+吉林省长春市宽城区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

2023-2024学年吉林省长春市宽城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）若分式的值为0，则实数x应满足的条件是（）A．x＝2 B．x≠2 C．x＝﹣4 D．x≠﹣42．（3分）下列运算正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．a2•a3＝a6 C．（a2）3＝a5 D．a5÷a2＝a33．（3分）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．目前，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（）A．1.4×10﹣8 B．14×10﹣7 C．0.14×10﹣6 D．1.4×10﹣94．（3分）我们可以用以下推理来证明“当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）满足a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形”．假设这个三角形是直角三角形，根据勾股定理2+b2＝c2，这与已知条件a2+b2≠c2矛盾，因此假设不成立，即这个三角形不是直角三角形．上述推理使用的证明方法是（）A．比较法 B．反证法 C．综合法 D．分析法5．（3分）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB'的中点．只要量出A′B′的长度．就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（）A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两点之间线段最短6．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，可得∠ACD的大小为（）A．100° B．70° C．20° D．10°7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，则∠BAD的大小为（）A．50° B．51° C．52° D．54°8．（3分）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，斜边长为c．若b﹣a＝2，c＝10（）A．12 B．14 C．16 D．18二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）分解因式：m2﹣4m﹣5＝．10．（3分）命题“等角对等边”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）11．（3分）《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有40名学生，则该班学会炒菜的学生频数是．12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心的长为半径作弧，两弧交于点D，则∠BAE的大小是度．13．（3分）某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时（即BC＝1.6米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD的长为米．14．（3分）两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放．将两个三角板抽象成如图②所示的△ABC和△ADE，点B、C、D依次在同一条直线上，连接CE．若CD＝1，则点A到直线BC的距离为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）计算：．16．（6分）代数式化简：．17．（6分）先化简，再求值：（a﹣3b）2﹣（a+b）（a﹣b）+（4ab2﹣2b3）÷b，其中，．18．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作一个等腰△ABC，点C在格点上．（1）在图①中，等腰△ABC的面积为．（2）在图②中，等腰△ABC的面积为5．（3）在图③中，△ABC是面积为的等腰钝角三角形．19．（7分）随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务20．（7分）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线AB的两侧，CE＝DF，AD＝BC．（1）求证：△ACE≌△BDF．（2）若∠CDF＝55°，求∠ACE的度数．21．（8分）2023年，教育部等八部门联合印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》．某中学为落实该方案，成立了四个主题阅读社团：A．民俗文化，C．古典诗词，D．红色经典．学校规定：每名学生必须参加且只能参加其中一个社团．学校对全校学生选择社团的情况进行了调查（1）求全校学生的总人数．（2）把条形统计图补充完整（要求在条形图上方注明人数）．（3）求参加“民俗文化”社团人数占全校学生总人数的百分比．（4）求扇形统计图中“D”部分所对应扇形圆心角的度数．22．（9分）现有甲、乙、丙三种卡片各若干张，卡片的边长如图①所示（a＞1）．某同学分别用六张卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），其面积分别为S1、S2．（1）计算S1、S2．（用含a的代数式分别表示）（2）当a＝2时，分别求S1、S2的值．（3）比较S1与S2的大小，并说明理由．23．（10分）如图，∠MON＝60°，点A是射线ON上一点，交∠MON的平分线于点B．点C是线段OB上一点（点C不与点O、B重合），连结AC，得到线段AD，连结BD．（1）求证：AO＝AB．（2）求∠ABD的度数．（3）设∠BAD＝α，当△ABC为钝角三角形时，直接写出α的取值范围．24．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝20．点D从点A出发，沿边AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动（t＞0）．（1）求边AB的长．（2）当线段CD的长取最小值时，求t的值．（3）当△ACD是轴对称图形时，求所有满足条件的t的值．

2023-2024学年吉林省长春市宽城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）若分式的值为0，则实数x应满足的条件是（）A．x＝2 B．x≠2 C．x＝﹣4 D．x≠﹣4【分析】根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可．【解答】解：∵分式的值为6，∴x﹣2＝0且x+5≠0，解得x＝2，故选：A．【点评】本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零分子为零的条件是解题的关键．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．a2•a3＝a6 C．（a2）3＝a5 D．a5÷a2＝a3【分析】直接利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别化简，进而得出答案．【解答】解：A．a3﹣a2无法合并，故此选项不合题意；B．a2•a3＝a5，故此选项不合题意；C．（a7）3＝a6，故此选项不合题意；D．a7÷a2＝a3，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（3分）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．目前，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（）A．1.4×10﹣8 B．14×10﹣7 C．0.14×10﹣6 D．1.4×10﹣9【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：0.000000014＝1.4×10﹣8．故选：A．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．（3分）我们可以用以下推理来证明“当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）满足a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形”．假设这个三角形是直角三角形，根据勾股定理2+b2＝c2，这与已知条件a2+b2≠c2矛盾，因此假设不成立，即这个三角形不是直角三角形．上述推理使用的证明方法是（）A．比较法 B．反证法 C．综合法 D．分析法【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．【解答】解：推理使用的证明方法反证法，故选：B．【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5．（3分）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB'的中点．只要量出A′B′的长度．就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（）A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两点之间线段最短【分析】根据点O为AA'、BB'的中点得出OA＝OA'，OB＝OB'，根据对顶角相等得到∠AOB＝∠A'OB'，从而证得△AOB和△A'OB'全等，于是有AB＝A'B'，问题得证．【解答】解：∵点O为AA'、BB'的中点，∴OA＝OA'，OB＝OB'，由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'，在△AOB和△A'OB'中，，∴△AOB≌△A'OB'（SAS），∴AB＝A'B'，即只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，故选：B．【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．6．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，可得∠ACD的大小为（）A．100° B．70° C．20° D．10°【分析】先根据三角形的内角和求出∠ACB的值，再根据线段的垂直平分线的性质求解．【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝50°，∴∠ACB＝70°，由作图得：BD＝CD，∴∠DCB＝∠B＝50°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝20°，故选：C．【点评】本题考查了基本作图，掌握线段的垂直平分线的性质及角的和差是解题的关键．7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，则∠BAD的大小为（）A．50° B．51° C．52° D．54°【分析】由等腰三角形的性质可知∠C＝∠B＝∠BAD，利用三角形内角和定理得出180°﹣2∠BAD＝27°+∠BAD，解得∠BAD＝51°．【解答】解：∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C，∠B＝∠BAD，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝∠CAD+∠BAD，∴180°﹣2∠BAD＝27°+∠BAD，∴∠C＝51°，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．8．（3分）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，斜边长为c．若b﹣a＝2，c＝10（）A．12 B．14 C．16 D．18【分析】根据勾股定理可知a2+b2＝c2，再根据b﹣a＝2，c＝10，即可得到a、b的值，然后即可计算出每个直角三角形的面积．【解答】解：由图可得，a2+b2＝c6，∴且a，解得，∴a+b＝6+8＝14，故选：B．【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）分解因式：m2﹣4m﹣5＝（m﹣5）（m+1）．【分析】根据十字相乘法分解因式即可．【解答】解：m2﹣4m﹣3＝（m﹣5）（m+1）．故答案为：（m﹣4）（m+1）．【点评】本题考查了分解因式，能熟记x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）是解此题的关键．10．（3分）命题“等角对等边”的逆命题是真命题．（填“真”或“假”）【分析】先写出该命题的逆命题，再根据等腰三角形的性质判断即可．【解答】命题“等角对等边”的逆命题是：等边对等角，该命题是真命题，故答案为：真．【点评】本题主要考查了逆命题的定义及真假性，会判断命题的真假是解题的关键．11．（3分）《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有40名学生，则该班学会炒菜的学生频数是18．【分析】用频率乘以总数即可求．【解答】解：该班学会炒菜的学生频数为：40×0.45＝18，故答案为：18．【点评】本题考查了频数的计算；掌握频数的计算公式是解题的关键．12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心的长为半径作弧，两弧交于点D，则∠BAE的大小是55度．【分析】根据尺规作图可得AE是BC的垂直平分线，再根据直角三角形的两锐角互余可求∠BAE得大小．【解答】解：∵AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形，∵分别以点B和点C为圆心，大于，两弧交于点D．∴AE垂直平分BC，∴AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝55°．故答案为：55．【点评】本题考查等腰三角形的性质和尺规作图，熟练掌握垂直平分线的作法是解题关键．13．（3分）某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时（即BC＝1.6米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD的长为2.0米．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝2.4米，BE＝CD＝4.2米，∴AE＝AB﹣BE＝2.7﹣1.2＝4.2（米），在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝2.0（米），故答案为：2.4．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．14．（3分）两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放．将两个三角板抽象成如图②所示的△ABC和△ADE，点B、C、D依次在同一条直线上，连接CE．若CD＝1，则点A到直线BC的距离为．【分析】首先根据等边三角形的性质得∠BAC＝60°，AB＝AC，∠DAE＝60°，AD＝AE，进而可得出∠BAD＝∠CAE，据此可依据“SAS”判定△ABD和△ACE全等，从而得出BD＝CE＝3，进而得BC＝2，然后过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHC中，利用勾股定理可求出AH的长．【解答】解：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，AD＝AE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即：∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，即：BC+CD＝CE，∵CD＝1，CE＝3，∴BC+5＝3，∴BC＝2，过点A作AH⊥BC，垂足为H，∵△ABC是等边三角形，∴，AC＝BC＝3，在Rt△AHC中，AC＝2，由勾股定理得：．∴点A到直线BC的距离为．故答案为：．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，解答此题的关键是理解等边三角形的三条边都相等；三个角都等于60°，美衣边上的高，中线与对角的平分线重合；难点是根据“SAS”判定△ABD和△ACE全等．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）计算：．【分析】利用零指数幂，有理数的乘法法则及负整数指数幂计算即可．【解答】解：原式＝1+﹣＝2．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．16．（6分）代数式化简：．【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解后约分即可．【解答】解：原式＝•＝•＝•＝【点评】本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．17．（6分）先化简，再求值：（a﹣3b）2﹣（a+b）（a﹣b）+（4ab2﹣2b3）÷b，其中，．【分析】先根据完全平方公式、平方差公式和多项式除以单项式法则去掉括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子，进行有理数的混合运算即可．【解答】解：原式＝a2﹣6ab+2b2﹣a2+b8+4ab﹣2b5＝a2﹣a2+7b2+b2﹣3b2+4ab﹣6ab＝8b2﹣3ab，当时，原式＝＝＝＝．【点评】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式法则和合并同类项法则．18．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作一个等腰△ABC，点C在格点上．（1）在图①中，等腰△ABC的面积为．（2）在图②中，等腰△ABC的面积为5．（3）在图③中，△ABC是面积为的等腰钝角三角形．【分析】（1）作一个腰为3的等腰直角三角形即可；（2）作一个腰为的等腰直角三角形即可；（3）利用数形结合的思想画出图形即可．【解答】解：（1）如图1中，△ABC即为所求；（2）如图2中，△ABC即为所求；（3）如图6中，△ABC即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．19．（7分）随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务【分析】设原计划平均每天制作x个摆件，根据“结果提前5天完成任务”列分式方程，求解即可．【解答】解：设原计划平均每天制作x个摆件，根据题意，得，解得x＝200，经检验，x＝200是原方程的根，答：原计划平均每天制作200个摆件．【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并能根据题意建立方程是解题的关键．20．（7分）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线AB的两侧，CE＝DF，AD＝BC．（1）求证：△ACE≌△BDF．（2）若∠CDF＝55°，求∠ACE的度数．【分析】（1）由“SSS”可证△ACE≌△BDF；（2）由全等三角形的性质可得∠ACE＝∠BDF，即可求解．【解答】（1）证明：∵AD＝BC，∴AD﹣CD＝BC﹣CD，∴AC＝BD；在△ACE和△BDF中，，∴△ACE≌△BDF（SSS）；（2）解：由（1）可知：△ACE≌△BDF，∴∠ACE＝∠BDF，∵∠CDF＝55°，∴∠BDF＝125°＝∠ACE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．21．（8分）2023年，教育部等八部门联合印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》．某中学为落实该方案，成立了四个主题阅读社团：A．民俗文化，C．古典诗词，D．红色经典．学校规定：每名学生必须参加且只能参加其中一个社团．学校对全校学生选择社团的情况进行了调查（1）求全校学生的总人数．（2）把条形统计图补充完整（要求在条形图上方注明人数）．（3）求参加“民俗文化”社团人数占全校学生总人数的百分比．（4）求扇形统计图中“D”部分所对应扇形圆心角的度数．【分析】（1）用C人数除以所占比例即可得总人数；（2）用总人数减去其它组的人数求出B组的人数即可补全条形统计图；（3）用参加“民俗文化”社团人数除以总人数即可求出答案；（4）用360°乘以“D”社团所占百分比即可．【解答】解：（1）240÷40%＝600（人），答：全校学生的总人数为600人；（2）B组人数为600﹣（60+240+180）＝120（人），补全条形统计图如下：（3）×100%＝10%，答：参加“民俗文化”社团人数占全校学生总人数的百分比为10%；（4）扇形统计图中“D”部分所对应扇形圆心角的度数是360°×＝108°．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．（9分）现有甲、乙、丙三种卡片各若干张，卡片的边长如图①所示（a＞1）．某同学分别用六张卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），其面积分别为S1、S2．（1）计算S1、S2．（用含a的代数式分别表示）（2）当a＝2时，分别求S1、S2的值．（3）比较S1与S2的大小，并说明理由．【分析】（1）根据题意列得代数式即可；（2）将a＝2分别代入（1）中所求得得的代数式计算即可；（3）将（1）中所求得得的代数式作差计算后与0比较大小即可．【解答】解：（1）S1＝a2+2a+2×12＝a2+3a+5；S2＝（5a+4）×1＝5a+5；（2）当a＝2时，S1＝a7+3a+2＝52+3×7+2＝4+5+2＝12；S2＝6a+1＝5×6+1＝10+1＝11；（3）S7＞S2，理由如下：S1﹣S2＝a2+3a+5﹣（5a+1）＝a7+3a+2﹣7a﹣1＝a2﹣3a+1＝（a﹣1）6，∵a＞1，∴（a﹣1）4＞0，∴S1＞S3．【点评】本题考查列代数式，代数式求值及整式的加减，结合已知条件列得正确的代数式是解题的关键．23．（10分）如图，∠MON＝60°，点A是射线ON上一点，交∠MON的平分线于点B．点C是线段OB上一点（点C不与点O、B重合），连结AC，得到线段AD，连结BD．（1）求证：AO＝AB．（2）求∠ABD的度数．（3）设∠BAD＝α，当△ABC为钝角三角形时，直接写出α的取值范围．【分析】（1）先根据角平分线的定义推出∠MOB＝∠AOB，然后根据平行线的性质推出∠MOB＝∠ABO，等量代换推出∠ABO＝∠AOB，根据等角对等边即可得证；（2）根据旋转角推出∠OAC＝∠BAD，结合AC＝AD，AO＝AB，用SAS判定△OAC≌△BAD后根据全等三角形的对应角相等推出∠ABD＝∠AOC即可求出结果；（3）分两种情况：①∠BA