高考数学真题分类汇编 专题04 导数及其应用 文（含解析）-人教版高三数学试题

专题04导数及其应用

历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019导数综合问题2019年北京文科20解答题2018导数综合问题2018年北京文科19解答题2017导数综合问题2017年北京文科20解答题2016导数综合问题2016年北京文科20解答题2015导数综合问题2015年北京文科19解答题2014导数综合问题2014年北京文科20解答题2012导数综合问题2012年北京文科18解答题2011导数综合问题2011年北京文科18解答题2010导数综合问题2010年北京文科18

历年高考真题汇编1．【2019年北京文科20】已知函数f（x）x3﹣x2+x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为l的切线方程；（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证：x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）设F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x），由f′（x）＝1得x（x）＝0，得．又f（0）＝0，f（），∴y＝x和，即y＝x和y＝x；（Ⅱ）证明：欲证x﹣6≤f（x）≤x，只需证﹣6≤f（x）﹣x≤0，令g（x）＝f（x）﹣x，x∈[﹣2，4]，则g′（x），可知g′（x）在[﹣2，0]为正，在（0，）为负，在[]为正，∴g（x）在[﹣2，0]递增，在[0，]递减，在[]递增，又g（﹣2）＝﹣6，g（0）＝0，g（）6，g（4）＝0，∴﹣6≤g（x）≤0，∴x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|＝|f（x）﹣x﹣a|＝|g（x）﹣a|∵在[﹣2，4]上，﹣6≤g（x）≤0，令t＝g（x），h（t）＝|t﹣a|，则问题转化为当t∈[﹣6，0]时，h（t）的最大值M（a）的问题了，①当a≤﹣3时，M（a）＝h（0）＝|a|＝﹣a，此时﹣a≥3，当a＝﹣3时，M（a）取得最小值3；②当a≥﹣3时，M（a）＝h（﹣6）＝|﹣6﹣a|＝|6+a|，∵6+a≥3，∴M（a）＝6+a，也是a＝﹣3时，M（a）最小为3．综上，当M（a）取最小值时a的值为﹣3．

2．【2018年北京文科19】设函数f（x）＝[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]ex．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]ex的导数为f′（x）＝[ax2﹣（a+1）x+1]ex．曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，可得（4a﹣2a﹣2+1）e2＝0，解得a；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）＝[ax2﹣（a+1）x+1]ex＝（x﹣1）（ax﹣1）ex，若a＝0则x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞1，f′（x）＜0，f（x）递减．x＝1处f（x）取得极大值，不符题意；若a＞0，且a＝1，则f′（x）＝（x﹣1）2ex≥0，f（x）递增，无极值；若a＞1，则1，f（x）在（，1）递减；在（1，+∞），（﹣∞，）递增，可得f（x）在x＝1处取得极小值；若0＜a＜1，则1，f（x）在（1，）递减；在（，+∞），（﹣∞，1）递增，可得f（x）在x＝1处取得极大值，不符题意；若a＜0，则1，f（x）在（，1）递增；在（1，+∞），（﹣∞，）递减，可得f（x）在x＝1处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是（1，+∞）．

3．【2017年北京文科20】已知函数f（x）＝excosx﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）＝excosx﹣x的导数为f′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（2）函数f（x）＝excosx﹣x的导数为f′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣1，令g（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）＝ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）＝﹣2ex•sinx，当x∈[0，]，可得g′（x）＝﹣2ex•sinx≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）＝0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）＝e0cos0﹣0＝1；最小值为f（）cos．

4．【2016年北京文科20】设函数f（x）＝x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a＝b＝4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【解答】解：（1）函数f（x）＝x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）＝3x2+2ax+b，可得y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝f′（0）＝b，切点为（0，c），可得切线的方程为y＝bx+c；（2）设a＝b＝4，即有f（x）＝x3+4x2+4x+c，由f（x）＝0，可得﹣c＝x3+4x2+4x，由g（x）＝x3+4x2+4x的导数g′（x）＝3x2+8x+4＝（x+2）（3x+2），当x或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x＝﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x处取得极小值，且为．由函数f（x）有三个不同零点，可得c＜0，解得0＜c，则c的取值范围是（0，）；（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）＝0，可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．即有f（x）有3个单调区间，即为导数f′（x）＝3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）＝3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c＝0，a＝b＝4时，满足a2﹣3b＞0，即有f（x）＝x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．

5．【2015年北京文科19】设函数f（x）klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【解答】解：（1）由f（x）f'（x）＝x由f'（x）＝0解得xf（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：X（0，）（）f'（x）﹣0+f（x）↓↑所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x处的极小值为f（），无极大值．（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）．因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e当k＝e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）＝0所以x是f（x）在区间（1，）上唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．

6．【2014年北京文科20】已知函数f（x）＝2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y＝f（x）相切？（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝2x3﹣3x得f′（x）＝6x2﹣3，令f′（x）＝0得，x或x，∵f（﹣2）＝﹣10，f（），f（），f（1）＝﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．

（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x0，y0），则y0＝23x0，且切线斜率为k＝63，∴切线方程为y﹣y0＝（63）（x﹣x0），∴t﹣y0＝（63）（1﹣x0），即46t+3＝0，设g（x）＝4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）＝12x2﹣12x＝12x（x﹣1），∴g（x）与g′（x）变化情况如下：x（﹣∞，0）0（0，1）1（1，+∞）g′（x）+0﹣0+g（x）↗t+3↘t+1↗∴g（0）＝t+3是g（x）的极大值，g（1）＝t+1是g（x）的极小值．当g（0）＝t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（1）＝t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）＝t﹣7＜0，g（2）＝t+11＞0，∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y＝f（x）相切．

7．【2012年北京文科18】已知函数f（x）＝ax2+1（a＞0），g（x）＝x3+bx．（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；（2）当a＝3，b＝﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＝ax2+1（a＞0），则f′（x）＝2ax，k1＝2a，g（x）＝x3+bx，则g′（x）＝3x2+b，k2＝3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a＝3+b①又f（1）＝a+1，g（1）＝1+b，∴a+1＝1+b，即a＝b，代入①式，可得：a＝3，b＝3．

（2）当a＝3，b＝﹣9时，设h（x）＝f（x）+g（x）＝x3+3x2﹣9x+1则h′（x）＝3x2+6x﹣9，令h'（x）＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1；∴k≤﹣3时，函数h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调增，在（﹣3，1]上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）＝28﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28所以k的取值范围是（﹣∞，﹣3]

8．【2011年北京文科18】已知函数f（x）＝（x﹣k）ex．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（x﹣k+1）ex，令f′（x）＝0，得x＝k﹣1，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：x（﹣∞，k﹣1）k﹣1（k﹣1，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↓﹣ek﹣1↑∴f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k﹣1），f（x）的单调递增区间（k﹣1，+∞）；

（Ⅱ）当k﹣1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）＝﹣k；当0＜k﹣1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k﹣1]上单调递减，f（x）在区间（k﹣1，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k﹣1）＝﹣ek﹣1；当k﹣1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）＝（1﹣k）e；综上所述f（x）min．

9．【2010年北京文科18】设定函数f（x）x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）﹣9x＝0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a＝3且曲线y＝f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．【解答】解：由得f′（x）＝ax2+2bx+c因为f′（x）﹣9x＝ax2+2bx+c﹣9x＝0的两个根分别为1，4，所以（*）（Ⅰ）当a＝3时，又由（*）式得解得b＝﹣3，c＝12又因为曲线y＝f（x）过原点，所以d＝0，故f（x）＝x3﹣3x2+12x．

（Ⅱ）由于a＞0，所以“在（﹣∞，+∞）内无极值点”等价于“f′（x）＝ax2+2bx+c≥0在（﹣∞，+∞）内恒成立”．由（*）式得2b＝9﹣5a，c＝4a．又△＝（2b）2﹣4ac＝9（a﹣1）（a﹣9）解得a∈[1，9]即a的取值范围[1，9]

考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题为重点较佳.最新高考模拟试题

1．已知函数，若有3个零点，则的取值范围为()A．(，0) B．(，0) C．(0，) D．(0，)【答案】C【解析】由题意，函数，要使得函数在R上有3个零点，当时，令，可得，要使得有两个实数解，即和有两个交点，又由，令，可得，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，所以当时，，若直线和有两个交点，则，当时，和有一个交点，则，综上可得，实数的取值范围是，故选C.2．已知，，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，，，设，，设，，在单调递减，且，,所以在递减，，故选C.3．已知函数（为大于1的整数），若与的值域相同，则的最小值是（）（参考数据：，，）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故，又当，所以函数的值域为，令因此是单调递增函数，因此当时，，令由上可知：，，由上可知函数在时，单调递增，在时，单调递减，要想的值域为，只需，即，设，，，所以当时，函数单调递增，，，所以的最小值是5，故本题选A.4．已知实数，，，满足，则的最小值为（）A．8 B．4 C．2 D．【答案】D【解析】，可以看成和之间的最小值当时，即点到直线的距离最小5．若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围为()A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数，所以令，因为，当时，，所以所以在上为增函数，则，当时，，所以，所以在上为增函数，则，所以在上没有零点.当时，即，因为在上为增函数，则存在唯一的，使得，且当时，，当时，；所以当时，，为减函数，当时，，为增函数，当时，，因为，当趋于时，趋于，所以在内，一定存在一个零点.所以，故答案选D.6．已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，则，因为对任意，都有成立，所以在上恒成立；即在上恒成立；即在上恒成立；令，，则，由得，解得（舍）或，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，因为在上恒成立，所以只需，解得.故选D7．已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为()A． B． C． D．【答案】A【解析】设，因为为上奇函数，所以，即为上奇函数对求导，得，而当时，有故时，，即单调递增，所以在上单调递增不等式，即所以，解得故选A项.8．已知函数，则使不等式成立的的最小整数为（）A．-3 B．-2 C．-1 D．0【答案】D【解析】根据题意，函数，其导数，时，可以看成是1为首项，为公比的等比数列，则有，函数在上为增函数，又由，，则函数在上存在唯一的零点，设其零点为，，又由，则，故不等式成立的的最小整数为0；故选：D．9．直线是曲线的切线，则实数____．【答案】1【解析】解：∵，∴设切点为，得切线的斜率为，所以曲线在点处的切线方程为：．即：它过原点，∴，∴，∴．故答案为：1．10．函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为_________．【答案】【解析】关于轴对称的函数为，因为函数与的图象上存在关于轴的对称点，所以与的图象有交点，方程有解，即有解，时符合题意，时转化为有解，即的图象有交点，是过定点的直线，其斜率为，设相切时，切点的坐标为，则，解得，切线斜率为，由图可知，当，即且时，的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于轴的对称点，综上可得，实数的取值范围为，故答案为.11．已知函数，若存在实数使得，则的最大值为________.【答案】【解析】作出函数图像如下：由题意，令为方程的两个根，由图像易得；由得，解得或，因为，所以，，因此，令，，则，因为，所以由得；由得，即函数在上单调递增；在上单调递减；所以，因此的最大值为.故答案为12．已知实数a，b，c满足（e为自然对数的底数），则的最小值是_______．【答案】【解析】设，则，所以函数u(x)的增区间为（0，+），减区间为(-,0),所以，即；可知，当且仅当时取等；因为所以，．所以，解得，当且仅当时，取等号．故答案为：13．已知直线与曲线分别交于两点，则的最小值为________【答案】1.【解析】令，，显然为增函数，且所以当时，单调递减；当时，单调递增.所以.故答案为1.14．曲线在处的切线的斜率为，则切线的方程为_____．【答案】【解析】解：曲线，可得，曲线在处的切线的斜率为，可得，所以.所以切点坐标为：，则切线的方程为：.即：．故答案为：．15．已知函数若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是______．【答案】【解析】作出的函数图象如图所示，由，可得，即，不妨设，则，令，则，，令，则，当时，，在上递增；当时，，在上递减；当时，取得最大值,故答案为.16．已知函数的图象恰好经过三个象限，则实数的取值范围______.【答案】或【解析】（1）当时，在上单调递减，又，所以函数的图象经过第二、三象限，当时，，所以，①若时，恒成立，又当时，，所以函数图象在时，经过第一象限，符合题意；②若时，在上恒成立，当时，令，解，所以在上单调递减，在上单调递增，又所以函数图象在时，经过第一象限，符合题意；（2）当时，的图象在上，只经过第三象限，在上恒成立，所以的图象在上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当时，在上单调递增，故的图象在上只经过第三象限，所以在上的最小值，当时，令，解得，若时，即时，在上的最小值为，令.若时，则在时，单调递减，当时，令，解得，若，在上单调递增，故在上的最小值为，令，所以；若，在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为，显然，故；结上所述：或.17．已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）比较与的大小且，并证明你的结论.【答案】（I）见解析；（II）见解析【解析】（Ⅰ）函数可化为，当时，，从而在上总是递减的，当时，，此时要考虑与1的大小.若，则，故在上递增，若，则当时，，当时，，故在上递减，在上递增，而在处连续，所以当时，在上递减，在上递增；当时，在上递减，在上递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当，时，，即，所以.所以.18．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若为的两个极值点，证明：.【答案】（1）当时，在为增函数，减函数，为增函数；当时，在为增函数．（2）证明见解析．【解析】（1）的定义域为，，对于函数，①当时，即时，在恒成立．在恒成立，在为增函数；②当，即或时，当时，由，得或，，在为增函数，减函数，为增函数，当时，由在恒成立，在为增函数．综上，当时，在为增函数，减函数，为增函数；当时，在为增函数．（2）由（1）知，且，故故只需证明，令，故，原不等式等价于对成立，令，所以单调递减，有得证.19．已知函数.（Ⅰ）当时，求的最大值；（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）当时，，定义域为..令，得.当时，，单调递增，当时，，单调递减.所以.（Ⅱ），.令，得.当时