医用物理学课件：狭义相对论基础

狭义相对论基础爱因斯坦相对性原理狭义相对论的时空观洛伦兹变换与相对论的速度叠加相对论的动量和能量相对论创立的背景：

麦克斯韦方程组所要求的相对性与经典物理时空观之间存在矛盾.

相对论的地位：

相对论完全改变了人们对绝对时空的传统看法,是现代物理的两大支柱之一.一.爱因斯坦的思想实验追光实验——结论：经典的速度叠加原理对光而言是不正确的.二.迈克耳孙－莫雷实验结论：以太是不存在的——没有绝对惯性系.§11-1爱因斯坦相对性原理爱因斯坦于1879年3月14日出生在德国一个犹太人家庭.1933年因纳粹迫害,他迁居美国.1955年4月18日病逝于普林斯顿.三.爱因斯坦传略1896年,瑞士苏黎士联邦工业大学毕业.两年后他在瑞士伯尔尼市专利局找到一个职员的位置.他利用业余时间看了大量的书.这段时间奠定了他一生科学研究的基础.1905年,爱因斯坦在狭义相对论、光电效应和布朗运动三个不同领域里取得了重大成果.四.经典物理的相对论牛顿定律在所有的惯性参考系中都完全等价物理定律在惯性参考系中具有最简单的形式地球参考系、科里奥利(G.G.Coriolis)力伽利略关于相对性的描述：一个在密闭船舱中的人无法通过里面的物理实验判断船是静止还是以某个速度匀速运动,任何惯性参考系都是等价的.五.狭义相对论的两个基本假设物理定律在所有的惯性参考系中都完全等价,

并且形式最简单(假设I).光在真空中速率为常量,不依赖光源与观察者之间的相对运动(假设II).§11-2

狭义相对论的时空观一.同时性

观察者B站在站台上,同时接收到两个闪光.他会发现与车厢一起运动的观察者A并非同时接收到这两个闪光,同时性不是绝对的.(a)一个宇航员使用一个电子表测量光经过飞船的时间,光在飞船参考系中传播了2D的距离.(b)地球上一个观察者看到的是光传播了更长的路径,长度为2s,花的时间为

t.(c)2D与2s的关系可从对这几个三角形分析中得到.二.时间膨胀

宇航员测量到的时间

地球观察者测量到的时间

在地球观察者看来由勾股定理于是结论其中静止参考系中观察者测量到的时间(即固有时,为两个同地发生的事件的时间差)小于其他观察者测量到的时间.由于其他参考系中的观察者测量到的时间更长,这种效应被称为时间膨胀.如果相对速度远远小于光速,趋近于经典物理,几乎没有膨胀效应.相对速度不能超过光速.当v趋近于c,

t趋向于无穷大.这就是说如果飞船以光速飞行,它上面的时间在地球观察者看来是停滞的.如果v超过了c,那么公式的结果是个虚数.当然也可能速度大于光速时公式不再成立.解题思路

在

子自身参考系中,观察者测量到的时间为固有时,所以

t0=1.53

s.地球观察者测出的时间由公式(10.1)给出.例1

快速的

子能“活”多长时间？设想一个宇宙射线与高层大气原子核碰撞产生的

子具有速度v

=0.95c.设想它以不变的速度飞向地球,并且在自身参考系中有1.53

s的寿命,在地球参考系看来它的寿命为多少？解根据公式(10.1),地球参考系看来

子的寿命为

其中结果运动是相对的,但要进行对比的话,单纯两个惯性系是无法实现的.时间膨胀需要在惯性系中观察.两个孪生兄弟的相对运动并不对称,一个需要加速,另一个则不需要.三.孪生子佯谬Hafele与Keating实验:"DuringOctober,1971,fourcesiumatomicbeamclockswereflownonregularl.y.scheduledcommercialjetflightsaroundtheworldtwice,onceeastwardandoncewestward,totestEinstein'stheoryofrelativitywithmacroscopicclocks.Fromtheactualflightpathsofeachtrip,thetheorypredictedthatthefl.y.ingclocks,comparedwithreferenceclocksattheU.S.NavalObservatory,shouldhavelost40±23nanosecondsduringtheeastwardtripandshouldhavegained275±21nanosecondsduringthewestwardtrip...RelativetotheatomictimescaleoftheU.S.NavalObservatory,thefl.y.ingclockslost59±10nanosecondsduringtheeastwardtripandgained273±7nanosecondduringthewestwardtrip,wheretheerrorsarethecorrespondingstandarddeviations.Theseresultsprovideanunambiguousempiricalresolutionofthefamousclock‘paradox’withmacroscopicclocks."J.C.HafeleandR.E.Keating,Science177,166(1972)四.长度收缩

(a)地球观察者看到

子刚好穿越1.39km厚的云层.(b)

子发现自己只走了0.44km,云层以及地球上所有其他静止的物体在运动方向上都缩短了.在子参考系中测量速度：在地球参考系中测量速度：这两个速度相等＋时间膨胀测量任何运动的长度,我们都会发现结果比在静止参考系中测量来得小.测量运动的长度有两种方法,要么同时对比长度的两端坐标,要么用速度乘以长度两端通过某一点的时间差,前一种方法不需要知道运动速度.

例2

宇航员高速运动观察到的星际距离收缩设想一个宇航员,比如前面孪生子佯谬中的哥哥,乘飞船作高速运动,相对论因子为

=30.(1)他从地球飞到最近的星系——半人马座.地球观察者测量他所花的时间是4.3光年(l.y.),对地球到半人马座的距离宇航员的测量结果是多少？(2)他相对于地球的速度是多少？解题思路对(1)问,注意4.3l.y.是地球与半人马座之间的静止距离,因为地球和半人马座都相对于地球观察者静止(近似).对宇航员来说,地球和半人马座以相同速度运动,所以他观察到的距离按公式(10.2)收缩了.对(2)问,我们已知

,可以从它的定义解出速度v.

解：(1)从公式(10.2)我们可以得出

(2)把

值代入其定义中

解此方程可得v

=

0.9994c.高速运动电子的电场在运动方向上压缩变形.当它高速穿过一个线圈时,实验可证实这一点.高速运动时变形引伸：在相对论的时空里,物体不再具有绝对的刚性,物体在高速运动时,看来是“软”的.上图是劫匪看到的情形,火车比隧道要短,可以把火车截在隧道中；下图是火车上乘客看到的情形,隧道比火车短,隧道两端无法同时被堵住.§11-3

洛伦兹变换与相对论的速度叠加一.洛伦兹变换如果选定在t=0时刻两个参考系的坐标原点重叠,并且时间都置于0时刻,并假设两个参考系的相对运动只发生在x轴方向上,那么伽里略变换可表示为：

x

=x–vt

y

=y

z

=z

t

=t

一般情况下约定自己所在参考系(静止参考系)的坐标不带

,而运动参考系的坐标则是带

的.Ox

y

z

S

O

在相对论中,

一个事件在不同惯性参考系中的坐标可用洛伦兹变换联系起来：

x

=

(x

+

vt

)y

=

y

z

=

z

t

=

(t

+

vx

/c2)

洛伦兹变换的逆变换式是其中x

=

(x

–vt)y

=yz

=zt

=

(t

–vx/c2)例3

火车以相对论因子

=

2的速度向右运动.火车头到达隧道右边出口时,右边劫匪堵住该隧道口.隧道与火车的静止长度都是500m,两个劫匪在隧道参考系中同时堵住隧道口.(1)在他们看来,堵住隧道口时,火车尾运动到什么位置？(2)在火车上的乘客看来,两个劫匪的动作谁先谁后？解题思路设左边劫匪堵住隧道口时,时空坐标在隧道参考系和火车参考系分别为(x1,t1)和(

,

),其中假设了隧道沿着x方向.火车头到达隧道右边出口与右边劫匪堵住该隧道口两个事件同时同地发生,可看成一个事件,时空坐标在两个参考系分别为(x2,t2)和(

,).解题思路(续)

不妨以火车头到达隧道右边出口这个事件作为两个参考系时空坐标系对齐的事件,即令x2

==

0,t2

=

=0.对于第一问,可以有两种方法,第一是用简单的长度收缩公式(10.2),因为问题很简单,只要了解静止观察者对运动物体长度的测量结果就可以了；第二种方法是把火车尾经过左隧道口看成另一事件(x3,t3),找出这个事件发生的时间.然后用左边劫匪堵截的时间和这个时间之差乘以火车运动速度.对于第二问,采用洛伦兹变换式(10.4)把隧道参考系的坐标转换到火车坐标系即可.解

(1)方法一：在劫匪看来,火车长度收缩变成因此此时火车尾应该运动到隧道的中央.方法二：设火车尾经过左边隧道口的时空坐标在两个参考系分别为(x3,t3)和(

,

),隧道长度为500m,因此

x2

-

x3

=

L

=500m令x2

=

=0,t2=

=0.故x3

=-

L

=-500m,根据洛伦兹变换式(10.4)及其逆变换,要求得t3,显然要知道

或

.我们从火车的角度来看,火车尾的坐标始终是

=-L

.根据洛伦兹变换

=

(x3

–vt3)利用x3

=-

L,可解得

t3

=-

L(1–1/

)/v注意到

>1,所以t3<0.因此在劫匪看来,火车尾经过左隧道口的时刻早于自己堵截的时刻(0时刻).在0时刻时,左边劫匪进行堵截,这时火车尾进入到隧道的距离为：v(0-

t3)=

L(1–1/

)=250m,因此刚好运动到隧道中央.与方法一结论一致.

(2)根据洛伦兹变换

=

(t1

–vx1/c2)因为两个劫匪在隧道参考系中是同时堵住隧道口,因此t1

=

t2

=0.火车长度x2

-x1

=

L

=500m.故

=

(t1

–vx1/c2)=

-

vx1/c2

=

vL/c2>0而

=0,因此乘客看来左边劫匪要晚些动作.上图表示小卡车中石头的投掷方向与小卡车运动方向相同,石头相对于行人速度为两个速度简单相加；下图表示小卡车中石头的投掷方向与小卡车运动方向相反,石头相对于行人速度为小卡车运动速度减去石头投掷速度.v为小卡车相对于地球的速度,u为石头相对于行人的速度.u

为石头相对于小卡车的速度.经典的速度叠加法则是这样表述的：

u

=

v+u

二、相对论的速度叠加一维情况下相对论的速度叠加法则是这里v是两个观察者之间的相对速度,u是物体相对某一观察者的速度,u

是物体相对于另一观察者的速度.

在低速的情况下,上述结论过渡到经典的速度叠加法则.例4

光速不变假设一艘飞船朝地球以0.5c的速度飞来,并向地球发射一束激光.已知激光离开飞船的速度是c,计算它到达地球的速度.解题思路观察者或参考系的相对速度是v=0.5c,而光相对于飞船的速度是u

=

c.要计算光相对于地球的速度u.可使用公式(10.3).解：把v和u

的值代入公式(10.3)计算可得出u

=

c.此结论与相对论假设II完全符合.例5

假设飞船以0.5c的速度接近地球,并以0.75c的速度射出一枚子弹.(1)如果子弹射向地球,请问地球观察者测量到子弹的速度为多大？(2)如果子弹是朝背离地球的方向射出,结果又是如何？解题思路

如前述例子,观察者的相对速度是v

=0.5c,我们要求出u.对(1)问,已知u

=

+0.75c；对(2)问,已知u

=

-0.75c.正负号分别表示u

的方向与v方向相同和相反.同样可采用公式(10.3).解：(1)把已知量代入公式(10.3)可得计算可得u

=0.909c(2)类似的,计算可得u=-

0.4c,负号表示速度方向是远离地球的(即与v反向).对光或任意电磁波而言,当光源和观察者相背运动时波长要变长(红移),相向运动时波长要变短(蓝移).相对论中光的多普勒效应的公式为

这里

obs是观察到的光波波长,

s是光源发出的光波波长,u是光源相对于观察者的速度.相背运动u为正,相向运动u为负.

§11-4

相对论动量和能量一.相对论动量

相对论动量定义为经典动量乘以相对论因子

.它的方程形式为

p

=

mu

这里m为物体的质量,u为物体相对于观察者的速度,相对论因子相对论动量随速度变化,在速度接近于光速时,相对论动量趋近于无穷大.动质量

m=

m0二、相对论能量总能量与静止能量爱因斯坦证明如果相对论能量作如下定义,那么它也是守恒的.

E=

m0c2

其中m0为静止质量,c为光速,v为物体相对于观察者的速度.

物体静止时能量并不为零,而是静止能量

E0

=

m0c2

质量是能量的一种形式,能量也是质量的一种形式.存储能量与势能输入的能量变成了物体总能量的一部分,因此这会增加物体的静止质量.例6

由于能量的注入导致的微小质量增加汽车电池能以12.0V的电压充600A

h的电量.(1)计算电池从完全无电到完全充满,质量的增加；(2)如果电池质量是20kg,请问质量增加的百分比是多少？解题思路

对(1)问,我们必须先找到存储在电池中的能量.因为W

=

qV,我们可简单把电荷量与充电电压相乘.

然后再利用公式

E

=

W

=

(

m)c2计算电池质量的增加;对(2)问,把比例转换成百分比即可.解：(1)因为电荷量等于电流乘以时间,所以

q=

It

=600A

h

由于单位A即C/s(库仑每秒),1h

=

3600s,因此

q

=600C/s

3600s=2.16×106C

所以存储的电势能为

W=

qV

=(2.16×106C)(12.0V)

注意到1V=1J/C,所以可计算出

W

=2.60×107J质量的增加为(2)质量增加的百分比是

由于c2很大,日常生活中质量的增加往往非常小,可以忽略.

动能和速度极限相对论动能

Ekr

=

(

–1)

m0c2形式上看相对论动能和经典动能(1/2)m0v2的形式很不一样,不过我们可以用二项式展开来验证它们在低速情况下是一致的：可见相对论动能与经典动能在低速(v

<<c)情况下是一致的.任何有质量的物体都无法达到光速.

省略号表示(v2/c2)的高次方项.因此在低速时动能的相对论形式和速度极限已在无数的实验中得到验证.不管有多少能量用来加速一个粒子,它的速度都只能逼近光速,而无法达到.

相对论动能与经典动能随速度变化,在速度趋近于光速时,相对论动能趋向于无穷大,而经典动能仍然有限.例7

用MeV表示速度为v

=

0.99c的电子的动能,并与经典的动能值对比.解题思路

速度在接近光速的时候必须使用动能的相对论形式,我们可以预计在如此接近