2022-2023学年山东省枣庄市高一（下）质检数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年山东省枣庄市高一（下）质检数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知向量，，若，则（）A．μ＝2λ B．μ＝﹣2λ C．λμ＝2 D．λμ＝﹣22．（5分）已知复数z满足z﹣＝0，且z•＝4，则z＝（）A．2 B．2i C．±2 D．±2i3．（5分）一个圆台的上、下底面的半径分别为1，4，母线长为5，则该圆台的侧面积为（）A．30π B．25π C．20π D．15π4．（5分）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，至少出现一次6点的概率为（）A． B． C． D．5．（5分）一组数据x1，x2，…，x2023（x1＜x2＜…＜x2023），记其均值为，第25百分位数为m，方差为s2，则（）A．m＝x505 B． C．数据ax1+b，ax2+b，…，ax2023+b的均值为 D．数据ax1+b，ax2+b，…，ax2023+b的方差为a2s26．（5分）已知i为虚数单位，若实数a使得ai+a2（i2023+1）﹣1为纯虚数，则a＝（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．27．（5分）某班50名学生骑自行车，骑电动车到校所需时间统计如表：到校方式人数平均用时（分钟）方差骑自行车203036骑电动车302016则这50名学生到校时间的方差为（）A．48 B．46 C．28 D．248．（5分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图1）．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图2）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒车转动的角速度ω为rad/s，如图3所示，盛水桶M（视为质点）的初始位置P0距水面的距离为3m，则3s后盛水桶M到水面的距离近似为（）A．4.0m B．3.8m C．3.6m D．3.4m二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）下列关于复数z的四个命题，真命题的为（）A．若∈R，则z∈R B．若z2∈R，则z∈R C．若|z﹣i|＝1，则|z|的最大值为2 D．若z3﹣1＝0，则z＝1（多选）10．（5分）已知点M是△ABC的重心，点A（1，2），B（2，3），C（﹣2，5），点D是BC上靠近点B的三等分点，则（）A． B． C． D．（多选）11．（5分）已知A，B为两个事件，，，则P（AB）的值可能为（）A． B． C． D．（多选）12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段BC1上的动点（不含两端点），则（）A．直线A1P与平面ACD1相交 B．三棱锥A﹣D1PC的体积不变 C．平面PDB1⊥平面ACD1 D．设直线DP与平面AC所成的角为θ，则tanθ取值范围为（0，1）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用按比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取50名学生，已知该校初中部和高中部分别有200名和800名学生，则从初中部应抽取的学生人数为．14．（5分）正△ABC边长为2，点P满足，则＝．15．（5分）设事件A，B相互独立，且，，则＝．16．（5分）M，N分别是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CC1，A1B1的中点，点P在正方体的表面上运动，总有MP⊥BN，则点P的轨迹所围成图形的面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）统计某班同学一次考试的数学成绩，得到如下频率分布直方图，已知该班学生数学成绩不低于80分的频率为0.60．（1）求频率分布直方图中a，b的值；（2）估计该班学生数学成绩的平均分和中位数．18．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB＝AD，AB⊥AD，CA＝CB＝CD＝BD＝2，O为BD的中点．（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值．19．（12分）数学期末考试中有8道单项选择题，满分40分，每道题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，评分标准规定：答对得5分，不答或者答错得0分．考生甲每道单项选择题都选出了一个答案，能确定其中有5道题的答案是正确的，而其余3题中，有一道题可以排除两个错误选项，另外两个选项选择的可能性都相等；剩余两道题都能排除一个错误选项，另外三个选项选择的可能性都相等．各道单项选择题答对答错彼此互不影响．（1）求甲得满分40分的概率；（2）判断甲单项选择题得多少分的可能性最大，并说明理由．20．（12分）已知，是不共线的单位向量，，，．（1）若与共线，求的取值范围；（2）若，是向量在向量上的投影向量，满足，求实数k的值．21．（12分）如图，在扇形OPQ中，半径OQ＝1，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，设∠POC＝θ．（1）试建立矩形ABCD的面积S关于θ的函数关系式；（2）在（1）的条件下，当θ为何值时，S取最大值，并求出最大值．22．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）已知b＜c，∠BAC的平分线交BC于点D，，边BC上的中线，求a，b，c．

2022-2023学年山东省枣庄市高一（下）质检数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知向量，，若，则（）A．μ＝2λ B．μ＝﹣2λ C．λμ＝2 D．λμ＝﹣2【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可．【解答】解：因为向量，，，所以2﹣λμ＝0，即λμ＝2．故选：C．【点评】本题主要考查平面向量共线的性质，属于基础题．2．（5分）已知复数z满足z﹣＝0，且z•＝4，则z＝（）A．2 B．2i C．±2 D．±2i【分析】设z＝a+bi，（a，b∈R），由已知得关于a，b的方程组，求解a，b的值，则答案可求．【解答】解：设z＝a+bi，（a，b∈R），由，，得，即a＝±2，b＝0．∴z＝±2．故选：C．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）一个圆台的上、下底面的半径分别为1，4，母线长为5，则该圆台的侧面积为（）A．30π B．25π C．20π D．15π【分析】利用圆台的侧面积公式求解即可．【解答】解：设圆台的上、下底面的半径为r1，r2，母线长为l，所以r1＝1，r2＝4，l＝5，．故选：B．【点评】本题主要考查了圆台的结构特征，考查了圆台的侧面积公式，属于基础题．4．（5分）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，至少出现一次6点的概率为（）A． B． C． D．【分析】先求出一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次可能出现的情况和至少出现一次6点的情况，再由古典概率求解即可．【解答】解：一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，可能出现的情况为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36种，其中至少出现一次6点的情况有：（1，6），（2，6），（3，6），（4，6），（5，6），（6，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），共11种，故至少出现一次6点的概率为：．故选：C．【点评】本题考查了古典概型问题，考查列举法的应用，是基础题．5．（5分）一组数据x1，x2，…，x2023（x1＜x2＜…＜x2023），记其均值为，第25百分位数为m，方差为s2，则（）A．m＝x505 B． C．数据ax1+b，ax2+b，…，ax2023+b的均值为 D．数据ax1+b，ax2+b，…，ax2023+b的方差为a2s2【分析】根据百分位数的定义，均值和方差的计算公式判断各选项即可．【解答】解：对于选项A：25%×2023＝505.75，所以m＝x506，故A错误；选项B：，并不能准确判定均值的位置，例如：1，2，3，11，13，14，18，200，平均数更靠近后项，选项B错误；对于选项C：根据定义，数据ax1+b，ax2+b，…，ax2023+b的均值为：，故C错误；对于选项D：数据ax1+b，ax2+b，…，ax2023+b的方差为：，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了百分位数、均值和方差的计算公式，属于基础题．6．（5分）已知i为虚数单位，若实数a使得ai+a2（i2023+1）﹣1为纯虚数，则a＝（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．2【分析】先求出i2023＝﹣i，再根据纯虚数的概念列式计算．【解答】解：因为i2023＝i505×4+3＝i3＝﹣i，所以原式为ai+a2（﹣i+1）﹣1＝a2﹣1+（a﹣a2）i为纯虚数，所以，解得a＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查复数的运算，考查纯虚数的概念，属于基础题．7．（5分）某班50名学生骑自行车，骑电动车到校所需时间统计如表：到校方式人数平均用时（分钟）方差骑自行车203036骑电动车302016则这50名学生到校时间的方差为（）A．48 B．46 C．28 D．24【分析】根据分层随机抽样的总样本的平均数和方差公式进行求解．【解答】解：由已知可得，骑自行车平均用时（分钟）：，方差；骑电动车平均用时（分钟）：，方差；骑自行车人数占总数的，骑电动车人数占总数的，这50名学生到校时间的平均数为，方差为．故选：A．【点评】本题主要考查了分层抽样的定义，考查了平均数和方差的定义，属于基础题．8．（5分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图1）．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图2）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒车转动的角速度ω为rad/s，如图3所示，盛水桶M（视为质点）的初始位置P0距水面的距离为3m，则3s后盛水桶M到水面的距离近似为（）A．4.0m B．3.8m C．3.6m D．3.4m【分析】先求出初始位置时P0对应的角，然后根据题意求出盛水桶M到水面的距离与时间t的函数关系，将t＝3代入求解即可．【解答】解：设初始位置P0对应的角为φ0，则，则，因为筒车转动的角速度ω为rad/s，所以水桶M到水面的距离，当t＝3时，则有，故选：A．【点评】本题考查了三角函数模型的实际应用问题，解题的关键是正确理解题意，从中得到数学模型，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）下列关于复数z的四个命题，真命题的为（）A．若∈R，则z∈R B．若z2∈R，则z∈R C．若|z﹣i|＝1，则|z|的最大值为2 D．若z3﹣1＝0，则z＝1【分析】由复数的基本概念推导判断A；反例判断B；复数模的运算法则判断C；反例判断D．【解答】解：∵＝，若∈R，即∈R，则z∈R，所以A正确；取复数z＝i，满足z2＝﹣1∈R，但z∉R，故B错误；|z﹣i|＝1，z的轨迹为以（0，1）为圆心，1为半径的圆，则|z|的最大值为2，所以C正确；取复数z＝，z3＝1，故D错误；故选：AC．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查复数的有关概念与基本运算，是基础题．（多选）10．（5分）已知点M是△ABC的重心，点A（1，2），B（2，3），C（﹣2，5），点D是BC上靠近点B的三等分点，则（）A． B． C． D．【分析】先根据重心坐标公式求出重心坐标判断A选项；再根据三等分点求出点D判断B选项；再根据夹角公式计算判断C选项；最后根据模长公式求解判断D选项．【解答】解：点M是△ABC的重心，点A（1，2），B（2，3），C（﹣2，5），对于A，设点M（x，y），则，所以，故A正确；对于B，点D是BC上靠近点B的三等分点，则，设D（a，b），则3（a﹣2，b﹣3）＝（﹣4，2），即，解得，所以，故B正确；对于C，因为，则，即，故C错误；对于D，，故D错误；故选：AB．【点评】本题考查平面向量的数量积与坐标运算，属于中档题．（多选）11．（5分）已知A，B为两个事件，，，则P（AB）的值可能为（）A． B． C． D．【分析】根据事件概率的相关公式进行转化求解不等式即可．【解答】解：因为，，所以，所以，即，解得．故选：BC．【点评】本题考查事件概率的相关公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．（多选）12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段BC1上的动点（不含两端点），则（）A．直线A1P与平面ACD1相交 B．三棱锥A﹣D1PC的体积不变 C．平面PDB1⊥平面ACD1 D．设直线DP与平面AC所成的角为θ，则tanθ取值范围为（0，1）【分析】根据面面平行的判定定理证得平面A1BC1∥平面ACD1，根据面面平行的性质即可判断A；根据三棱锥体积转化思想分析三棱锥A﹣D1PC的体积即可判断B；由面面垂直的判断定理证明平面PDB1⊥平面ACD1即可判断C；利用线面夹角的定义确定tanθ的关系式，结合函数确定其取值范围．【解答】解：对于A，如图连接A1B，BC1，A1C1，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，又因为AC⊂平面ACD1，A1C1⊄平面ACD1，所以A1C1∥平面ACD1，同理可得BC1∥平面ACD1，又BC1∩A1C1＝C1，BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以平面A1BC1∥平面ACD1，因为A1P⊂平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，故A错误；对于B，由A可知BC1∥平面ACD1，又P∈BC1，所以点P到平面ACD1的距离为定值，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，可得△ACD1为等边三角形，其面积为定值，故三棱锥P﹣ACD1的体积为定值，所以三棱锥A﹣D1PC的体积也为定值，故B正确；对于C，如图，连接A1D，BD，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形A1ADD1为正方形，所以A1D⊥AD1，又A1B1⊥平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，所以A1B1⊥AD1，因为A1B1∩A1D＝A1，A1B1，A1D⊂平面A1B1D，所以AD1⊥平面A1B1D，因为B1D⊂平面A1B1D，所以AD1⊥B1D，同理可得AC⊥B1D，又AC∩AD1＝A，AC，AD1⊂平面ACD1，所以B1D⊥平面ACD1，因为B1D⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，故C正确；对于D，如图过P作PM∥C1C交BC于M，连接DM，因为C1C⊥平面AC，PM∥C1C，所以PM⊥平面AC，PM∥C1C，则∠PDM为直线DP与平面AC所成的角为θ，则，不妨设正方体棱长为1，设BM＝a，则a∈（0，1），所以PM＝BM＝a，CM＝1﹣a，则，所以，因为a∈（0，1），所以，则，故tanθ取值范围为（0，1），故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查线面关系的判定，三棱锥的体积问题，面面垂直的判定，线面角的范围问题，化归转化思想，函数思想，属中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用按比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取50名学生，已知该校初中部和高中部分别有200名和800名学生，则从初中部应抽取的学生人数为10．【分析】根据题意利用分层抽样的定义直接求解即可．【解答】解：由题意得从初中部应抽取的学生人数为人．故答案为：10．【点评】本题主要考查了分层抽样的定义，属于基础题．14．（5分）正△ABC边长为2，点P满足，则＝2．【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解即可．【解答】解：已知正△ABC边长为2，则，因为，所以，所以．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属基础题．15．（5分）设事件A，B相互独立，且，，则＝．【分析】根据独立事件结合概率运算的性质，直接计算即可．【解答】解：由题意可知：因为，，所以，由可得：，即，故．故答案为：．【点评】本题考查相互独立事件和对立事件的概率，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．16．（5分）M，N分别是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CC1，A1B1的中点，点P在正方体的表面上运动，总有MP⊥BN，则点P的轨迹所围成图形的面积为．【分析】根据题意，取BB1的中点G，连接AG、GM、DM，由线面垂直的判定方法分析点P的轨迹所围成图形，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，如图，取BB1的中点G，连接AG、GM、DM，设BN交AG与点F，则MG∥BC，又由BC⊥平面ABB1A1，则MG⊥平面ABB1A1，而AG⊂平面ABB1A1，则MG⊥BN，又由正方体的棱长为1，M，N分别是BB1，A1B1的中点，△BFG中，易得∠GBF＝∠BAG，可得∠BFA＝∠ABG＝90°，则BN⊥AG，MG∩AG＝G，必有NB⊥平面AGMD，故点P的轨迹所围成图形是矩形AGMD，又由正方体的棱长为1，则AD＝1，AG＝＝，故S矩形AGMD＝1×＝，即点P的轨迹所围成图形的面积为．故答案为：．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定和性质的应用，涉及正方体的结构特征，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）统计某班同学一次考试的数学成绩，得到如下频率分布直方图，已知该班学生数学成绩不低于80分的频率为0.60．（1）求频率分布直方图中a，b的值；（2）估计该班学生数学成绩的平均分和中位数．【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可；（2）利用平均数和中位数的定义和公式求解即可．【解答】解：（1）由已知得，则（0.005+b+0.025+0.040+0.020）×10＝1，所以b＝0.01．（2）该班学生数学成绩的平均分的估计值为：（55×0.005+65×0.01+75×0.025+85×0.04+95×0.02）×10＝81，因为（0.005+0.01+0.025）×10＝0.4，（0.005+0.01+0.025+0.04）×10＝0.8，所以中位数在[80，90）内，故中位数为．【点评】本题考查了频率分布直方图的性质以及平均数和中位数的定义和公式，是基础题．18．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB＝AD，AB⊥AD，CA＝CB＝CD＝BD＝2，O为BD的中点．（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明AO⊥BD，AO⊥OC，然后结合位置关系即可证明AO⊥平面BCD；（2）将异面直线AB与CD平移到一个平面上，转化为面内角求解．【解答】（1）证明：连接OC．在Rt△ABD中，因为AB＝AD，O是BD的中点，所以AO⊥BD，．在等边△BCD中，．在△AOC中，AO＝1，，AC＝2，所以AO2+CO2＝AC2，所以∠AOC＝90°，即AO⊥OC．又OC∩BD＝O，OC⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，所以AO⊥平面BCD．（2）解：分别取AC，BC的中点M，E，连接OM、ME、OE．因为O，E，M分别是BD，BC，AC的中点，所以EM，OE分别是△ABC，△BCD的中位线，所以OE∥DC，EM∥AB，所以∠OEM（或其补角）就是异面直线AB与CD所成的角，在△OEM中，，．因为OM是Rt△AOC斜边上的中线，所以．在等腰△OEM中，．所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的判定，考查异面直线所成的角，属于中档题．19．（12分）数学期末考试中有8道单项选择题，满分40分，每道题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，评分标准规定：答对得5分，不答或者答错得0分．考生甲每道单项选择题都选出了一个答案，能确定其中有5道题的答案是正确的，而其余3题中，有一道题可以排除两个错误选项，另外两个选项选择的可能性都相等；剩余两道题都能排除一个错误选项，另外三个选项选择的可能性都相等．各道单项选择题答对答错彼此互不影响．（1）求甲得满分40分的概率；（2）判断甲单项选择题得多少分的可能性最大，并说明理由．【分析】（1）利用独立事件的乘法公式求甲得满分40分的概率，即可得结果；（2）由甲总得分X的取值有25、30、35、40，再应用独立事件乘法公式及互斥事件加法公式求各对应得分的概率并比较大小，即可得答案．【解答】解：（1）由题意可知，在其余3道题中，三道题答对的概率分别为，，，设X表示甲考试总得分，所以甲得40分的概率为．（2）甲得25分的概率；甲得30分的概率；甲得35分的概率．而甲得40分的概率为，故甲得30分的概率最大．【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．20．（12分）已知，是不共线的单位向量，，，．（1）若与共线，求的取值范围；（2）若，是向量在向量上的投影向量，满足，求实数k的值．【分析】（1）由与共线，结合共线定理求出k的值，则，再结合0＜θ＜π可求出的取值范围；（2）由是在上的投影向量，表示出，再结合可列方程求出实数k的值．【解答】解：（1）因为与共线，所以存在实数λ，使得，即，即，由平面向量基本定理得，所以k＝﹣4，则＝20﹣16cosθ，所以，因为0＜θ＜π，所以﹣1＜cosθ＜1，所以，即的取值范围为