高考数学真题分类汇编 专题11 平面解析几何解答题 文（含解析）-人教版高三数学试题

专题11平面解析几何解答题

历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019椭圆2019年北京文科19解答题2018椭圆2018年北京文科20解答题2017椭圆2017年北京文科19解答题2016椭圆2016年北京文科19解答题2015椭圆2015年北京文科20解答题2014椭圆2014年北京文科19解答题2013椭圆2013年北京文科19解答题2012椭圆2012年北京文科19解答题2011椭圆2011年北京文科19解答题2010椭圆2010年北京文科19

历年高考真题汇编1．【2019年北京文科19】已知椭圆C：1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线l：y＝kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|•|ON|＝2，求证：直线l经过定点．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．可得b＝c＝1，a，则椭圆方程为y2＝1；（Ⅱ）证明：y＝kx+t与椭圆方程x2+2y2＝2联立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），△＝16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，x1+x2，x1x2，AP的方程为yx+1，令y＝0，可得y，即M（，0）；AQ的方程为yx+1，令y＝0，可得y．即N（，0）．（1﹣y1）（1﹣y2）＝1+y1y2﹣（y1+y2）＝1+（kx1+t）（kx2+t）﹣（kx1+kx2+2t）＝（1+t2﹣2t）+k2•（kt﹣k）•（），|OM|•|ON|＝2，即为|•|＝2，即有|t2﹣1|＝（t﹣1）2，由t≠±1，解得t＝0，满足△＞0，即有直线l方程为y＝kx，恒过原点（0，0）．

2．【2018年北京文科20】已知椭圆M：1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若k＝1，求|AB|的最大值；（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q（，）共线，求k．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2c＝2，则c，椭圆的离心率e，则a，b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设直线AB的方程为：y＝x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得：4x2+6mx+3m2﹣3＝0，△＝（6m）2﹣4×4×3（m2﹣1）＞0，整理得：m2＜4，x1+x2，x1x2，∴|AB|，∴当m＝0时，|AB|取最大值，最大值为；（Ⅲ）设直线PA的斜率kPA，直线PA的方程为：y（x+2），联立，消去y整理得：（x12+4x1+4+3y12）x2+12y12x+（12y12﹣3x12﹣12x1﹣12）＝0，由代入上式得，整理得：（4x1+7）x2+（12﹣4x12）x﹣（7x12+12x1）＝0，x1•xC，xC，则yC（2），则C（，），同理可得：D（，），由Q（，），则（，），（，），由与共线，则，整理得：y2﹣x2＝y1﹣x1，则直线AB的斜率k1，∴k的值为1．

3．【2017年北京文科19】已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程：（a＞b＞0），则a＝2，e，则c，b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：设D（x0，0），（﹣2＜x0＜2），M（x0，y0），N（x0，﹣y0），y0＞0，则直线AM的斜率kAM，直线DE的斜率kDE，直线DE的方程：y（x﹣x0），直线BN的斜率kBN，直线BN的方程y（x﹣2），，解得：，过E做EH⊥x轴，△BHE∽△BDN，则|EH|，则，∴：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．

4．【2016年北京文科19】已知椭圆C：1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．【解答】（1）解：∵椭圆C：1过点A（2，0），B（0，1）两点，∴a＝2，b＝1，则，∴椭圆C的方程为，离心率为e；（2）证明：如图，设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y，取x＝0，得；，PB所在直线方程为，取y＝0，得．∴|AN|，|BM|＝1．∴．∴四边形ABNM的面积为定值2．

5．【2015年北京文科20】已知椭圆C：x2+3y2＝3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆C：x2+3y2＝3，∴椭圆C的标准方程为：y2＝1，∴a，b＝1，c，∴椭圆C的离心率e；（2）∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴，∴可设A（1，y1），B（1，﹣y1），∵E（2，1），∴直线AE的方程为：y﹣1＝（1﹣y1）（x﹣2），令x＝3，得M（3，2﹣y1），∴直线BM的斜率kBM1；（3）结论：直线BM与直线DE平行．证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由（2）知kBM＝1，又∵直线DE的斜率kDE1，∴BM∥DE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝k（x﹣1）（k≠1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y﹣1（x﹣2），令x＝3，则点M（3，），∴直线BM的斜率kBM，联立，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3＝0，由韦达定理，得x1+x2，x1x2，∵kBM﹣1＝0，∴kBM＝1＝kDE，即BM∥DE；综上所述，直线BM与直线DE平行．

6．【2014年北京文科19】已知椭圆C：x2+2y2＝4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2＝4化为标准方程为，∴a＝2，b，c，∴椭圆C的离心率e；（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则∵OA⊥OB，∴0，∴tx0+2y0＝0，∴t，∵，∴|AB|2＝（x0﹣t）2+（y0﹣2）2＝（x0）2+（y0﹣2）2＝x02+y024＝x0244（0＜x02≤4），因为4（0＜x02≤4），当且仅当，即x02＝4时等号成立，所以|AB|2≥8．∴线段AB长度的最小值为2．

7．【2013年北京文科19】直线y＝kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．【解答】解：（I）∵点B的坐标为（0，1），当四边形OABC为菱形时，AC⊥OB，而B（0，1），O（0，0），∴线段OB的垂直平分线为y，将y代入椭圆方程得x＝±，因此A、C的坐标为（，），如图，于是AC＝2．（II）欲证明四边形OABC不可能为菱形，利用反证法，假设四边形OABC为菱形，则有OA＝OC，设OA＝OC＝r，则A、C为圆x2+y2＝r2与椭圆的交点，故，x2（r2﹣1），则A、C两点的横坐标相等或互为相反数．从而得到点B是W的顶点．这与题设矛盾．于是结论得证．

8．【2012年北京文科19】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y＝k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A（2，0），离心率为，∴∴b∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）直线y＝k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4＝0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2，∴|MN|∵A（2，0）到直线y＝k（x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S∵△AMN的面积为，∴∴k＝±1．

9．【2011年北京文科19】已知椭圆G：1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，c，，解得a，又b2＝a2﹣c2＝4，所以椭圆G的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，由得4x2+6mx+3m2﹣12＝0．①设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），则x0，y0＝x0+m，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k，解得m＝2．此时方程①为4x2+12x＝0．解得x1＝﹣3，x2＝0，所以y1＝﹣1，y2＝2，所以|AB|＝3，此时，点P（﹣3，2）．到直线AB：y＝x+2距离d，所以△PAB的面积s|AB|d．

10．【2010年北京文科19】已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y＝t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P，圆心为P．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为，且，所以所以椭圆C的方程为（Ⅱ）由题意知p（0，t）（﹣1＜t＜1）由得所以圆P的半径为，则有t2＝3（1﹣t2），解得所以点P的坐标是（0，）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程x2+（y﹣t）2＝3（1﹣t2）．因为点Q（x，y）在圆P上．所以设t＝cosθ，θ∈（0，π），则当，即，且x＝0，y取最大值2．

考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题

1．已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于两个相异点，证明：面积为定值.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）解：因为的离心率为，所以，解得.①将点代入，整理得.②联立①②，得，，故椭圆的标准方程为.（2）证明：①当直线的斜率不存在时，点为或，由对称性不妨取，由（1）知椭圆的方程为，所以有.将代入椭圆的方程得，所以.②当直线的斜率存在时，设其方程为，将代入椭圆的方程得，由题意得，整理得.将代入椭圆的方程，得.设，，则，，所以.设，，，则可得，.因为，所以，解得（舍去），所以，从而.又因为点到直线的距离为，所以点到直线的距离为，所以，综上，的面积为定值.2．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(a＞b＞0)经过点(0，)，点F是椭圆的右焦点，点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F的直线交椭圆于M，N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当MF＝2FN时，求直线的方程；（3）若直线上存在点P满足PM·PN＝PF2，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】（1）设椭圆的截距为2c，由题意，b＝，由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c＝，又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，c＝1．∴椭圆C的标准方程为；（2）当直线l与x轴重合时，M（﹣2，0），N（2，0），此时MF＝3NF，不合题意；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．△＝36m2+36（m2+4）＞0．①，②，由MF＝2FN，得y1＝﹣2y2③，联立①③得，，代入②得，，解得．∴直线方程为；（3）当直线l的斜率为0时，则M（2，0），N（﹣2，0），设P（x0，y0），则PM•PN＝|（x0﹣2）（x0+2）|，∵点P在椭圆外，∴x0﹣2，x0+2同号，又，解得．当直线l的斜率不为0时，由（2）知，，．∵点P在椭圆外，∴y1﹣y0，y2﹣y0同号，∴PM•PN＝（1+m2）（y1﹣y0）（y2﹣y0）＝，整理得，代入直线方程得．∴点P在定直线上．3．已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，是坐标原点．（1）若直线过点且，求直线的方程；（2）已知点，若直线不与坐标轴垂直，且，证明：直线过定点．【答案】（1）或；（2）.【解析】解：（1）法一：焦点，当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线的交点坐标分别为，，此时，不符合题意，故直线的斜率存在．设直线方程为与联立得，当时，方程只有一根，不符合题意，故.，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得，解得，所以方程为或.法二：焦点，显然直线不垂直于轴，设直线方程为,与联立得，设，，，.，由，解得，所以方程为或.（2）设，，设直线方程为与联立得：，可得，.由得，即.整理得，即，整理得，即，即.故直线方程为过定点.4．已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，点在第一象限，且，．（1）求椭圆的标准方程；（2）设、为椭圆上不重合的两点且异于、，若的平分线总是垂直于轴，问是否存在实数，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求取得最大值时的的长．【答案】(1)(2)【解析】（1）∵，∴，∵．即，∴是等腰直角三角形，∵，∴，而点在椭圆上，∴，，∴，∴所求椭圆方程为．（2）对于椭圆上两点，，∵的平分线总是垂直于轴，∴与所在直线关于对称，，则，∵，∴的直线方程为，①的直线方程为，②将①代入，得，③∵在椭圆上，∴是方程③的一个根，∴，以替换，得到．∴，∵，，，弦过椭圆的中心，∴，，∴，∴，∴，∴存在实数，使得，，当时，即时取等号，，又，，∴取得最大值时的的长为．5．已知抛物线，过抛物线焦点的直线分别交抛物线与圆于（自上而下顺次）四点.（1）求证：为定值；（2）求的最小值.【答案】(1)见证明；(2)108【解析】（1）有题意可知，可设直线的方程为，联立直线和抛物线方程，消可得，所以，，由抛物线的定义可知，，又，所以，所以为定值16.（2）由（1）可知，，，，由，可得，所以（其中），令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以.所以的最小值为.6．已知为坐标原点，点，，过点作的平行线交于点.设点的轨迹为.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）已知直线与圆相切于点，且与曲线相交于，两点，的中点为，求三角形面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因为，故，所以，故，由题设得，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：.（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，因为直线与圆相切，所以，∴，由消去得.设，由韦达定理知：.所以中点的坐标为，所以弦的垂直平分线方程为，即.所以.将代入得（当且仅当，即时，取等号）.所以三角形的面积为，综上所述，三角形的面积为.7．已知椭圆的离心率为，是椭圆的一个焦点．点，直线的斜率为．（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，且．求的方程．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，可得，解得，则，故椭圆的方程为．（2）当的斜率不存在时，，不合题意，故的斜率存在．设的方程为，联立，得，设，则，即，设，则，则，即整理得．故，的方程为．8．已知椭圆过点，右焦点是抛物线的焦点.（1）求椭圆的方程；（2）已知动直线过右焦点，且与椭圆分别交于，两点.试问轴上是否存在定点，使得恒成立?若存在求出点的坐标:若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)见解析【解析】（1）因为椭圆过点，所以，又抛物线的焦点为，所以.所以，解得（舍去）或.所以椭圆的方程为.（2）假设在轴上存在定点，使得.①当直线的斜率不存在时，则，，，，由，解得或；②当直线的斜率为0时，则，，，，由，解得或.由①②可得，即点的坐标为.下面证明当时，恒成立.当直线的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为，，.直线与椭圆联立得，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且，.，所以恒成立综上所述，在轴上存在点，使得恒成立.9．关于椭圆的切线由下列结论：若是椭圆上的一点，则过点的椭圆的切线方程为.已知椭圆.(1)利用上述结论，求过椭圆上的点的切线方程；(2)若是直线上任一点，过点作椭圆的两条切线，（，为切点），设椭圆的右焦点为，求证：.【答案】（1）（2）见证明【解析】(1)由题意，将代入椭圆方程，得，所以，所以过椭圆上的点的切线方程为，即.(2)设，，，则过，两点的椭圆的切线，的方程分别为，，因为在两条切线上，，，所以，两点均在直线上，即直线的方程为，当时，，又，，，所以，若，点在轴上，，两点关于轴对称，显然.10．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），若面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线过点交椭圆于两点，问在轴上是否存在一点，使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由题意，当在上或下顶点时，的面积取值最大值，即最大值为，又，且，解得，，故椭圆的方程为．（2）易知，设直线的方程为，，联立方程组，整理得，则，，，∵，，∴，，∴，要使为定值，则，解得，所以在轴上存在点，使得为定值．11．已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设直线与轨迹交于两点，、，且(，且为常数)，过弦的中点作平行于轴的直线交轨迹于点，连接、.试判断的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由【答案】(1)(2)见解析【解析】（1）设，则，，，即，即，所以动点的轨迹的方程.（2）联立方程组消去，得，依题意，，且，，由得，即，整理得：，所以，①因为的中点，所以点，依题意，，由方程中的判别式，得，所以，由①知，所以，又为常数，故的面积为定值.12．已知点P在抛物线上，且点P的横坐标为2，以P为圆心，为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，