2022-2023学年江苏省无锡一中高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年江苏省无锡一中高一（下）期末数学试卷一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个1．（5分）已知i为虚数单位，复数的共轭复数为（）A．i+2 B．i﹣2 C．﹣2﹣i D．2﹣i2．（5分）△ABC中，，点E是CD的中点，设，，则＝（）A． B． C． D．3．（5分）已知a，b，l是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列结论成立的是（）A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线 B．若α⊥β，α∩β＝l，a⊥l，则a⊥α C．若l⊥a，l⊥b，a，b⊂α，则l⊥α D．若α∥β，a⊂α，则a∥β4．（5分）某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如表，件数7891011人数37541则该组数据的上四分位数（第75百分位数）是（）A．8.5 B．9 C．9.5 D．105．（5分）若P（AB）＝，P（）＝，P（B）＝，则事件A与B的关系是（）A．事件A与B互斥但不对立 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又相互独立6．（5分）PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（）A． B． C． D．7．（5分）如图，平面四边形ABCD中，△BCD是等边三角形，AB⊥BD，且AB＝BD＝2，M是AD的中点．沿BD将△BCD翻折，折成三棱锥C﹣ABD，在翻折中，下列结论正确的是（）A．三棱锥C﹣ABD的体积最大为 B．存在某个位置，使得CM与BD所成角为锐角 C．当平面ABD⊥平面BDC时，三棱锥C﹣ABD的外接球的表面积是 D．∠CMB一定是二面角C﹣AD﹣B的平面角8．（5分）△ABD中，点C为边BD上一点，AB＝2，AD＝2，CD＝2，∠ABD＝60°，＝＝＝，则的取值范围是（）A． B． C． D．二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分。部分选对的得2分,有选错的得0分。（多选）9．（5分）下列命题是真命题的有（）A．直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），直线m的方向向量为，则l与m垂直 B．直线l的方向向量为＝（0，1，﹣1），平面α的法向量为＝（1，﹣1，﹣1），则l⊥α C．平面α，β的法向量分别为＝（0，1，3），＝（1，0，2），则α∥β D．平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1（多选）10．（5分）已知复数z＝cosθ+isinθ（i为虚数单位），则（）A．|z|＝1 B．z2＝1 C． D．（多选）11．（5分）下面三个游戏都是在袋中装球，然后从袋子中不放回地取球，分别记获胜的概率为P1，P2，P3，则（）游戏1游戏2游戏3袋中球的数量和颜色1个红球和1个白球2个红球和2个白球3个红球和1个白球取球规则取一个球依次取出2个球依次取出2个球获胜条件取到红球两个球不同色两个球同色A．P1＝P2 B．P3＜P2 C．P2＞P1 D．P1+P2+P3＝（多选）12．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，λ，μ∈[0，1]，则下列说法正确的是（）A．无论λ，μ取何值，PQ⊥B1C B．时，三棱锥P﹣CDQ的体积为定值 C．时，B1P+PQ的最小值为3 D．存在唯一的实数对（λ，μ），使得B1P⊥平面PQC三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若复数z＝x+yi（x，y∈R），则复平面内满足|z﹣（1+i）|＝3的点Z围成的图形的面积为．14．（5分）已知P（A）＝0.7，P（B）＝0.3，且A与B互相独立，则P（A∪B）＝．15．（5分）在电视剧《显微镜下的大明》中，算学天才帅家默使用“推步聚顶术”来计算田地的面积．口诀为“先牵经纬以衡量（建立直角坐标系），再点原初标步长（确定原点和坐标点的横纵坐标值）．田型取顶分别数（确定各顶点的坐标值），再算推步知地方（再根据计算公式，算出面积）”．据研究，电视剧中的方法与高斯面积公式（也叫“鞋带定理”）相仿．在此，我们检验图形为三角形时的情形；如果在平面直角坐标系中有三个点A（2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，﹣2），则△ABC的面积为（平方单位）；若三角形ABO的三个顶点O（0，0），A（x1，y1），B（x2，y2）则该三角形ABO的面积为（用x1，x2，y1，y2表示）．16．（5分）为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样方法抽取了90名男员工、50名女员工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值．男女员工的BMI值的中位数、平均数、标准差、方差和极差如表所示．中位数平均数标准差方差极差男员工21.622.13.714.319.3女员工19.620.7416.417.7从以上数据可以估算出该公司全体人员的BMI值的平均值为，方差为．（以上结果精确到0.1）四.解答题：本题共6小题、17题10分，其余每小题10分共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知k∈R，向量＝（3，2+k），＝（k，1）．（1）若向量与平行，求k的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围．18．（12分）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），……第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．19．（12分）某学校组织“红楼论数”数学知识应用竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．20．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为BC的中点，BB1＝BC，平面A1BC⊥平面ABB1A1．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求证：B1C⊥平面ABC1．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD＝2，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F．（1）证明：F为PD的中点；（2）若三棱锥P﹣BCF的体积为1，求平面CFB与平面AFB夹角的余弦值．22．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+asinC﹣b﹣c＝0，a＝，且△ABC的面积为．（1）求b+c；（2）若b＞c，N为AC的中点，M为BC的三等分点（BM＜MC），P为AM与BN的交点，求∠BPA的余弦值及MP2+NP2的值．

2022-2023学年江苏省无锡一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个1．（5分）已知i为虚数单位，复数的共轭复数为（）A．i+2 B．i﹣2 C．﹣2﹣i D．2﹣i【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．【解答】解：＝，则复数的共轭复数为i+2．故选：A．【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．2．（5分）△ABC中，，点E是CD的中点，设，，则＝（）A． B． C． D．【分析】利用平面向量基本定理，平面向量的线性运算求解即可．【解答】解：∵点E是CD的中点，∴＝（+）＝+，∵，，，∴＝+＝+，故选：D．【点评】本题考查平面向量基本定理，平面向量的线性运算，属于基础题．3．（5分）已知a，b，l是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列结论成立的是（）A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线 B．若α⊥β，α∩β＝l，a⊥l，则a⊥α C．若l⊥a，l⊥b，a，b⊂α，则l⊥α D．若α∥β，a⊂α，则a∥β【分析】对于A，a与b可能是共面直线；对于B，a与α平行、相交或a⊂α；对于C，当a与b相交时，l⊥α；对于D，由面面平行的性质得a∥β．【解答】解：a，b，l是不同的直线，α，β是不同的平面，对于A，若a⊂α，b⊂β，则a与b可能是共面直线，故A错误；对于B，若α⊥β，α∩β＝l，a⊥l，则a与α平行、相交或a⊂α，故B错误；对于C，若l⊥a，l⊥b，a，b⊂α，则当a与b相交时，l⊥α，故C错误；对于D，若α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质得a∥β，故D正确．故选：D．【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．4．（5分）某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如表，件数7891011人数37541则该组数据的上四分位数（第75百分位数）是（）A．8.5 B．9 C．9.5 D．10【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．【解答】解：抽取的工人总数为20，20×75%＝15，由表中数据可知，第15项与第16项数据分别为9，10，故该组数据的上四分位数（第75百分位数）是．故选：C．【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．5．（5分）若P（AB）＝，P（）＝，P（B）＝，则事件A与B的关系是（）A．事件A与B互斥但不对立 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又相互独立【分析】求出P（A），得到P（AB）＝P（A）P（B），从而得到事件A与B是相互独立事件．【解答】解：∵P（AB）＝，P（）＝，P（B）＝，∴P（A）＝1﹣＝，∴P（AB）＝P（A）P（B）＝＝，∴事件A与B是相互独立事件．故选：C．【点评】本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（）A． B． C． D．【分析】过PC上任意一点D作DO⊥平面APB，则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角．先证明点O在∠APB的平分线上，通过解直角三角形PED、DOP，求出直线PC与平面PAB所成角的余弦值．【解答】解：在PC上任取一点D并作DO⊥平面APB，则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角．过点O作OE⊥PA，OF⊥PB，因为DO⊥平面APB，则DE⊥PA，DF⊥PB．△DEP≌△DFP，∴EP＝FP，∴△OEP≌△OFP，因为∠APC＝∠BPC＝60°，所以点O在∠APB的平分线上，即∠OPE＝30°．设PE＝1，∵∠OPE＝30°∴OP＝＝在直角△PED中，∠DPE＝60°，PE＝1，则PD＝2．在直角△DOP中，OP＝，PD＝2．则cos∠DPO＝＝．即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是．故选：C．【点评】本题考查了直线与平面所成角的大小计算．解题过程构造了解题必需的直角三角形．考查空间想象能力，计算能力、转化能力．7．（5分）如图，平面四边形ABCD中，△BCD是等边三角形，AB⊥BD，且AB＝BD＝2，M是AD的中点．沿BD将△BCD翻折，折成三棱锥C﹣ABD，在翻折中，下列结论正确的是（）A．三棱锥C﹣ABD的体积最大为 B．存在某个位置，使得CM与BD所成角为锐角 C．当平面ABD⊥平面BDC时，三棱锥C﹣ABD的外接球的表面积是 D．∠CMB一定是二面角C﹣AD﹣B的平面角【分析】对A，据题意当点C到平面ABD的距离最大时，体积最大，据此即可判断A选项；对B，证明线面垂直即可得到线线垂直，即可判断B选项；对C，利用几何体的特征找到外接球的球心，并根据几何关系确定半径即可求解C选项；对D，根据二面角的平面角的定义说明D选项．【解答】解：对于A，取BD中点E，连接CE，如图，因为△BCD是等边三角形，所以CE⊥BD，且CE＝＝1，由AB⊥BD，AB＝BD＝2，可得S△ABD＝＝2，故当平面BCD⊥平面ABD时，三棱锥C﹣ABD的高最大为CE，此时体积有最大值为＝，故A错误；对于B，取BD中点G，连接CG，MG，因为△BCD是等边三角形，所以CG⊥BD，又因为AB⊥BD，在△ABD中，MG∥AB，所以MG⊥BD，又因为MG∩CG＝G，MG，CG⊂平面CGM，所以BD⊥平面CGM，又CM⊂平面CGM，所以BD⊥CM，故B错误；对于C，因为△ABD为直角三角形，所以过M作MF⊥平面ABD，设F为三棱锥C﹣ABD外接球的球心，因为平面ABD⊥平面BDC，平面ABD∩平面BDC＝BD，且CG⊥BD，CG⊂平面BDC，所以CG⊥平面ABD，所以MF∥CG，过F作FE∥MG交CG于点E，如图所示，所以四边形MFEG为矩形，MF＝EG，FD＝FC＝R，在直角△MFD中，R2＝MD2+MF2，即R2＝2+MF2，在直角△EFC中，R2＝EF2+CE2，即，解得，所以三棱锥C﹣ABD的外接球的表面积是，故C正确；对于D，翻折过程中，CD长度不变，但CA长度会随着翻折程度不同而不同，所以CM不一定垂直于AD，所以∠CMB不一定是二面角C﹣AD﹣B的平面角，故D错误．故选：C．【点评】本题考查棱锥体积，线线角，二面角，三棱锥的外接球问题，属中档题．8．（5分）△ABD中，点C为边BD上一点，AB＝2，AD＝2，CD＝2，∠ABD＝60°，＝＝＝，则的取值范围是（）A． B． C． D．【分析】首先根据余弦定理计算BD，得出三角形ABD为直角三角形，则点C为外心，再根据OA＝OP，得出点P的轨迹方程，设出点P的坐标，利用坐标运算求得结论．【解答】解：设BD＝t，因为AB＝2，AD＝2，∠ABD＝60°，所以由余弦定理可得：（2）2＝t2+22﹣，即t2﹣2t﹣8＝0，解得t＝4，（t＝﹣2舍去），即BD＝4，故有AB2+AD2＝BD2，即AB⊥AD，又点C为边BD上一点，且CD＝2，所以BC＝2，所以△ABC为边长为2的等边三角形，如图，以A为坐标原点建立直角坐标系，由||＝||＝||可知，O为△ABC的中心，由边长为2，可得||＝，又由||＝||＝||＝||＝可知：点P位于以O（1，）为圆心，半径为的圆上运动，即P点的轨迹方程为（x﹣1）2+（y﹣）2＝，故可设P（1+，），α∈[0，2π]，则＝（2，0），＝（1+，），所以＝2+∈[2﹣，2+]．故选：A．【点评】本题考查余弦定理，三角形中的几何条件以及数量积的坐标运算，属中档题．二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分。部分选对的得2分,有选错的得0分。（多选）9．（5分）下列命题是真命题的有（）A．直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），直线m的方向向量为，则l与m垂直 B．直线l的方向向量为＝（0，1，﹣1），平面α的法向量为＝（1，﹣1，﹣1），则l⊥α C．平面α，β的法向量分别为＝（0，1，3），＝（1，0，2），则α∥β D．平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1【分析】对于A，结合向量垂直的性质，即可求解，对于B，结合方向向量的定义，以及向量的数量积公式，推得l∥α或l⊂α，即可求解，对于C，结合两个法向量不共线，即可求解，对于D，结合法向量的定义，以及空间向量的数量积公式，即可求解．【解答】解：＝（1，﹣1，2），，则＝0，即直线l与m垂直，故A正确，直线l的方向向量为＝（0，1，﹣1），平面α的法向量为＝（1，﹣1，﹣1），则＝0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）＝0，即，所以l∥α或l⊂α，故B错误，＝（0，1，3），＝（1，0，2）不共线，则α∥β不成立，故C错误，∵A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴，，∵向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，∴，∴，即u+t＝1，故D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查空间向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题．（多选）10．（5分）已知复数z＝cosθ+isinθ（i为虚数单位），则（）A．|z|＝1 B．z2＝1 C． D．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：z＝cosθ+isinθ，则，，故AC正确；z2＝（cosθ+isinθ）2＝cos2θ﹣sin2+2sinθcosθi，故B错误；z+＝cosθ+isinθ+＝cosθ+isinθ+cosθ﹣isinθ＝2cosθ∈R，故D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．（多选）11．（5分）下面三个游戏都是在袋中装球，然后从袋子中不放回地取球，分别记获胜的概率为P1，P2，P3，则（）游戏1游戏2游戏3袋中球的数量和颜色1个红球和1个白球2个红球和2个白球3个红球和1个白球取球规则取一个球依次取出2个球依次取出2个球获胜条件取到红球两个球不同色两个球同色A．P1＝P2 B．P3＜P2 C．P2＞P1 D．P1+P2+P3＝【分析】根据题意，由古典概型公式分别求出三个游戏的概率，比较可得答案．【解答】解：根据题意，游戏1中，有1个红球和1个白球，取出红球获胜，则P1＝；游戏2中，有2个红球和2个白球，从中取出2个，有＝6种取法，若两球颜色不同，有2×2＝4种取法，则P2＝＝，游戏3中，有3个红球和1个白球，从中取出2个，有＝6种取法，若两球颜色同色．即都是红球，有＝3种取法，则P3＝；分析选项：B、C、D正确，A错误．故选：BCD．【点评】本题考查概率的应用，涉及古典概型的计算，是基础题．（多选）12．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，λ，μ∈[0，1]，则下列说法正确的是（）A．无论λ，μ取何值，PQ⊥B1C B．时，三棱锥P﹣CDQ的体积为定值 C．时，B1P+PQ的最小值为3 D．存在唯一的实数对（λ，μ），使得B1P⊥平面PQC【分析】由已知证明线面垂直判断A；由棱锥体积公式判断B；由翻折问题结合余弦定理求解B1P+PQ的最小值判断C；由线面垂直的判定结合向量数量积求解λ与μ值判断D．【解答】解：如图，由正方体的结构特征可知，B1C⊥BC1，则B1C⊥AD1，AB⊥平面BB1C1C，则AB⊥B1C，而AB∩AD1＝A，可得B1C⊥平面ABD1，而无论λ，μ取何值，都有PQ⊂平面ABD1，则PQ⊥B1C，故A正确；当时，P为BD1的中点，则P到平面CDQ的距离为定值，又△CDQ的面积为定值，则时，三棱锥P﹣CDQ的体积为定值，故B正确；时，Q为AB的中点，把平面B1BD1翻折至于平面BC1D1重合，如图：BQ＝1，BB1＝2，cos∠B1BQ＝，∴B1P+PQ的最小值为B1Q＝＝，故C错误；以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），D1（0，0，2），＝（﹣2，2，0）﹣（0，2λ，0）＝（﹣2，2﹣2λ，0），＝（0，2，﹣2）﹣（2μ，2μ，﹣2μ）＝（﹣2μ，2﹣2μ，2μ﹣2），＝（2，2，0）﹣（2μ，2μ，﹣2μ）＝（2﹣2μ，2﹣2μ，2μ）．由，解得．故存在唯一的实数对（λ，μ）＝（0，），使得B1P⊥平面PQC，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查立体几何知识的综合运用，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若复数z＝x+yi（x，y∈R），则复平面内满足|z﹣（1+i）|＝3的点Z围成的图形的面积为9π．【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及圆的面积公式，即可求解．【解答】解：z＝x+yi（x，y∈R），则|x﹣1+（y﹣1）i|＝3，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝9，表示以（1，1）为圆心，3为半径的圆，故π×32＝9π．故答案为：9π．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．14．（5分）已知P（A）＝0.7，P（B）＝0.3，且A与B互相独立，则P（A∪B）＝0.79．【分析】由P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），结合相互独立事件概率乘法公式能求出结果．【解答】解：P（A）＝0.7，P（B）＝0.3，且A与B互相独立，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.7+0.3﹣0.7×0.3＝0.79．故答案为：0.79．【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（5分）在电视剧《显微镜下的大明》中，算学天才帅家默使用“推步聚顶术”来计算田地的面积．口诀为“先牵经纬以衡量（建立直角坐标系），再点原初标步长（确定原点和坐标点的横纵坐标值）．田型取顶分别数（确定各顶点的坐标值），再算推步知地方（再根据计算公式，算出面积）”．据研究，电视剧中的方法与高斯面积公式（也叫“鞋带定理”）相仿．在此，我们检验图形为三角形时的情形；如果在平面直角坐标系中有三个点A（2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，﹣2），则△ABC的面积为11（平方单位）；若三角形ABO的三个顶点O（0，0），A（x1，y1），B（x2，y2）则该三角形ABO的面积为|x1y2﹣x2y1|（用x1，x2，y1，y2表示）．【分析】利用坐标表示向量，根据平面向量的数量积求出夹角的余弦值，再利用平方关系求出正弦值，即可计算三角形的面积．【解答】解：因为A（2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，﹣2），所以＝（﹣5，﹣1），＝（﹣3，﹣5），＝（2，﹣4），所以•＝20，||＝，||＝，所以cos＜，＞＝＝，即cosA＝，所以sinA＝＝，所以△ABC的面积为×||×||×sinA＝×××＝11（平方单位）；若三角形ABO的三个顶点O（0，0），A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x1，y1），＝（x2，y2），•＝x1x2+y1y2，||＝，||＝，所以cos＜，＞＝，所以sin＜，＞＝＝，所以该三角形ABO的面积为×||×||×sin＜，＞＝|x1y2﹣x2y1|．故答案为：11；|x1y2﹣x2y1|．【点评】本题考查了三角形面积计算问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是中档题．16．（5分）为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样方法抽取了90名男员工、50名女员工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值．男女员工的BMI值的中位数、平均数、标准差、方差和极差如表所示．中位数平均数标准差方差极差男员工21.622.13.714.319.3女员工19.620.7416.417.7从以上数据可以估算出该公司全体人员的BMI值的平均值为21.6，方差为15.5．．（以上结果精确到0.1）【分析】根据题意，由总体的平均数、方差计算公式直接计算可得答案．【解答】解：根据题意，样本中，有90名男员工、50名女员工，该公司全体人员的BMI值的平均值＝＝21.6；方差S2＝[14.3+（22.1﹣21.6）2]+[16.4+（20.7﹣21.6）2]≈15.5．故答案为：21.6；15.5．【点评】本题考查总体的平均数和方差的计算，注意总体平均数、方差的计算公式，属于基础题．四.解答题：本题共6小题、17题10分，其余每小题10分共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知k∈R，向量＝（3，2+k），＝（k，1）．（1）若向量与平行，求k的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围．【分析】（1）由已知结合向量平行的坐标表示即可求解；（2）由已知结合向量数量积的性质的坐标表示可求．【解答】解：（1）因为＝（3，2+k），＝（k，1），所以＝（3﹣2k，k），若向量与平行，则3﹣2k＝k2，解得k＝1或k＝﹣3；（2）若与的夹角为锐角，则k（3﹣2k）+k＞0且k≠1，k≠﹣3，解得0＜k＜2且k≠1，故k的范围为{k|0＜k＜2且k≠1}．【点评】本题主要考查了向量共线的坐标表示及向量数量积的性质的坐标表示，属于基础题．18．（12分）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），……第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．【分析】（1）由频率分布直方图能求出第七组的频率，由此能完成频率分布直方图．（2）用样本数据能估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分．（3）样本成绩属于第六组的有3人，样本成绩属于第八组的有2人，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件总数n＝＝10，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数m＝＝4，由此能求出他们的分差的绝对值小于10分的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：1﹣（0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004）×10＝0.08．完成频率分布直方图如下：（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：70×0.004×10+80×0.012×10+90×0.016×10+100×0.030×10+110×0.020×10+120×0.006×10+130×0.008×10+140×0.004×10＝102．（3）样本成绩属于第六组的有0.006×10×50＝3人，样本成绩属于第八组的有0.004×10×50＝2人，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件总数n＝＝10，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数m＝＝4，∴他们的分差的绝对值小于10分的概率p＝＝．【点评】本题考查频率、平均分、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）某学校组织“红楼论数”数学知识应用竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．【分析】（1）利用概率的乘法公式计算出甲赢得比赛概率，乙赢得比赛的概率，再比较即可；（2）首先利用对立事件概率求得甲和乙都未赢比赛的概率，求出至少一人赢得比赛的概率．【解答】解：（1）甲赢得比赛的概率为×＝，乙赢得比赛的概率为×＝，因为＞，所以派甲参赛赢得比赛的概率更大．（2）由（1）得，甲和乙都未赢比赛的概率（1﹣）×（1﹣）＝，则两人中至少有一人赢得比赛的概率1﹣＝．【点评】本题考查相互独立事件的乘法公式，是基础题．20．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为BC的中点，BB1＝BC，平面A1BC⊥平面ABB1A1．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求证：B1C⊥平面ABC1．【分析】（1）设A1C与AC1相交于点O，连接OD，证明OD∥A1B，即可证明A1B∥平面ADC1．（2）连接B1C与BC1，由B1B⊥平面ABC得出B1B⊥BC，由BB1＝BC得出B1C⊥BC1，再证明AB⊥B1C，即可证明B1C⊥平面ABC1．【解答】证明：（1）设A1C与AC1相交于点O，连接OD，则O为A1C的中点，因为D为BC的中点，所以OD∥A1B，又OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．（2）连接B1C与BC1，由直三棱柱的性质知，B1B⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以B1B⊥BC，因为BB1＝BC，所以四边形BCC1B1是正方形，所以B1C⊥BC1，又因为平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，过点C作CP⊥A1B，垂足为P，则CP⊥平面ABB1A1，所以CP⊥BB1，所以CP与CB重合，所以CB⊥平面ABB1A1，所以CB⊥AB，又因为AB⊥BB1，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1，所以AB⊥B1C，又AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了推理与证明能力，是中档题．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD＝2，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F．（1）证明：F为PD的中点；（2）若三棱锥P﹣BCF的体积为1，求平面CFB与平面AFB夹角的余弦值．【分析】（1）由线面平行的判定证AB∥平面PCD，再由线面平行的性质可证AB∥EF，进而有△PCD中EF为中位线，即可证结论；（2）由线面垂直的性质、判定证PD，DA，DC两两垂直，且BC⊥面PCD，构建空间直角坐标系，根据等积法求得CD＝3，由平面的法向量求得平面CFB与平面AFB夹角的余弦值．【解答】（1）证明：由底面ABCD是矩形，则AB∥CD，而AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD，又E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F，即平面ABE∩平面PCD＝EF，而AB⊂平面ABE，则AB∥EF，故CD∥EF，△PCD中EF为