度合成定理运动学50请看动画[例3]曲柄滑块机构解：动点:O1A上A点;动系:固结于BCD上,静系固结于机架上。

绝对运动：圆周运动;

相对运动：直线运动;

牵连运动：平动;

，水平方向运动学已知：

h;

图示瞬时;

求:该瞬时杆的w2。51

根据 做出速度平行四边形再选动点：BCD上F点动系：固结于O2E上，静系固结于机架上绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，牵连运动：定轴转动，根据 做出速度平行四边形）（运动学52解:取凸轮上C点为动点，动系固结于OA杆上，静系固结于地面上．

绝对运动:直线运动，相对运动:直线运动，牵连运动:定轴转动，已知：凸轮半径为R，图示瞬时O、C在一条铅直线上;已知;求:该瞬时OA杆的角速度和角加速度。分析:由于接触点在两个物体上的位置均是变化的，因此不宜选接触点为动点。[例4]凸轮机构方向请看动画运动学53）(做出速度平行四边形,知根据根据做出加速度矢量图投至

轴：转向由上式符号决定，>0则，<0则运动学54（请看动画）[例5]刨床机构已知:主动轮O转速n=30r/minOA=150mm,图示瞬时,OA

OO1求:O1D杆的

1、

1

和滑块B的。运动学55运动学其中）(解：动点：轮O上A点动系：O1D,静系：机架根据做出速度平行四边形。56根据做出加速度矢量图投至方向：）(运动学再选动点:滑块B;动系:O1D;静系:机架。57根据做出速度矢量图。

投至

x轴：根据做出加速度矢量图运动学其中58[例6]套筒滑道机构图示瞬时,h已知,求:套筒O的

，

。解：方法1：

A点作直线运动代入图示瞬时的已知量，得（）（）请看动画运动学59对比两种方法（）投至方向：（）

方法2：动点:CD上A点，

动系:套筒O，静系:机架

运动学其中60运动学第八章结束6162

平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。引言研究方法：几何法，解析法。例：起重机的挂钩。力系分为：平面力系、空间力系①平面汇交力系②平面力偶系③平面平行力系④平面一般力系平面力系平面特殊力系平面任意力系63§2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法

§2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法

§2-3平面力对点之矩的概念及计算

§2-4平面力偶理论第二章平面汇交力系与平面力偶系64

§2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法一、合成的几何法2.任意个共点力的合成为力多边形1.两个共点力的合成合力方向由正弦定理：由余弦定理： 由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。F2F3F4F1R65

结论：即：

即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。二、平面汇交力系平衡的几何条件在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封闭或力系中各力的矢量和等于零F2F3F4F1F5R66[例]

已知：P=10kN,BC=AC=2m，AC与BC相互垂直。求：在P的作用下AC、BC所受力的大小。①选铰链C为研究对象②取分离体画受力图解：∵BC杆与AC杆是二力杆,这时FBC与FAC和外力

P构成一平衡力系。由平衡的几何条件，力多边形封闭，故ACPBPFBCFACPFBCFAC由作用力和反作用力的关系，AC、BC杆受力等于。67此题也可用力多边形方法用比例尺去量。几何法解题步骤：①选研究对象；②作出受力图；③作力多边形，选择适当的比例尺；④求出未知数几何法解题不足：①精度不够，误差大②作图要求精度高；③不能表达各个量之间的函数关系。

下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法：

解析法。

68§2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法一、力在坐标轴上的投影

力投影

X=Fx=Fcosa

：

Y=Fy=Fsina=Fcosb投影力69二、合力投影定理由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。即：70合力的大小：方向：

作用点：∴为该力系的汇交点三、平面汇交力系的平衡方程

从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。 即：为平衡的充要条件，也叫平衡方程71[例]

铆接薄板在孔心A、B和C处受三力作用，如图所示F1=100N，沿铅直方向；F3=50N，沿水平方向，并通过点A；F2=50N，力的作用线也通过A，尺寸如图。求此力系的合力。BF3CA60㎜80㎜F2F1解：如图建立坐标系，则xy所以72③列平衡方程代入下式解得：ACPB①选铰链C为研究对象②取分离体画受力图④解平衡方程[例]

已知：P=10kN,BC=AC=2m，AC与BC相互垂直。求：在P的作用下AC、BC所受力的大小。PFBCFACxy由上一式得：73由下一式解得：ACPB另一种列方程的方法PFBCFACxy（坐标轴的方向变化可以使计算变得简单）由上一式解得：741、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。解题技巧及说明：3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。2、一般对于受多个力作用的物体，无论角度不特殊

或特殊，都用解析法。755、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。76①

是代数量。当F=0或d=0时，=0。③

是影响转动的独立因素。⑤=2⊿AOB=Fd,2倍⊿形面积。力对物体可以产生移动效应--取决于力的大小、方向

转动效应--取决于力矩的大小、方向§2-3平面力对点之矩的概念及计算一、力对点之矩（力矩）-+说明：②F↑,d↑转动效应明显。④单位Nm，工程单位kgfm。77即如果以表示由点O到点B的矢量，由矢量积定义，的大小就是三角形OAB的面积的两倍。由此可见，此矢量积的模就等于力F对点O的矩的大小，其指向与力矩的转向符合右手法则。78

定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和 即：二、合力矩定理[证]OArF1F2FiFnR为平面汇交力系的合力，即：为矩心O到汇交点A的矢径，对上式两端作矢积，有以由于每个力都有与点O共面，上式各矢积平行，因此上式矢量和可按代数和计算。而各矢量积的大小就是力对点O之矩，于是证得合力矩定理。79三、力矩与合力矩的解析表达式如图所示，已知力F，作用点A（x，y）及其夹角。求力F对坐标原点O之矩，可按合力矩定理，通过其分力Fx与Fy对点O之矩而得到，即或上式为平面内力矩的解析表达式，X、Y为力F在x、y轴的投影（注意正负号）。对平面汇交力系合力R对坐标原点之矩的解析表达式为80[例]

已知：如图F、Q、l,求：和

解：①用力对点之矩定义

②应用合力矩定理

81①两个同向平行力的合力

大小：R=Q+P

方向：平行于Q、P且指向一致 作用点：C处 确定C点，由合力距定理一、力偶与力偶矩力偶：两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。§2-4

平面力偶理论82②两个反向平行力的合力

大小：R=Q-P

方向：平行于Q、P且与较大的相同 作用点：C处

（推导同上）性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。力偶无合力R=F'-F=083说明：①

m是代数量，有+、-；②F、

d都不独立，只有力偶矩

是独立量；③m的值m=±2⊿ABC

；④单位：Nm由于O点是任取的+-d84性质3：平面力偶等效定理作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。[证]设物体的某一平面上作用一力偶(F,F')现沿力偶臂AB方向加一对平衡力(Q,Q'),Q',F'合成R'，再将Q,F合成R，得到新力偶(R,R'),将R,R'移到A',B'点，则(R,R')，取代了原力偶(F，F')并与原力偶等效。85②只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。由上述证明可得下列两个推论：比较(F,F')和(R,R')可得m(F,F')=2△ABD=m(R,R')=2△ABC即△ABD=△ABC，且它们转向相同。①力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。86平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系设有两个力偶 dd87

平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和等于零。

结论:

平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和。88[例]

在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和A

、B端水平反力?解:各力偶的合力偶距为由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。8990第九章刚体的平面运动91§9–1刚体平面运动的概述

§9–2平面运动分解为平动和转动·

刚体的平面运动方程习题课

§9–3平面图形内各点的速度

§9–4平面图形内各点的加速度·

加速度瞬心的概念

第九章刚体的平面运动92第九章刚体平面运动习题课一．概念与内容

1.刚体平面运动的定义刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变．

2.刚体平面运动的简化可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平面内的运动代替刚体的整体运动．

3.刚体平面运动的分解分解为

4.基点

可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点．随基点的平动（平动规律与基点的选择有关）绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）运动学93运动学5.瞬心（速度瞬心）

①任一瞬时,平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的点

②瞬心位置随时间改变．

③每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动．这种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同．

④

=0,瞬心位于无穷远处,各点速度相同,刚体作瞬时平动,

瞬时平动与平动不同．6.刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例．7.求平面图形上任一点速度的方法

①基点法：②速度投影法：③速度瞬心法： 其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例．94二．解题步骤和要点

1.根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动形式．注意每一次的研究对象只是一个刚体．

2.对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速度(图形角速度)问题的方法,用基点法求加速度(图形角加速度)

3.作速度分析，求出待求量．

(基点法:恰当选取基点，作速度平行四边形；速度投影法:不能求出图形

;

速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键．）运动学95（）运动学

[例1]

半径为R的车轮沿直线作纯滚动,已知轮心O点的速度求车轮的角速度w．解：轮O作平面运动，P为速度瞬心，96运动学[例2]

曲柄滚轮机构滚子半径OA=R=15cm,n=60rpm求：当

=60º时(OA

AB),滚轮的

Ｂ。翻页请看动画

97请看动画98解：OA定轴转动,AB杆和轮B作平面运动研究AB：（）P１为其速度瞬心运动学分析:要想求出滚轮的

Ｂ，先要求出vB,

）(研究轮B：P2为其速度瞬心

P2P1vBvAwB99[例3]

曲柄肘杆压床机构已知：OA=0.15m,n=300rpm,AB=0.76m,

BC=BD=0.53m.图示位置时,AB水平求该位置时的、及运动学翻页请看动画100请看动画101[例3]

曲柄肘杆压床机构已知:OA=0.15m,n=300rpm,AB=0.76m,

BC=BD=0.53m.图示位置时,AB水平.求该位置时的，及解：OA,BC作定轴转动,

AB,BD均作平面运动根据题意：（）运动学研究BD,P2为其速度瞬心,

BDP2为等边三角形DP2=BP2=BD（）vAvBvDP1P2研究AB,P１为其速度瞬心102[例4]

行星齿轮机构运动学请看动画103解：OA定轴转动;轮A作平面运动,瞬心P点）(运动学[例4]

行星齿轮机构已知:R,r,

o

轮A作纯滚动，求104[例5]

平面机构中,楔块M:

=30º,v=12cm/s;盘:r=4cm,与楔块间无滑动．求圆盘的

及轴O的速度和B点速度．运动学请看动画105解：轴O,杆OC,楔块M均作平动,

圆盘作平面运动，P为速度瞬心运动学）([例5]

平面机构中,楔块M:q

=30º,v=12cm/s;盘:r=4cm,与楔块间无滑动．求圆盘的

及轴O的速度和B点速度．106

①比较[例4]和[例5]可以看出,不能认为圆轮只滚不滑时,接触点就是瞬心,只有在接触面是固定面时,圆轮上接触点才是速度瞬心

②每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和角速度,并且瞬心在刚体或其扩大部分上,不能认为瞬心在其他刚体上.例如,[例3]中AB的瞬心在P1点,BD的瞬心在P2

点,而且P1也不是CB杆上的点运动学107解:O1A、O2B定轴转动;ABD作平面运动运动学[例6]

已知：O1A=0.1m,等角速度

1=2rad/s,O1O2=0.05m,AD=0.05m,在某瞬时

=30º

.

求该瞬时D的速度和三角板ABD的角速度wABD．P393-9-8AO1O2BDw1

vAvBPwABDvD由A、B两点速度方向可得ABD的瞬心P108解:OA定轴转动;AB,BC均作平面运动,

滑块B和C均作平动

求对AB杆应用速度投影定理：对BC杆应用速度投影定理：运动学[例7]

已知：OA=r,以等

o转动,在某瞬时

=60º

AB

BC,AB=6r,BC=

.P397-9-22

求该瞬时滑块C的速度．109运动学结束110第七章刚体的简单运动111§7–1刚体的平行移动

§7–2刚体的定轴转动

§7–3定轴转动刚体内各点的速度与加速度

§7–4绕定轴转动刚体的传动问题

§7–5角速度与角速度的矢量表示点的速度与加速度的矢积表示习题课第七章刚体的简单运动112第七章刚体的简单运动[例]

由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的运动学

是指刚体的平行移动和转动§7-1刚体的平行移动(平动)简单运动113OB作定轴转动CD作平动AB、凸轮均作平动运动学位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。114运动学一.刚体平动的定义:

刚体在运动中,其上任意两点的连线始终保持方向不变。由A,B两点的运动方程式:而[例]AB在运动中方向和大小始终不变

它的轨迹可以是直线可以是曲线115运动学得出结论:即二.刚体平动的特点:

平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状,速度,加速度都一样。

即:平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。116运动学§7-2刚体的定轴转动一.刚体定轴转动的特征及其简化特点:有一条不变的线称为转轴,其余各点都在垂直于转轴的平面上做圆周运动。二.转角和转动方程

---转角,单位弧度(rad)

=f(t)---为转动方程方向规定:从z轴正向看去,

逆时针为正顺时针为负117运动学三.定轴转动的角速度和角加速度

1.角速度：工程中常用单位：

n=转/分(r/min)则n与w的关系为:单位rad/s若已知转动方程1182.角加速度:

设当t时刻为

,t+△t时刻为

+△

与

方向一致为加速转动,

与

方向相反为减速转动

3.匀速转动和匀变速转动当

=常数,为匀速转动；当

=常数,为匀变速转动。常用公式与点的运动相类似。运动学单位:rad/s2(代数量)119

,

对整个刚体而言(各点都一样)；

v,a

对刚体中某个点而言(各点不一样)。运动学(即角量与线量的关系)§7-3转动刚体内各点的速度和加速度一.线速度V和角速度

之间的关系120运动学二.角加速度

与an

,a

的关系ana

a

121运动学结论:①v方向与

相同时为正,

R,与R成正比。②各点的全加速度方向与各点转动半径夹角

都一致,且小于90o,

在同一瞬间的速度和加速度的分布图为:各点速度分布图各点加速度分布图122运动学

我们常见到在工程中,用一系列互相啮合的齿轮来实现变速,它们变速的基本原理是什么呢?§7-4绕定轴转动刚体的传动问题一.齿轮传动因为是做纯滚动(即没有相对滑动)定义齿轮传动比1.内啮合123运动学2.外啮合124运动学由于转速n与w有如下关系：显然当:时,,为升速转动；时,,为降速转动。125运动学三.链轮系:设有：A,B,C,D,E,F,G,H

轮系,则总传动比为：

其中m代表外啮合的个数；负号表示最后一个轮转向与第一个轮转向相反。二.皮带轮系传动(而不是方向不同)皮带传动126运动学§7-5角速度和角加速度的矢量表示点的速度和加速度的矢量表示一.角速度和角加速度的矢量表示按右手定则规定，的方向。127二刚体内任一点的线速度和线加速度的矢积表示运动学128一.基本概念和基本运动规律及基本公式1.基本概念：平动,定轴转动(刚体)。2.基本运动规律与公式:第七章刚体的基本运动习题课运动学129

刚体定轴转动转动方程:角速度:角加速度:匀速转动:匀变速运动:运动学130二.解题步骤及注意问题1.解题步骤:①弄清题意,明确已知条件和所求的问题。②选好坐标系：直角坐标法，自然法。根据已知条件进行微分，或积分运算。用初始条件定积分常数。对常见的特殊运动，可直接应用公式计算。运动学２．注意问题：①几何关系和运动方向。②求轨迹方程时要消去参数“t”。坐标系（参考系）的选择。

131〔例1〕试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的速度和加速度。运动学vNaNvMaMvAaAvMvN132〔例2〕已知：重物A的（常数）初瞬时速度方向如图示。求：①滑轮3s内的转数；②重物B在3s内的行程；③重物B在ｔ＝3s时的速度；④滑轮边上C点在初瞬时的加速度；⑤滑轮边上C点在ｔ＝3s时的加速度。

运动学133）常数（（）解：①因为绳子不可以伸长，所以有

运动学②）③（134④t=0时，滑轮边上C点在初瞬时的加速度⑤t=3s时滑轮边上C点的加速度，运动学135[例3]

已知：圆轮O由静止开始作等加速转动，OM＝0.4m，在某瞬时测得求：①转动方程;

②t＝5s时，Ｍ点的速度和向心加速度的大小。解：①运动学M136②

当ｔ＝5s时，运动学M137运动学第七章结束138第三章平面任意力系139静力学第三章平面任意力系平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫∼。[例]中心内容：力系简化+平衡方程140第三章平面一般力系§3–1力线平移定理

§3–2平面一般力系向一点简化

§3–3平面一般力系的简化结果•合力矩定理

§3–4平面一般力系的平衡条件和平衡方程

§3–5平面平行力系的平衡方程

§3–6静定与静不定问题的概念•物体系统的平衡

§3–7平面简单桁架的内力分析平面一般力系习题课141静力学§3-1力线平移定理力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于原来的力对新作用点B的矩。力BdAFBdAF’mBdAFF’F”F=F’=F”力系142静力学①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力+力偶（例断丝锥）②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d

③力线平移定理是力系简化的理论基础。说明：143静力学§3-2平面一般力系向一点简化一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系

（未知力系）

（已知力系）汇交力系力，

R'(主矢)，(作用在简化中心)

力偶系力偶，MO

(主矩)，(作用在该平面上)

O为任选点OF1F’3F’2F3F2F’1xym1m2m3OxyR’Mo144

大小：

主矢

方向：

简化中心(与简化中心位置无关)[因主矢等于各力的矢量和]静力学（移动效应）145静力学

大小：主矩MO

方向：方向规定+—

简化中心：(与简化中心有关)

（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）（转动效应）固定端（插入端）约束在工程中常见的车刀雨搭146静力学固定端（插入端）约束说明

①认为Fi这群力在同一平面内;②将Fi向A点简化得一力和一力偶;③RA方向不定可用正交分力YA,XA表示;④YA,XA,MA为固定端约束反力;⑤YA,XA限制物体平动,

MA为限制转动。AFiARAMAAXAMAYA147静力学§3-3平面一般力系的简化结果

合力矩定理简化结果：主矢

，主矩MO

，下面分别讨论。

②

=0,MO≠0

即简化结果为一合力偶,MO=M此时刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。①

=0，MO

=0，则力系平衡,下节专门讨论。

③

≠0,MO

=0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，简化结果就是合力（这个力系的合力）,。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）

148静力学④≠0,MO

≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简

化为一个合力。合力的大小等于原力系的主矢合力的作用线位置OO’R’MOOO’R’OO’RddRR”149静力学结论：

平面任意力系的简化结果

：①合力偶MO

；②合力;③平衡

合力矩定理：由于主矩而合力对O点的矩

———合力矩定理由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。150静力学[例1]已知平面任意力系如图，，，求①力系向O点简化结果，②合力的大小和作用线方程xy(1,2)(2,-1)(3,1)F1F2F3[解]力系向O点简化的结果为主矢主矩合力大小为设合力与x轴交点为(x,0),合力与y轴交点为(0,y),则R151静力学§3-4平面任意力系的平衡条件与平衡方程

由于=0为力平衡

MO=0为力偶也平衡 所以平面任意力系平衡的充要条件为：

力系的主矢和主矩MO都等于零，即：152静力学②二矩式条件：x轴不AB

连线③三矩式条件：A,B,C不在同一直线上上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。①一矩式153静力学

[例]已知：P,a,求：A、B两点的支座反力？解：①选AB梁研究②画受力图（以后可把支反力直接画在整体结构的原图上）PAB2aaYAXANB154设有F1,F2…Fn

各平行力系，静力学§3-5平面平行力系的平衡方程平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫∼。x1xnx2AnA2A1F2F1FnxyOROMO向O点简化得：合力作用线的位置为：平衡的充要条件为主矢=0主矩MO

=0155静力学所以平面平行力系的平衡方程为：

二矩式条件：AB连线不能平行于力的作用线

一矩式实质上是各力在x轴上的投影恒等于零，即 恒成立，所以只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。x1xnx2AnA2A1F2F1FnxyOROMO156静力学分布载荷q(x)的合力大小及作用线q(x)xyOdxxabRxROqlRl/2ql2l/3R157静力学[例]已知：P=20kN,m=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m

求：A、B的支反力。解：研究AB梁解得：158[例]

已知：塔式起重机P=700kN,W=200kN(最大起重量)，尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？②当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？ 159限制条件：解得解：⑴

①首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小Q为：②空载时，W=0由限制条件为：解得因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系：160⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA,NB为多少由平面平行力系的平衡方程可得：解得：161第十二章动量矩定理162§13–1质点的动量矩

§13–2动量矩定理

§13–3质点系动量矩的计算

§13–4质点系动量矩的应用刚体定轴转动微分方程

§13–5质点系相对于质心的动量矩定理·

刚体平面运动微分方程

§13–6习题课第十三章动量矩定理163动力学质点质点系动量定理：动量的改变—

外力（外力系主矢）对于定轴转动的物体，若质心为转轴上一点，vC=0，则其动量恒等于零，质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。§13-1质点的动量矩力矩是度量力对物体转动效应的物理量。力对点O的矩：矢量力对轴z

的矩：代数量质心运动定理：质心的运动—

外力（外力系主矢）164质点对点O的动量矩与对轴z的动量矩之间的关系：正负号规定与力对轴矩的规定相同对着轴看：顺时针为负逆时针为正动力学kg·ｍ2/s。动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。与力对点的矩和力对轴的矩计算方法相同，定义质点对点O的动量矩：矢量质点对轴z

的动量矩：代数量165§13-2动量矩定理一．质点的动量矩定理两边叉乘矢径,有左边可写成质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。

动力学故：166将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得

上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。动力学称为质点的动量矩守恒。若则常矢量167

质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。二．质点系的动量矩定理左边交换求和与导数运算的顺序，而一质点系对固定点的动量矩定理动力学对质点系，有对质点Mi：将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得168

上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。质点系的动量矩守恒

①当时，常矢量。②当时，常量。动力学

定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。169一．有限个质点构成的质点系的动量矩质系对点O动量矩：质系对轴z动量矩：动力学§13-3质点系动量矩的计算二、刚体动量矩计算：1．平动刚体平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。1702．定轴转动刚体动力学xyzvimiOri

定义：若刚体的质量是连续分布，则刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。转动惯量恒为正值，国际单位制中单位kg·m2。定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。1713．平面运动刚体平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。动力学172动力学解：[例1]

滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1

滑轮B：m2，R2，J2

；物体C：m3，v3

求系统对O轴的动量矩。1731．定义：若刚体的质量是连续分布，则刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。转动惯量恒为正值，国际单位制中单位kg·m2。动力学三、计算刚体对轴的转动惯量：174

（１）．积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）

[例2]

匀质细直杆长为l,质量为m。

求：①对z轴的转动惯量；②对z'轴的转动惯量。动力学2．转动惯量的计算解：175（2）.回转半径由所定义的长度称为刚体对

z轴的回转半径。

对于均质刚体，仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。

在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或者标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质刚体的JZ和

Z，以供参考。动力学176（3）.平行移轴定理同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。

刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。

动力学177

证明：设质量为m的刚体，质心为C，动力学例如，对于例1中均质细杆z'轴的转动惯量为刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。178当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量,然后再加起来就是整个物体的转动惯量。若物体有空心部分,要把此部分的转动惯量视为负值来处理。动力学（4）．计算转动惯量的组合法解：[例3]

钟摆：均质直杆m1,l

；均质圆盘：m2,R。求JO

。179动力学解：[例4]

已知某物体的质量为m，对A点的转动惯量是JA

；质心为C。求：物体对O点的转动惯量JO

。ACO平行移轴定理只能对质心使用180动力学解：[例5]

已知:无重杆OA长为l，均质圆盘质量为m，半径为R，

0＝r。求：在图示三种情况下圆盘对O点的动量矩

。（2）圆盘相对于地面的角速度为OA

O

rOA

OOA

O

r（1）圆盘A绕O轴转动所以圆盘是平动的，质心速度如图vA181动力学（3）圆盘相对于地面的角速度为OA

O

r所以圆盘是做刚体平面运动的，质心速度如图vA刚体平面运动的动量矩要分随质心平动和绕质心转动两部分计算，182动力学解：轮子的运动是刚体平面运动[例6]

已知:偏心轮质量为m，轴心为A，半径为R，质心为C，AC＝e，对A的转动惯量为JA，

A