医用物理学课件：静电场

静电场库仑定律高斯定理静电场力的功电势静电场中的电介质静电场的能量电是一种现象,人们通过毛皮与琥珀的摩擦和对自然界闪电的观测发现了这一现象.一.电荷的基本性质电荷是构成物质的基本粒子的一种性质,不能脱离物质而存在.

只存在两种电荷——正电荷和负电荷,同种电荷相斥,异种电荷相吸.§5-1

库仑定律

电荷量子化(chargequantization)1906-1917年,密立根用液滴法首先在实验上证明了电荷量的变化是不连续的.微小粒子带电荷量Q=Ne

.元电荷e

1.60210-19CC(库仑)是电荷量的单位,它是由A(安培)导出的,导线中有1A电流,1s内流过导线横截面的电荷量为1C.

电荷的相对论不变性带电粒子的电荷量不因其运动状态的变化而发生变化.

电荷守恒定律(lawofconservationofcharge)在一个与外界没有电荷交换的系统内,正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变.电荷守恒定律是物理学中的基本定律.二.库仑定律1785年,库仑通过扭称实验得到.表述为：在真空中,两个静止点电荷之间的相互作用力大小,与它们的电荷量的乘积成正比,与它们之间距离的平方成反比；作用力的方向沿着它们的连线,同种电荷相斥,异种电荷相吸.以表示电荷q1对电荷q2的作用力,

表示由电荷q1指向电荷q2的单位矢量,则而电荷q2受到电荷q1的作用力为真空中两静止点电荷间作用力满足q1q2q1q2在国际单位制中,

k

写成

08.8510-12C2·N-1·

m-2,称为真空电容率,也称为真空介电常数.库仑定律是一实验定律,其精确性已经受了各种检验,它在原子尺度内也是适用的,可正确描述电子与原子核间的作用力,而且对于原子结合成分子,原子、分子聚合成固体、液体的力也可给出正确说明.在早期的实验中,r的指数并不严格地等于2,差值大约在0.02~0.04.从公式的形式上看库仑定律与万有引力公式相同.引力公式通过类比,物理学家确信库仑定律中r的指数应严格等于

2.现在的实验证明这个偏差不大于10-16.多电荷的作用力——静电力叠加原理实验证明,静电力满足叠加原理如图：电荷q受力为对于点电荷系对某电荷q的作用可表示为q1q2qF1F2Fr2r1qiq对于电荷连续分布的带电体,可将带电体分割成若干小带电体dq,带电体对某电荷q的作用可视为dq作用的叠加,

表示为rdqQ三.电场电场强度法拉第提出近距作用,并提出力线和场的概念.(一)电场

(electricfield)电荷在其周围产生电场,对存在于该电场内的其他电荷施加作用.1.电场的基本性质对放其内的任何电荷都有作用力电场力对移动电荷做功2.静电场相对于观察者静止的电荷产生的电场是电磁场的一种特殊形式(二)电场强度

(electricfieldintensity)电场强度是描述场中各点电场的强弱的物理量.以单位电荷在电场中的受力来描述：一空间带电体,电荷量为Q,考察P点的场强,为此引入一试验电荷q放到P处,测量试验电荷受力状况.QPq试验电荷应满足的条件为电荷量充分地小线度足够地小P点处试验电荷受力为实验表明：P点比值与试验电荷无关电场强度定义为单位N/C或V/mQPq点电荷在电场中受的电场力电场强度与源电荷及场点位置有关,试验电荷在此仅为辅助的工具,与电场的存在与否无关.电场是矢量场,可用一空间坐标的矢量函数表示这样的函数表达了空间中各点的电场强弱及方向,表达了电场在空间的分布.(三).电场强度的计算1.点电荷的场强公式根据库仑定律和场强的定义由库仑定律由场强定义由上述两式得Qq试验电荷

点电荷的电场特点：球对称;以1/r2衰减.从源电荷指向场点,r能等于0吗？场强方向为正电荷受力方向.qQ由场强定义qiq2.场强叠加原理任意带电体的场强可根据静电力叠加原理和场强定义求得.如果带电体由n

个点电荷组成,如图由静电力叠加原理整理后得场强叠加原理表述为：电场中某点的场强等于产生电场的每个电荷单独在该点产生的场强的叠加(矢量和).对于点电荷系若带电体是电荷连续分布的,如图所示.把带电体看作是由许多个电荷元组成,然后利用场强叠加原理：其中

为电荷体密度.rdqQ

线电荷密度注意：电荷密度是带电体内电荷的分布函数,不一定是常量.带电体电荷的分布：电荷密度

体电荷密度

面电荷密度例1

长为l

均匀带电直线,电荷线密度为

,求：如图所示P点的电场强度.解：在坐标x处取一个电荷元dq该点电荷在P

点的场强方向如图所示,

大小为xOdxrlPax由于各电荷元在P点的场强方向一致,则场强大小直接相加xOdxrlPax例2

求均匀带电圆环(电荷量Q,半径R)轴线上的场强解：在圆环上任取电荷元dq由对称性分析知垂直x轴的场强为0xOzydqR

x若

x>>R与电荷全部集中在圆心时的点电荷电场相同其中例3

求半径为R,面电荷密度为

的均匀带电圆盘在轴线上任一点产生的场强.

可利用上题结果：R

xprodrdqx将此圆盘分解成一系列宽度为dr的同心圆环,同心圆环上的电荷量为2

rdr,在P点的场强为dER

xProdrdqx当x<<R

“无限大”均匀带电平板

当x>>R点电荷例4

电偶极子中垂线上的电场强度.电偶极子是由相距很近的等量异号点电荷组成的带电体系.由负电荷到正电荷的矢径称为电偶极子的轴线,轴线与其中一个电荷的绝对值的乘积称为电偶极矩.电偶极子是某些实际带电体的物理模型,如H2O分子的电特性可看作是一电偶极子,包括生物大分子等.“相距很近”是相对于我们在多大距离处观察它.电偶极矩-q+q取中垂线上任意点P,距偶极子为r由场强叠加原理,P点场强为由于r>>l,

r

r-

r+-q+qP由于-q+qPq与l

的乘积不变则电偶极子的电性质不变,电偶极矩是描述电偶极子特征的物理量.电偶极子的电场强度以1/r3衰减,比点电荷电场强度衰减快.电场是矢量场一.电场线用一族空间曲线形象描述场强分布,通常把这些曲线称为电场线(electricfieldline)或电力线(electriclineofforce).1.规定

场强方向：电场线上每一点的切线方向.场强大小：在电场中任一点,取一垂直于该点场强方向的面积元,使通过单位面积的电场线数目,等于该点场强的量值.§5-2高斯定理若面积元不垂直电场强度,电场强度与电场线条数、面积元的关系怎样？以dS

表示面元的大小,d

表示电场线条数,则由上面的规定可得dS

由图可知：通过dS和dS

电场线条数相同.dS

dS为dS的法线,

则

2.电场线的性质电场线起始于正电荷(或无穷远处),终止于负电荷(或无穷远处),不会在没有电荷处中断;

两条电场线不会相交;

静电场的电场线不会形成闭合曲线.这些基本性质由静电场的基本性质和场的单值性决定的,可用静电场的基本性质方程加以证明.

二.电通量

(electricflux)借助电场线认识电通量按前面对电场线的规定,电通量可定义为通过任一面的电场线条数.

通过任意面积元的电通量在流体一章中,用流速线来描绘流场,流场是速度的矢量场；对于电场这一矢量场,用电场线来描绘,在这一点上两者具有相似性.流场中通过任一面元的流量为与之相对应,通过任一面元的电通量就可定为

通过任意曲面的电通量怎么计算？将给定曲面S分成许多个小面积元,每一面元处视为匀强电场,则dS处的电通量为将上式对整个曲面积分,得曲面S的电通量S电场线穿入电场线穿出

通过闭合面的电通量规定：面元方向由闭合面内指向面外.S1.表述在真空中的静电场内,任一闭合面的电通量等于这闭合面所包围的电荷量的代数和除以

0.三.高斯定理(Gausstheorem)先证明点电荷的场,然后由库仑定律和叠加原理推广至一般电荷分布的场.(1)场源电荷是点电荷2.高斯定理的证明

以点电荷为中心以r为半径取一球形闭合面(如图示)球面上场强处处相等各处场强方向垂直该处球面特点qS面上场强为过球面的电通量为因球面上场强处处相等,上式写为因场强方向垂直球面qS通过球面的电通量为

取任意闭合面S

包围点电荷q,由电通量的电场线解释可知：过任意闭合面的电通量与过球面的电通量相等,如图S

S(2)场源电荷仍是点电荷取一不包围点电荷的闭合面S(如图所示).由图中可见,电场线穿越此闭合面,进入与穿出闭合面的电场线条数相等.电场线进入闭合面的这一区域的电通量为负,电场线穿出闭合面的区域的电通量为正,且两者绝对值相等,则通过此闭合面的全部电通量为“0”.Sq(3)任意场源和面如图,这一带电体系由多个点电荷q1,q2,…,qk,…,qn组成,这一体系的电场根据叠加原理可得任取一闭合面S包围其中q1,q2,…,qk电荷,通过闭合面S的电通量为S根据前面的证明,上式前k项的和为k+1项到n项的和为0由此可得1.闭合面内、外电荷的贡献对

都有贡献.2.静电场性质的基本方程有源场3.源于库仑定律高于库仑定律对电通量的贡献有差别.只有闭合面内的电荷量对电通量有贡献.讨论非静电场也适用四.高斯定理的应用均匀带电的球面;均匀带电的无限长的柱面,带电线;无限大均匀带电平板,平面.对电荷的分布具有某种对称性的情况下利用高斯定理求解E较为方便.

常见的电荷量对称性分布有：例1

均匀带电球面,半径为R,总电荷量为Q.

求：电场强度分布.根据电荷分布的对称性分析可知,距球面等距离处场强大小相等,且场强方向垂直球面,选取过任意点P的以球心O为心的球面.解:QROPS计算通过此面的电通量根据高斯定理带电球面内外场强表达式不同E=0QROPS得到一.静电场力作的功电场对处于其中的电荷有作用力,若移动这些电荷,电场力可能做功.在点电荷q的电场中,取一试探电荷q0由a点移至b点的过程中,电场力做的功为§5-3静电场的功电势

qrbra

abcos

dl=dr

dr

qrbra

ab由此看到,电场力做功由被移动电荷的起点、终点的位置决定,而与移动的路径无关,因此静电场是保守力场.在点电荷系的电场和电荷连续分布的电场中,结论也是如此.如右图q1q2q0bara1ra2rb1rb2更普遍的形式静电场的环路定理表述为静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零二.静电场的环路定理(Circulationtheorem)在静电场中,沿闭合路径L移动电荷q

,电场力做功环路定理是静电场的基本方程,可用环路定理检验一个电场是不是静电场.环路定理要求静电场的电场线不能闭合.静电场是保守场,无旋场.电场线如图电场是静电场吗？电场线一试探电荷q0在静电场中由a点移动至b点,在此过程中静电力对q0所做的功Aab等于电势能的减少.电势能应属于q0和产生电场的场源电荷所共有.三.电势1.电势能静电场是保守力场,可引入电势能的概念.静电力做功和势能增量的关系为选参考点的原则：当源电荷分布在有限范围内时,参考点一般选在无穷远.对于实际问题,如电器等可选机壳或大地为参考点.静电力(或外力)做功给出了势能的变化量.电势能的具体量值则需要给出参考点——势能零点.若令b点电势能为0,则q0在电场中某点a的电势能为2.电势(electricPotential)电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移至参考点过程中电场力作的功.

电势是表征电场性质的物理量,是由场源电荷决定的,与试探电荷的存在与否无关.电势的量值与电势零点的选择有关,电势零点即是电势能的零点.3.电势差(ElectricPotentialdifference)即两点间的电势之差静电场中由a到b移动电荷,电场力做功为电势是空间位置的标量函数,即U=U(x,y,z).单位：V(伏特)1V＝lJ

C-1

4.电势的计算当带电体系的电场分布已知时,可根据电势定义求电势的分布.

点电荷电场的电势已知点电荷场强选无穷远处为电势零点qPr

特点:球对称、有正负

任意带电体电场的电势电势叠加原理由定义各带电体在场点P产生的电场为分别E1、E2、….

场点P的电势电势叠加原理：电场中某点的电势等于各电荷单独在该点产生的电势的代数和.注意：各带电体的电势零点必须相同.电荷离散分布电荷连续分布例1

计算电荷量为Q均匀带电球面的电势(如图).解：均匀带电球面电场的分布为若场点选在球内,即r<RRPrQ场点在球面外,即r>RRPrQORUrO球面内等电势,等势体球面外与电荷量集中在球心的点电荷的电势分布相同例2

计算电荷量为Q

的带电圆环中心处的电势.解：在圆环上任取一电荷元dq,

则电荷元在中心的电势为由电势叠加原理球面上电荷在球心的总电势dqRQO思考：上题中是否要求电荷量分布均匀？球面中心如何？圆弧如何？两同心带电球面的电势如何计算？QQ’

电偶极子电场的电势根据电势叠加原理,P点的总电势应为根据电偶极子的定义知r+>>

l,

r->>

l,r

>>

l,故可认为r+r-

r2,r+

-r-

lcos

,p=ql

.

-q+qP

电偶极子电场中的电势与电矩成正比.说明电矩是表征电偶极子整体电性质的物理量.

电偶极子的电势与r的平方成反比.说明电偶极子的电场比起点电荷的电场,其电势随r的变化更快.

电偶极子电场中电势的分布与方位有关.以电偶极子轴线的中垂面为零势面而将整个电场分为正、负两个对称的区域,正电荷所在一侧为正电势区；负电荷所在一侧为负电势区.电偶极子电场的电势分布特点：例3平行板电容器两板间的电势差.解：平行板电容器内部的场强为两板间的电势差ds-s5.等势面由电势相等的点组成的面叫等势面.

当常量C取等间隔数值时,在电场中可以得到一系列的等势面,这些面间的电势差相等.等势面的疏密反映了电势变化的快慢程度.这些点满足在等势面上任意相距dl的两点间有dU＝Ecos

dl＝0,但E

0,dl

0,则

=/2.即等势面必与电场线垂直.

电场线与等势面的关系(1)电场线处处垂直等势面

q电场线等势面(2)电场线从高电势处指向低电势处.(3)等势面密处场强大.四.电场强度与电势的关系在电场中任取相距很近的两等势面A,B,且UA

UBUA=UB+dU现有一实验电荷q0由a点沿dl移动到b点,电场力做功为得到

aUBUAbb

若选取与电场方向相反的方向,

则方向导数为有显然,沿不同方向电势的变化率是不同的,沿

方向电势变化率最快电势沿

方向的增加率,称方向导数El为a点电场强度沿

方向的分量.

aUBUAbb

电势梯度矢量电势沿增加最快的方向的变化率,记作

U或gradU.

方向：电势增加最快的方向.大小：沿该方向的电势变化率.

场强和电势梯度的关系由前面的分析可知电场强度矢量等于电势梯度矢量的负值.

aUBUAbb

利用上述的结论,在已知电势分布函数时可以求解电场分布.例如点电荷的电势q直角坐标下梯度算符因此有物质依导电性质的不同可分为：导体(conductor)存在大量的可自由移动的电荷.

绝缘体(dielectric)理论上认为没有自由移动的电荷,

也称电介质.

半导体(semiconductor)介于上述两者之间.本节讨论电介质对电场的影响.§5-4静电场中的电介质一.电介质的微观图像

有极分子H2O,HCl无极分子He,H2,CO2无外场时：有极分子无极分子+

-二.电介质的极化1.无电场时介质分子热运动,紊乱,呈电中性2.有电场时

有极分子介质取向极化共同效果是介质边缘出现电荷分布

无极分子介质位移极化此电荷称极化电荷,或称束缚电荷.电偶极子排列的有序程度反映了介质被极化的程度.3.极化强度取宏观上无限小微观上无限大的体积元

V定义单位:C/m2为每个分子的电偶极矩为极化强度矢量

对于各向同性线性电介质有

e介质的电极化率

r介质的相对电容率4.极化强度与极化电荷的关系在已极化的介质内任意作一闭合面S,S将把位于S面附近的电介质分子分为两部分：一部分在S内,

一部分在S外.部分电偶极矩跨越S面.S

在S面上取一小面元dS,以dS为底,以电偶极子轴长l为斜高作一柱体,如图所示.在dS附近薄层内认为介质均匀极化,分子数密度为n,柱体内的分子数为nldScos

.由于极化,穿过dS的电荷量为l

如果

/2落在柱面内的是负电荷;如果

>/2落在柱面内的是正电荷.在S所围的体积内的极化电荷q

与P的关系柱面内的极化电荷l

电介质表面极化电荷面密度如果dS在位于介质的表面,则表面极化电荷面密度为l

为表面法向矢量三.电介质中的静电场自由电荷