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文档简介
轴对称等边三角形的判定
三条边都相等的三角形是等边三角形例1
如图,△ABC是等边三角形,点D,E,F分别是各边上的一点,且AD=BE=CF,连接DE,EF,FD.求证:△DEF是等边三角形.新课学习证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°.∵AD=BE=CF,∴AE=BF=CD.∴△ADE≌△BEF≌△CFD(SAS).∴DE=EF=FD.∴△DEF是等边三角形.
1.如图,△ABC是等边三角形,分别延长AB至点F,BC至点D,CA至点E,使AF=3AB,BD=3BC,CE=3CA.求证:△DEF是等边三角形.证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°,AB=BC=CA.∴∠EAF=∠FBD=∠DCE=120°.∵AF=3AB,BD=3BC,CE=3CA,∴AF=BD=CE.∴AE=BF=CD.∴△AEF≌△BFD≌△CDE(SAS).∴EF=FD=DE.∴△DEF是等边三角形.
三个角都相等的三角形是等边三角形例2
如图,在等边三角形ABC中,点D,E在边AB,AC上,DE∥BC,△ADE是等边三角形吗?请说明理由.解:△ADE是等边三角形.理由如下:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B=60°,∠AED=∠C=60°.∴∠ADE=∠AED=∠A.∴△ADE是等边三角形.2.如图,∠B=∠C,AB∥DE,EC=ED.求证:△DEC是等边三角形.证明:∵∠B=∠C,AB∥DE,∴∠DEC=∠B=∠C.∵EC=ED,∴∠C=∠EDC.∴∠DEC=∠C=∠EDC.∴△DEC为等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形例3
如图,在△ABC中,点D是AB上的一点,且AD=DC=DB,∠B=30°.求证:△ADC是等边三角形.证明:∵DC=DB,∠B=30°,∴∠DCB=∠B=30°.∴∠ADC=∠DCB+∠B=60°.∵AD=DC,∴△ADC是等边三角形.
3.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,BE⊥AC于点D,且DE=DB.求证:△CEB是等边三角形.证明:∵AB=BC,∠ABC=120°,BE⊥AC,∴∠CBE=∠ABE=60°.∵DE=DB,BE⊥AC,∴AC垂直平分BE.∴BC=CE.∴△CEB是等边三角形.1.下列三角形:①有两个角等于60°;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有(
D
)A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④D基础巩固2.(2022·湘潭改编)如图,小明在学了尺规作图后,作了一个图形,其作图步骤是:①作线段AB=2,分别以点A,B为圆心,以AB长为半径画弧,两弧相交于点C,D;②连接AC,BC,作直线CD,且CD与AB相交于点H.则下列说法错误的是(
D
)A.△ABC是等边三角形B.AB⊥CDC.AH=BHD.∠ACD=45°D第2题图3.如图,在Rt△ABC中,∠B=30°,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交直线AB于点D,连接DC,则∠DCB的度数为
30°
.第3题图30°
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AE是∠BAC是的平分线,CD是AB边上的高,请从图中找出一个等边三角形,并说明理由.5.如图,AB=AC,点D是BC的中点,AB平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为点E,且BE∥AC.求证:△ABC是等边三角形.证明:∵AB=AC,点D是BC的中点,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.∵AB平分∠DAE,∴∠BAE=∠BAD.∴∠BAD=∠CAD=∠BAE.∵AE⊥BE,∴∠E=90°.又BE∥AC,∴∠EAC=90°.∴∠BAD=∠CAD=∠BAE=30°.∴∠BAC=60°.∴△ABC是等边三角形.6.【教材P83习题T12改编】在图1、图2中,点C为线段AB上一点,△ACM与△CBN都是等边三角形.(1)如图1,线段AN与线段BM是否相等?请说明理由;
(2)如图2,AN与MC交于点E,BM与CN交于点F,连接EF,试探究△CEF的形状,并证明你的结论.(2)△CEF是等边三角形.证明如下:由(1)知△ACN≌△MCB,∴∠CAE=∠CMF.
∴△ACE≌△MCF(ASA).∴CE=CF.∵∠ECF=180°-∠ACM-∠BCN=60°,∴△CEF是等边三角形.1.如图,在△ABC中,下列条件能说明△ABC是等边三角形的是(
C
)A.AB=AC,∠B=∠CB.AD⊥BC,BD=CDC.BC=AC,∠B=∠CD.AD⊥BC,∠BAD=∠CADC基础提能2.已知a,b,c是三角形的三边长,且满足(a-b)2+|b-c|=0,则这个三角形一定是(
B
)A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形B3.如图,在△ABC中,点D为BC延长线上的一点,∠A=60°,∠ACD=120°.求证:△ABC是等边三角形.证明:∵∠ACD=120°,∴∠ACB=180°-∠ACD=60°.∵∠A=60°,∴∠B=180°-∠A-∠ACB=60°.∴∠A=∠B=∠ACB=60°.∴△ABC是等边三角形.4.如图,在△ABC中,点D为BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,且BE=CF,∠BDE=30°.求证:△ABC是等边三角形.
5.如图,在等边三角形ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形?试证明你的结论.
6.(2022·阳江市期末)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于点E,AD,BE相交于点F.(1)若∠BAC=60°
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