人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程

/合作探究探究点1数字问题情景激疑一个两位数如何表示？三位数呢？你能得到什么规律呢？知识详解个位数为a,十位数为b,那么这两位数表示为10b+a.注意：a,b必须都是正整数,a可为0.典例剖析例一：一个两位数、十位数字与个位数字之和是6.把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新两位数与原来的两位数的积是1008.求这个两位数。解析：设个位数字为x,十位数字为y.那么这个两位数表示为10y+x.答案：根据题意可知,106-x+x10x+(6所以,当x=2时.6-x=4;当x=4时,6-x=2.故这个两位数是42或24.类题突破1一个两位数,十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调,得到的两位数比原来的两位数小27.求原来的两位数.答案：设原两位数个位上的数字为x,那么十位上的数字为(x2-9).∴10(x2-9)+x-10x-(x2-9)=27.解得x1=4.x2=-3(不符合题意,舍去)∴x2-9=7.∴原两位数为74.点拨：等量关系为:原来的两位数-新两位数=27,把相关数值代入计算可得各位上的数字,根据两位数的表示方法求得两位数即可.探究点2(高频考点)增长率问题情景激疑你知道关于增长率的公式吗?知识讲解增长率=增长数量原数量增长数量原数量说明增长率、成功率、成活率、发芽率等等都是此类问题,典例剖析例2某商场于第一年年初投入50万元进行商品经营,以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投人的资金相加所得的总资金作为下一年年初投入的资金继续进行经营.(1)如果第一年的年获利率为P,那么第一年年终的总资金是多少万元?(用代数式来表示)(注:年获利率=年利润年初投入资金(2)如果第二年的年获利率多10个百分点(即第年的年获利率是第一年的年获利率10%的和),第二年年终的总资金为66万元.求第一年的年获利率.解析：要分析出内部的数量关系,合理利用公式.答案：(1)第一年年终总资金=50(1+P)万元,(2)50(1+P)(1+P+10%)=66,整理得:P2+2.1P-0.22=0,解得P=10%.或P=-2.2(不合题意,舍去).类题突破2某种商品的进价为a元,商店将价格提高20%销售经过一段时间,又以九折的价格促销,这时这种商品的价格是A.a元B.0.9a元C.1.12a元D.1.08a元答案D点拨第一次定价为1.2a,再打九折,变为1.2×0.9a=1.08a.类题突破3某商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额比九月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额到达193.6万元,求这两个月的平均增长率。答案：设这两个月的平均增长率为x.依题得200×(1-20%)(1+x)2=193.6,即(1+xr)2=1.21.解得x=-1±1.1.即x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去).答:这两个月的平均增长率为10%.点拨此题主要考查增长率的问题,运用增长率的公式a(1+x)2=b即可解题,关键是弄清公式中各个字母的意义,结合题意确定a,b,n的值,此题中a的值容易误认为是200,而实际上,a的值应为200×(1-20%),另外,解出方程后应结合题意合理地对两根进行取舍。探究点3(高频考点)面积问题情景激疑某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑假设干条道路,余下局部作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计的方案列出方程,使图(1)和图(2)的草坪总面积均为540平方米,求图中道路的宽分别是多少.知识讲解根据题目画出几何图形据图形分析后列出方程解决典例剖析例3某村方案建造如下图的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:1.在温室内,沿前侧内墙保存3m宽的空地,其他三侧内墙各保存1m宽的通道,当矩形温室的长与宽各为多少时,疏菜种植区域的面积是288m2?解析此题有多种解法,设的对象不同那么所得一元二次方程不同,根据矩形的面积公式即可列出方程求解.答案：解法一:设矩形温室的宽为xm,那么长为2xm.根据题意,得(x-2)(2x-4)=288.解这个方程,得x1=-10(不合题意,舍去),x2=14.所以x=14,2x=2×14=28.答:当矩形温室的长为28m,宽为14m时,蔬菜种植区域的面积是288m2解法二：设矩形温室的长为xm,那么宽为12xm根据题意得(12x-2)〔解这个方程,得x1=20(不合题意,舍去),x2=28.所以x-28,12答:当矩形温室的长为28m,宽为14m时,蔬菜种植区城的面积是288m2.类题突破4如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上格宽同样宽的道路(图中阴影局部),余下的局部种上草坪,求使店坪的面积为540m2时道路的宽(局部参考数据:322=1024,522=2704,482=2304)答案：解法一:由题意转化为如图(1),设道路宽为xm.根据题意列出方程为(20-x)(32-x)=540.整理,得x2-52x+100=0.解得x1=50(舍去),x2=2.答：道路宽为2m.解法二:由题意转化为图(2),设道路宽为xm.根据题意,列方程得20×32-(20+32)x+x2=540.整理,得x2-52x+100=0.解得x1=50(舍去),x2=2.答:道路宽为2m.点拨此题可设道路宽为x米,利用平移把不规那么的图形变为规那么图形,进而列方程求解探究点4折叠问题情景激疑在折叠纸片时,想一想,应注意些什么?知识讲解在折叠问题中,要注意哪些量折叠前后变化了,哪些量没变化,哪些可以用“平移〞思想。典例剖析例4张大叔从市场上买回一块矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后,剩下的局部刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体运输箱(如下列图),且此长方体运输箱底面的长比宽多2m现购置这种铁皮每平方米需20元钱,同张大权购回这张矩形铁皮共花多少钱?解析：求购置铁皮所花的钱--需求铁皮的总面积--需求出原矩形铁皮的长和宽--需求出长方体运输箱底面的长和宽.设宽为xm,那么长为(x+2)m,根据条件“无盖长方体运输箱的体积为15m3〞,由长方体的体积公式可列出方程求解。答案：设这种运输箱的下底宽xm.那么下底长为〔x+2)m,张大叔购回这张矩形铁皮用20(x+2)(x+4)元,据题意,得x(x+2)×1=15.整理,得x2+2x-15=0.解得x1=3,x2=5(不合题意,舍去).所以20(x+2)(x+4)=20×5×7=700〔元).答：张大叔购置这张矩形铁皮共花700元钱类题突破5如下列图,张矩形纸片ABCD,假设把△ABE沿折痕BE向上解折,使点A恰好落在CD边上,设此点是F且这时AE：ED=5:3.BE=5,DF=4,这个矩形的长和宽各为多少?答案:AE:ED=5：3设AE=5x,ED=3x.由折叠的性质,得△EAB≌△EFB,∴AE=EF=5x在Rt△DEF中,(5x)2-(3x)2=42,解得x1=1,x2=-1(不合题意,舍去)∴DE=3,AE=5,AD=8.在Rt△ABE中,AB=BE2-AE答:矩形的长、宽分别是10和8.点拨由折叠可知△EAB≌△EFB,设AE=EF=5x,ED=3x,利用勾股定理可求出x的值,从而求出矩形的长与宽.重点难点重难点1形积问题形积问题中的常见类型:(1)利用勾股定理列一元二饮方程求三角形矩形的边长;(2)利用三角形、矩形菱形、梯形和圆的面积,以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程;(3)利用相似三角形的对应比例关系列比例式,通过两内项之积等于两外项之积,得到一元二次方程.例1用一面墙(墙的长度不限),另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地,求矩形的长和宽.解析：设垂直于墙的一边为x米,那么邻边长为(58-2x),利用矩形的面积公式列出方程并解答.答案设垂直于墙的边为x米,得:x(58-2x)=200.解得:x1=25,或x2=4.∴另一边为8米或50米.答:当矩形长为25米时,宽为8米;当矩形长为50米时,宽为4米.类题突破1如图,在长为10cm,宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形,使得留下的图形(图中阴影局部)面积是原矩形面积的80%,求所截去小正方形的边长.答案设小正方形的边长为xcm由题意,得80-4x2=80%×10×8.∴解得x1=2,x2=-2.经检验x1=2符合题意,x2=-2不符合题意、舍去所以x=2.答:截去的小正方形的边长为2cm.点拨等量关系为:矩形面积-四个全等的小正方形面积一矩形面积×80%,列方程即可求解.重难点2增长(降低)率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时,要理清原来数量、后来数量、增长率或降低率,以及增长或降低的次数之间的数量关系,如果列出的方程是元二次方程,那么应在原数的根底上增长或降低两次。如增长率:假设原数是a,每次增长的百分率为x,那么第一次增长后为a(1+x);第二次增长后为a(1+x)+a(l+x)x=a(1+x)(1+x)=a(1+x)2,即原数×(1+增长百分率)2=后来数.同理得降低率问题的关系式:原数×(1-降低百分率)2=后来数.例2某工厂2019年年初投资100万元生产某种新产品,2019年年底将获得的利润与年初的投资之和作为2009年年初的投资,到2009年年底,两年共获利润56万元2009年的年利润率比2019年的年利润率多10个百分点,求2009年的年利润率,解析如果设2019年的年利润率为x,那么2009年的年利润率为(x+10%),那么2019年年底所获利润为100x万元,2009年年初的投资即为(100x＋100)万元,2009年年底所获利润为(100x+100)(x+10%)万元,而两年共获利润为56万元,所以可列出方程,答案：设2019年的年利润率为x,那么2009年的年利润率为〔x+10%).根据题意,得100x+(100x+100)(x+10%)=56.整理,得50x2+105x-23=0.解得x1=20%,x2=一230%(不合题意,舍去),所以x+10%=30%.答:2009年的年利润率为30%.类题突破2某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额到达633.6万元,求3月份到5月份营业额的平均月增长率。答案设3月份到5月份的营业额的平均月增长率为x。根据题意,得400(1+10%)(1+x)2=633.6.整理,得(l+x)2=1.44.解得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意,舍去).答:3月份到5月份的营业额的平均月增长率为20%.点拨2月份的管业额为400万元,3月份的营业额,400〔1+10%)万元,假设设3月份到5月份营业额的平均月增长为x.那么4月份的营业额为400(1+10%)(1+x)万元,5月份营业额为400(1+10%(1+x)2万元,又因“5月份的营业额到633.6万元〞,于是,列一元二次方程,求解即可.重难点3动点问题物体的运动将会沿着一条路线或形成条痕迹,运行的线与其他条件(如作重线段)会构成直角三角形,有时运动的物体在海面上或空中,这就要运用方向标,在使用方向标时,正确理解和描述运动物体任某点的准确位置(包含距离和方向)往往借助方向标构造直角三角形,因此,我们可运用直角形的性质列方程求解,例3如图,在△ABC中,∠B=900,AB=4cm,BC=10m,P从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C移动,问:经过多后,点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1？解析假设当P点移到E点时可满足此题的条件,由题意得EA2-8EB=1.答案设经过x秒后,点P到点A的距离的平方比点P到B的距离的8倍大1.由题意,得BE=1×x=xcm.AE2=42+x2-8x=1.解得x1=3,x2=5.答:经过3秒或5秒后,点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1.类题突破3如图,矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm,某时刻,动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动;同时,动点N从点D沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的19答案设经过t秒,S△AMN等于S矩形ABCD的19那么AM=t,AN=6-2t.由题意,得12AN·AM=19即12t·(6-2t)=19×3×6,整理,得t2答：经过1秒或2秒时,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的1点拨易得AM.AN的长,利用△AMN的面积等于矩形ABCD面积的,列出等式求解即可.重难点4利润问题在利润问题中,经常用到的等展关系有:单件利润=单件售价-单件进价,总利润=总收入-总本钱或总利润=每件商品的利润×销售量,利润率=售价例4某商店准备进批來节性小家电,单价40元经市场预测,销售定价为52元时,可售出180个,定价每增加1元,销售最净减少10个;定价每减少1元,销售量净增加10个,因受库存的影响,每批次进货个数不得超过180个,商店假设将准备获利2019元,那么应进货多少个?定价为多少元?解析利用销售利润=售价-进价,根据题中条件可以列出利润与x的关系式,求出即可,答案设每个商品的定价是x元,由题意,得(x-40)[180-10(x-52)]=2019.整理,得x2-110x+3000=0.解得x1=50,或x2=60.当x=50时,进货180-10(50-52)=200个>180个,不符合题意,舍去;当x=60时进货180-10(60-52)=100个<180个,符合题意.答：当该商品每个定价为60元时,进货100个.类题突破4商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元据此规律,请答复:(1)商场日销售量增加件,每件商品盈利元(用含x的代数式表示);(2)在上述条件不变、销售正常情况下,每件商品降价多少元时,商场日盈利可到达2100元?答案(1)2x50-t(2)由题意,得:(50-x)(30+2x)=2100.化简,得:x2-35x+300=0,即(x-15)(x-20)=0.解得:x1=15,或x2=20.∵该商场为了尽快减少库存∴降得越多,越吸引顾客∴选x=20,答：每件商品降价20元,商场日盈利可达2100元点拨(1)降价1元,可多售出2件,降价x元,可多售出2x件,盈利的钱数=原来的盈利-降低的钱数;(2)等量关系为:每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100,把相关数值代入计算得到适宜的解即可。易错指导易错点1不能正确地使用增长率公式例1某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元,第一季度总产值达175亿元.试求二、三月份平均每月的增长率是多少.设平均每月的增长率为x,根据题意,得方程为错解50(1+x)2=175错因分析产生错解的原因有两个:一是审题不认真,二是硬套平均增长