解三角形之判断三角形形状和边角证明类问题（典型例题+跟踪训练）【解答题抢分】2023年高考数学（新高考通用）解析版

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）

专题06解三角形之判断三角形形状和边角证明类问题

目录一览

一、梳理必备知识

二、基础知识过关

三、典型例题讲解

四、解题技巧实战

五、跟踪训练达标

、梳理必备知识

1.正弦定理

2&.（其中&为A48C外接圆的半径）

sinAsinBsinC

=Q=27?sinJ,6=27?sin5,c=27?sinC;（边化角）

<^>sinA=—,sinB=—,sinC=—;（角化边）

-2R‘_2R'~2R

2.余弦定理：

a2=b24-c2-2bccosA,

a+cb222

cosg=~=<b=a+c-2accosB,

2ac

nc2=a2+b2-2abcosC.

3.三角形面积公式:

S=-absinC=-bcsinA=-acsinB=^（a+b+c）r（r为三角形ABC的内切圆半径）

MBC2222

4.三角形内角和定理:

jrA_1_R

在△ASC中，有〃+8+C=7roC=?r—(N+6)=5o2C=2/一2(1+8).

【常用结论】

①在M.BC中，。>b=sin/>sin8。/〉8;

jr

②sin2A=sin26,则N=B^A+B=—.

2

③在三角函数中，sin/>sin6o/>6不成立。但在三角形中，sinZ>sin6oZ>8成立

二、基础知识过关

一、单选题

1.记》BC的内角N,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b+c)(b+c-a)=次，那么"8C是()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定

【答案】B

【分析】已知等式左边利用平方差公式即完全平方公式化简，整理后利用勾股定理的逆定理判断即可得到

结果.

【详解】在“8C中，(o+b+c)(6+c-a)=(b+c)-+c，-a?+26c=2bc,

:.b2+c2-a2=0,^b2+c2=a2,则』8c为直角三角形，

故选：B.

2.在“8C中，4民C的对边分别是a,b,c,若则“8c的形状是()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或直角三角形

【答案】C

【分析】由余弦定理确定C角是钝角.

【详解】三角形N3C中，COSC="2+〃-C2<O,所以。为钝角，三角形为钝角三角形.

2ab

故选：C.

h4-c

3.在448c中，l+cos/=幺上，则三角形的形状为()

c

A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.正三角形D.等腰三角形

【答案】A

【分析】利用余弦定理化简题给条件即可得到。2=/+/,进而得到的形状为直角三角形.

【详解】A/8C中，l+cosZ=",

c

则l+"+c-整理得。2=/+/,贝！|NC=90l则”8C的形状为直角三角形，

2bcc

故选：A.

4.A/18C中，sin/>sin8是a>b的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】解：在三角形中，由正弦定理号=工，得”吗，若好吗>1可得a>b=sin/>sin8,

sinAsinBbsinBbsinB

即sin4>sin8是。>力的充要条件，故选C.

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据正弦定理是解决本题的关键.

5.在Rt△45c中，4CB=90。，AB=cfAC=b,BC=a,则下列关系不成立的是()

A.a=c-cosBB.tanAtanB=lC.b=c・cosAD.a=btanB

【答案】D

【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义对各个选项进行变形，判断即可.

【详解】解：对于A,cosB=—,贝！JQ=C.COS8,故A成立；

c

TT1

对于B,因为4+6=—,所以tan4•tan8=tan4--------=1,故B成立；

2tan力

h

对于C,cosA=-贝(16=c・cos4,故C成立；

c9

对于D,tan5=—,贝(jb=4・tanB,故D不成立.

a

故选：D.

6.的三边分别为〃力了,若”8。是锐角三角形，则()

A.sin4<cos6B.tan力tan8〉1C.cos(4+8)>0D.sin(4+8)>sinC

【答案】B

【解析】根据^ABC是锐角三角形，令4=8=C=60。,然后逐项判断排除即可.

【详解】解:••・A/8C是锐角三角形，可令/=8=C=60。,sin/=更>cos8=L,A错误；

22

cos(4+8)=cos120°=一；<0,C错误；

sin(Z+B)=sin120°=sinC=——,D错误;

2

tan4tan8=3>1,B正确.

故选:B

【点睛】本题考查三角形内角和定理，以及三角形内角的正余弦值之间的关系，可用排除法得出正确选项.

二、填空题

7.在“8C中，内角/,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos/=2,则“8C的形状是(填

C

“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中的一个).

【答案】直角三角形

【分析】利用正弦定理或余弦定理化简即可.

【详解】方法一：

...cos4=2=♦+c7/+h2=所以“BC的形状是直角三角形.

c2bc

方法二：

,bsinB.八.「,

cosA=—=-sin8=sinCcosA

csinC

又sinB=sin(/+C)=sinAcosC+sinCcosA：,sinAcosC=0

又sin/x0cosC=0即C=5.所以“BC的形状是直角三角形.

故答案为：直角三角形.

8.“5C中，角48,。所对的边分别为a也c.且满足〃=2bcosC,则此三角形的形状是.

【答案】等腰三角形

【分析】利用正弦定理边角互化，由/=兀-(8+。)结合三角函数和差公式和角的范围即可得B=C,即可得

到结果.

【详解】因为Q=26COSC,所以由正弦定理可得sin/=2sin8cosC,

又在“BC中4=兀一(8+(7),

所以sin4=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB=2sinBcosC,

所以sinCcos6-sin8cosC=0即sin(C-B)=0,

由8,Cw(0,兀)，故8=C,则此三角形的形状是等腰三角形，

故答案为：等腰三角形

四、解题技巧实战

1.已知的内角4、B、C的对边分别为〃、b、c,且a—b=c(cos8—cos%).

(1)判断』4C的形状；

【答案】(1)直角三角形或等腰三角形

【分析】(1)利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出cosC(sin6-sinZ)=0,可得出sin4=sin8或

cosC=0,可得出或C=/,即可得出结论：

(1)“8。为等腰三角形或直角三角形，证明如下：

由Q-/?=c(cosB-cos及正弦定理得，sin4-sin5=sinC(cosB-cos4),

即sin(B+C)—sin(/+C)=sinC(cosB-cosA),

即sinBcosC+cos5sinC-sinJcosC-cosJsinC=sinCcos5-sinCcosA,

整理得sin8cosc-sin/cosC=0,所以cosC(sin6—sin4)=0,

故sin/=sinB或COSC=0,

又A、B、C为-SC的内角，所以。=/＞或C=5，

因此“8C为等腰三角形或直角三角形.

2.已知一8C的三个内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且荏.祝+面.就=元才近

(1)若半="巨，判断“8C的形状并说明理由；

ba

【答案】(1)等边三角形，理由见解析；

【分析】(1)根据平面向量数量积的定义和余弦定理可得。2+/=202,结合题意与正弦定理可得

sin2/1=sin2S,然后分析可得；

(1)"5C是等边三角形.理由如下：

由数量积的定义得，cbcosA+cacosB=2bacosC.

iA力士"+c_+c_ci~~c~

由1余弦定理得---------+----------=2x---------------,

222

即/+〃=2c2,

由正弦定理及c°s"=cos',得sin力•cos/=sin5-cosB,即sin24=sin2B,

ba

因为2426£(0,2乃)，所以24=25或24+28=不，

当24=28时，a=b,又片+b?=2c?,所以。=b=c,所以△Z3C是等边三角形；

当2A+2B”,即4+8=5时，"8C是直角三角形，这与矛盾.

故“8C是等边三角形.

3.在“8C中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知2(tan/+tan8)=则0+处2.

cosBcosA

(1)证明：〃+6=2c；

【答案】(1)证明见解析；

【解析】(1)利用切化弦结合两角和的正弦公式、三角形内角和定理以及诱导公式化简可证得结论成立;

sin4sinB

【详解】(1)•.-2(tan^+tan5)=-^4+^—,./sin"sinB^cos7,C0SB,

2一H

cosBcosA•-[cosZ7+cosBoJcosBDcosJ3

2(sin4cos8+cos4sin8)sin>4+sinB

.•—,

cos%cos8cosJcos5

sinZ+sin8=2sin(4+8)=2sin(万一C)=2sinC,

由正弦定理得Q+b=2c；

C,证明：口=皿电.

4.在△/BC中，角/、B、。所对的边分别为〃，h

csinC

【答案】证明见解析

【解析】根据余弦定理/-〃=c2-2bccos/代入等式左边，化简得1-丝cos/,再用正弦定理边化角得

C

sinC-2singeoszl^然后将分子的根据诱导公式以及两角和与差的正弦公式变形化简可得等式右边.

sinC

了、小MYH小/一〃c2-ThecosA.2b..2sin8cosN

【详解】因为——=-----弓--------=1——cosJ=1---------——

cccsinC

_sinC-2sinBcos/l_sin(J+5)-2sin5cosA_sinAcosB+cosAsinB-2sinBcosA

sinCsinCsinC

_sinAcosB-cosAsinB_sin(4—B)

sinCsinC

所以W=sin(j).

csinC

【点睛】本题考查了余弦定理、正弦定理、诱导公式、两角和与差的正弦公式，属于中档题.

五、跟踪训练达标

1.(2022•高三课时练习)在A8C中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,若acosN+6cos8=ccosC,

判断的形状.

【答案】直角三角形.

【分析】利用余弦定理，对题目条件进行角度与边长的转化，化简即可得到三角形三边的关系，从而得出

结论.

【详解】解：因为acosN+bcos8=ccosC,由余弦定理知,

,b2+c2-aa2^b2-c2

cosA=--------------

2bclac2ib

2

gr-pib~+c2—a'a2+c2-h2a2+h2-c,2

所以a----------------一+b・=c-----一----，---化简得;

2bc2ac2ah

(Q2)2=不,所以八/二,.2或"Q2c2,因此“8C为直角三角形.

2.(2022春・福建厦门•高三厦门外国语学校校考期中)力8。的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知

b=c,且Gc=bsin4+V54cos8.

(1)判断的形状；

(2)若。为△力3C所在平面内一点，且。，C在直线43的异侧，04=208=2,求OC的最大值.

【答案】(1)等边三角形

(2)3

【分析】(1)由正弦定理化边为角，利用诱导公式、两角和的正弦公式、同角关系式可得tan/,从而A角,

结合已知边相等得三角形形状；

(2)设NAOB=e,在中，由余弦定理力在“08中，由正弦定理得sin/084,由余弦定理得

cos/。历1,从而求得cos/OBC,再用余弦定理求得0C为。的函数，由三角函数知识得最大值.

(1)Vyf3c=hsinA+y(3acosBf

*'•由正弦定理可得，V3sinC=sinBsinA+>/3sinAcosB

由三角形内角和为左，可得JJsin(4+8)=sin8sin4+6sin%cos8,

化简得到：tan4=6，

•.,力£（0,乃），/.J=y

又•：b=c,・・・力8C为等边三角形.

(2)设乙4。8=<9,在〜408中，由余弦定理得力^=c，2=产十？2一？、1x2xcos。=5-4cos。.

TT

•；^ABC为等边三角形,：.ZOBC=ZOBA+-且6c=/6,

3f

]/7

•*•cosZOBC=cos(ZOBA+—)=—cos/.OBA-----sinZ.OBA,

ABOA..2sin。

在"QB中，由正弦定理可知:,..sinZ.OBA=--------

sin0sinZ.OBAAB

小…OB2-i-AB2-OA2AB2-3

由余弦定理可知，cosNOBA=----------------------=-----------

2OBxAB2AB

..AB2-3JJsinO1-2cos0-2^3sin0

••cosZ.OBC=-----------------------=----------------------------

4ABAB2AB

・・・在△O8C中，由余弦定理可得:

OC2=OB2+BC2-TOBxBCxcosZ.OBC=5+2y^sin0-2cos0=5+4sin[夕看),

715万，，当。咛21时，sin^-^Ul,此时OC?取得最大值9,

*/夕£(0,万)，0-—E

6'69~63

...当。=与时，oc取最大值3.

3.(2023春•江苏宿迁•高三校考阶段练习)(1)在“8C中，角。所对的边分别为a,6,c,若/+c?=/+bc，

tanA+tanB+-y/itanAtanB>判断-8C的形状:

(2)在AA8C中，B=12O°,AB=6,角A的平分线=求ZC的长.

【答案】(1)等边三角形；(2)AC=46

【分析】(1)利用余弦定理可得4=。，根据两角和的正切公式结合条件可得力+3=半，进而即得;

(2)根据正弦定理结合条件可得乙4。8=45°,然后再利用正弦定理即得.

【详解】(1)在中，b2+c2=a2+bc,

所以/+/-〃2=儿，所以COS/="2+C2—-=L

2bc2

又因为A为“8c的内角，所以/=；,

由taiL4+tanB+6=6aMtan8,得黑巴土粤与=tan(4+5)

1-tan?ltan5

所以4+8=g4=8=C=W，所以△力8C的是等边三角形；

ADAR

(2)如图，在中，由正弦定理，得多二.二,

smBsmZADB

由题意知0<//。3<60°,

NADB=45°,，/BAD=180-45-120°=15°,

ZBAC=30°,C=30",BC=45=亿

ACBC

在ABC中，由正弦定理，得

sinBsinzfBJC

BCsinB瓜.

sin/B4c1

2

4.(2022秋•江苏苏州•高三校考阶段练习)在“8。中，角A,B,C成等差数列，角/B,。所对的边分

别为a,b,c.

(1)若?=’白，判断“8C的形状；

(2)若。8c不是钝角三角形，求色的取值范围.

C

【答案】(1)“8c为直角三角形.

「1-1

叫”

【分析】(1)由已知得8=三，再利用余弦定理及正弦定理可求得/=^,C=进而判断三角形形状;

(2)先求出54c4三，再利用正弦定理边化角，结合三角函数性质求最值即可.

62

【详解】(1)因为角A,B,C成等差数列，，2B=/+C

又4+8+C=7t,/.3B=it,即3=§

a+b

­=-------------------,:.a(a+h+c)=b(a+b),,\a2+ac=b2

ba+b+c

由余弦定理得：b2=a2+c2-2acx=a24-c2ac

/.a2+ac=a2+c2-ac，，c=2a

由正弦定理得：sinC=2sin4,即sin(/+])=2sinZ

—sinA+—cosA=2sinA,/.cosA=y/3sinA»BPtan=—

223

TTjr

又力€(0,%)，:.A=-,C=-

62

所以A/8C为直角三角形.

(2)-A+C=—9则力=型一C

33

c2兀「,兀

0<-----C<—

由不是钝角三角形，知32,•■-75C<J

0<362

2

由正弦定理知a=sin/；sinC+gcosC=」加0sC

csinCsinCsinC22sinC

当C=工时，cosC-0,—

2c2

-=-+^—,.-.tanC>—,.-.0<—

当时,

62c22tanC623tanC

1a_

.<2

2c

综上可知，泊取值范围时吴

5.（2022秋•湖南长沙•高三长沙一中校考开学考试）已知A/8C的三个内角A,B,C的对边分别为“，b,

c,且万.就+瓦比=兹•赤

（1）若?=竺巨，判断“8C的形状并说明理由;

ba

（2）若zUBC是锐角三角形，求sinC的取值范围.

【答案】（1）〉8C是等边三角形，理由见解析

fV6正

⑵「’2

【分析】（1）根据平面向量数量积的定义和余弦定理可得/+〃=2C2,结合题意与正弦定理可得

sin2/=sin28,利用诱导公式计算分析即可得出结果；

（2）设ab,贝!进而有I。=，＜6,根据余弦定理可得y=cosC=!「+l],结合函数的单调性

a41t）

求出cosC的取值范围，进而得出sinC的取值范围.

(1)是等边三角形.理由如下：

由数量积的定义得，cbcosA+cacosB=2bacosC.

222

由余弦定理得从+"+。2-,=2a+f>-c

222

口n,,r_L_—4-ETTCOS/COSB

即4~+62=2小，由正弦定理及一■——----,

ba

得sin4•cosZ=sin8•cosB,即sin2A=sin25,

因为242Bw(0,2;r),所以2/=28或2/+28=万，

当24=28时，/8C是等腰三角形，此时a=6=c,所以“8C是等边三角形;

7T

当2A+2B”,即4+8=万时，/8C是直角三角形，这与=矛盾.

故“8C是等边三角形.

(2)不妨设ab,^a2+b2=2c2,

得2a°a2+b2=2c22b2,于是ach,

又因为“8C是锐角三角形，所以

即3a2>〃，因此1瓦

a

a2+b2-c2_］仅+Q］

由余弦定理得，cosC=~lab_~4{a+~b)9

令2=/,贝打t<6函数在［1,0)上单调递增

a

故sinC的取值范围是怦坐

6.(2022•全国•高三专题练习)已知的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,且。-6=c(cos8-cos/).

⑴判断“8C的形状并给出证明；

(2)若/b,求sin/+sin8+sinC的取值范围.

【答案】(1)“8c为等腰三角形或直角三角形，证明见解析

(2)(2,A/2+1)

【分析】(1)利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出cosC(sin8-sin4)=0,可得出sin/=sin8或

cosC=0,可得出“=6或C=/,即可得出结论；

（2）分析可得8且1件利用诱导公式以及辅助角公式可得出

sin/+sin8+sinC=五sin。+^j+1,利用正弦型函数的基本性质可求得sin/+sin8+sinC的取值范围.

（1）解：“8C为等腰三角形或直角三角形，证明如下：

由a-b=c(cos8-cosZ)及正弦定理得,sin4-sin8=sinC(cosB-cosJ),

即sin(5+C)-sin(4+C)=sinC(cosB-cosA),

即sinBcosC+cos5sinC-sinAcosC-cos4sinC=sinCcos5-sinCcosA,

整理得sin8cosc-sinNcosC=0,所以cosC(sin3-sin4)=0,

故sin力二sinB或COSC=0,

又A、B、。为“Be的内角，所以。=〃或。=/,

因此为等腰三角形或直角三角形.

（2）解：由（1）及加人知”8。为直角三角形且不是等腰三角形,

且4+8=卫，C=g故8=乙一力，且4。工，

2224

71

+w+19

因为公故♦+?

所以后sin4+(+1w(2,收+1),

因此sin/+sin8+sinC的取值范围为（2,&+1）.

7.（河北•模拟预测）在△ABC中，c="l+2cos/）,求证：4=28.

【答案】见解析

【详解】证明：c=6（l+2c。4）

—=1+2cosZ

b

sinC

=1+2cos4sinC=(l+2cosJ)sinB

sinB

sin(/+8)=sin5+2sinBcos力,sirUcosB一cos/sinB=sinB,sin(4—8)=sinB

所以4-8=8或4-8+5=180（舍），所以/=28

8.（2023春•辽宁本溪•高三校考阶段练习）已知“8C的内角4&C的对边分别为a,b,c,B为钝角.若^ABC

的面积为S,且4bs=4（/+。2-*.

TT

（1）证明：B=《+4；

（2）求sin4+sinC的最大值.

【答案】⑴证明见解析（2）J9

O

【分析】（1）利用余弦定理及面积公式将条件变形得cosZ=sin8,再利用诱导公式及三角函数的性质可证

明结论；

（2）利用（1）的结论及三角公式，将sin/+sinC转化为关于cos8的二次函数，然后配方可以求最值.

,222

【详解】（1）由余弦定理cos/二二型二士得2bccos/l=Z>2+，_Q2,

2bc

4bsM,1.口

/.-----=2PCCOSJ=—x—acsmB,

aa2

/.cos4=sin6,/.cos4=cos'一

•••8为钝角，则均为锐角，=即6=>4；

（2）sin/+sinC=sin（8一］）+sin（8+8-^）=一cosB-cos2B=一2cos2B-cos8+1,

令cos8=/，•••B为钝角，贝！

/.sinA+sinC——2/1=—2\t+—|+一，

I4j8

119

当"一:，即cosB=-：时，sinN+sinC取最大值，且为

448

9.（2021•全国•高三专题练习）在春5。中，求证：

（1）（（72-h2-c2）tanJ+-h2+c2）tan^=0；

cos24cos28_11

⑵下厂二/一千

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；

【分析】（1）根据余弦定理将。2-〃-C2=-26欧。$4/-62+02=2叱（：。$8代入左式，整理结合正弦定理,

即可证明等式；

（2）用二倍角公式将cos24cos28转化为sin4sin8,再由正弦定理，即可证明等式.

【详解】(1)(a2-b1-c2Y&nA+(a2-b1+c2JtanS

=-2bccos4•tan4+2accosB•tan8

入、,sinAsin8、八~八③一

=2abe(--------+—--)=0,.*.等式成立；

ab

/、、cos2/4cos251-2sin2A1-2sin2B

(2)------------=------------------

a2b2a2b2

112sin2A2sin2B11砧4占

=/一落丁+b7下二等式成立・

【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理证明三角恒等式，考查计算求解能力，属于基础题.

10.(2022秋•河北唐山・高三开滦第二中学校考阶段练习)已知“C分别为A/8C的三个内角48,。的对边,

a-b_sinC-sin5

csin4+sin5

⑴求力；

⑵若3c=36+耳，证明：c=2b.

【答案】(1)、=4

(2)证明见解析.

【分析】(1)由已知结合正弦定理角化边，可得c2+/-a2=bc,利用余弦定理即可求得答案；

(2)利用正弦定理边化角，化简3c=36+儡，可得石cos8-sin8=1,结合辅助角公式化简可求得角B

以及角C,利用直角三角形性质即可证明结论.

【详解】(1)由题意":sm：s%由正弦定理可得生虫=匕),

csin4+Sinnca+b

BP(a-b)(a+b)=c(c-b),c2+b2-a2=bc,

c2+〃-a21

故cosA=

2bc2

而心(0,兀)，故/

(2)证明：因为3c=36+耳，由正弦定理可得3sinC=3sinB+6si