矩阵分析3课件

矩阵分析东北大学信息科学与工程学院井元伟教授二○○六年五月第一章线性空间与线性变换第二章内积空间第三章矩阵的标准形与若干分解形式第四章矩阵函数及其应用第五章特征值的估计与广义逆矩阵第六章非负矩阵第三章矩阵的标准形与若干分解形式第三章矩阵的标准形与若干分解形式§1矩阵的相似对角形§2矩阵的约当标准形§3哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式§4多项式矩阵与史密斯标准形§5多项式矩阵的互质性与既约性§6有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解§7系统的传递函数矩阵*§8舒尔定理及矩阵的QR分解§9矩阵的奇异值分解第三章矩阵的标准形与若干分解形式数字矩阵多项式矩阵有理分式矩阵标准型分解形式：QR分解奇异值分解导引性的讨论第三章矩阵的标准形与若干分解形式1.矩阵的相似对角形那么，A是否可以相似于对角矩阵？即1.矩阵的相似对角形第三章矩阵的标准形与若干分解形式1.矩阵的相似对角形充要条件

n阶矩阵A能与对角矩阵相似的充要条件，是A有n个线性无关的特征向量充分条件

n阶矩阵A如果有n个不同的特征值， 则A可与对角矩阵相似第三章矩阵的标准形与若干分解形式1.矩阵的相似对角形充分条件

n阶矩阵A如果有n个不同的特征值， 则A可与对角矩阵相似方法1）求矩阵A的特征值2）求对应的特征向量3）求变换矩阵（由特征向量构造）4）求变换矩阵的逆矩阵5）进行变换第三章矩阵的标准形与若干分解形式1.矩阵的相似对角形例特征多项式特征值第三章矩阵的标准形与若干分解形式1.矩阵的相似对角形第三章矩阵的标准形与若干分解形式1.矩阵的相似对角形第三章矩阵的标准形与若干分解形式1.矩阵的相似对角形对应的特征向量分别为第三章矩阵的标准形与若干分解形式1.矩阵的相似对角形第三章矩阵的标准形与若干分解形式2.矩阵的约当标准形并非每个矩阵都可以相似于对角矩阵。当矩阵不能相似于对角阵的时候，能否找到一个比较简单的分块对角阵与它相似？J称为约当矩阵第三章矩阵的标准形与若干分解形式2.矩阵的约当标准形性质|表示整除

k阶行列式因子的所有不为0的k阶子式的最大公因式，记为第三章矩阵的标准形与若干分解形式2.矩阵的约当标准形称为A的不变因子不变因子第三章矩阵的标准形与若干分解形式2.矩阵的约当标准形初等因子

在不变因子中，次数大于1的在复数范围内分解成一次式和一次式的乘幂

的形式，所有的一次式或者一次式的乘幂的形式，放在一起叫做初等因子第三章矩阵的标准形与若干分解形式2.矩阵的约当标准形约当标准形第三章矩阵的标准形与若干分解形式2.矩阵的约当标准形第三章矩阵的标准形与若干分解形式3.哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式哈密顿-开莱定理代数多项式矩阵多项式是A的特征多项式，则第三章矩阵的标准形与若干分解形式3.哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式应用计算矩阵多项式第三章矩阵的标准形与若干分解形式3.哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式最小多项式

A的零化多项式次数最低的（首一化）记为m(A)A的最小多项式可被它的所有零化多项式整除A的最小多项式唯一性质第三章矩阵的标准形与若干分解形式3.哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式计算方法应用进一步简化矩阵多项式的计算第三章矩阵的标准形与若干分解形式4.多项式矩阵与史密斯标准形多项式矩阵普通矩阵经初等变换，有类推可以吗？第三章矩阵的标准形与若干分解形式4.多项式矩阵与史密斯标准形A的子式可能为（1）多项式（2）0（3）不为0常数有关定义

秩

A的r阶子式不为0，而r＋1阶子式为0，r称A的秩

满秩

方阵A的行列式不为0

可逆对方阵A，如有同阶多项式方阵B，使

AB=BA=E

可逆条件方阵A的行列式为不为0的常数第三章矩阵的标准形与若干分解形式4.多项式矩阵与史密斯标准形复习

数值矩阵的初等行变换k为任意常数第三章矩阵的标准形与若干分解形式4.多项式矩阵与史密斯标准形多项式矩阵的初等行变换类似的，可以定义初等列变换第三章矩阵的标准形与若干分解形式4.多项式矩阵与史密斯标准形多项式矩阵A经过初等变换变为B，则称A与B等价记为定理史密斯标准形第三章矩阵的标准形与若干分解形式4.多项式矩阵与史密斯标准形第三章矩阵的标准形与若干分解形式4.多项式矩阵与史密斯标准形第三章矩阵的标准形与若干分解形式4.多项式矩阵与史密斯标准形性质

史密斯标准形中的即是不变因子两个矩阵等价，则它们具有相同的行列式因子，相同的不变因子，相同的初等因子初等变换不改变矩阵的各阶行列式因子及秩充要条件第三章矩阵的标准形与若干分解形式5.多项式矩阵的互质性与既约性多项式的最大公因式多项式矩阵情况矩阵的左乘和右乘不同，分别加以定义第三章矩阵的标准形与若干分解形式5.多项式矩阵的互质性与既约性最大右公因式

gcrd个初等行变换求法第三章矩阵的标准形与若干分解形式5.多项式矩阵的互质性与既约性第三章矩阵的标准形与若干分解形式5.多项式矩阵的互质性与既约性于是可见gcrd不唯一第三章矩阵的标准形与若干分解形式5.多项式矩阵的互质性与既约性性质不唯一一个多项式矩阵的两个gcrd，一个满秩，另一个也满秩；一个可逆，另一个也可逆第三章矩阵的标准形与若干分解形式5.多项式矩阵的互质性与既约性右互质两个多项式矩阵的gcrd可逆质标准形是性质第三章矩阵的标准形与若干分解形式5.多项式矩阵的互质性与既约性最大左公因式

gcld个初等列变换求法第三章矩阵的标准形与若干分解形式5.多项式矩阵的互质性与既约性左互质两个多项式矩阵的gcld可逆质标准形是性质第三章矩阵的标准形与若干分解形式6.有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解有理分式阵可逆对方阵A，如有同阶多项式方阵B，使

AB=BA=E可逆条件方阵A的行列式为不为0多项式第三章矩阵的标准形与若干分解形式6.有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解阵，则必有可逆的多项式矩阵定理史密斯-麦克米伦标准形第三章矩阵的标准形与若干分解形式6.有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解最小公倍式项式矩阵，则可化为史密斯标准形，史密斯-麦克米伦标准形第三章矩阵的标准形与若干分解形式6.有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解例第三章矩阵的标准形与若干分解形式6.有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解第三章矩阵的标准形与若干分解形式6.有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解阵多项式矩阵称为左分解左既约分解互质类似的，可定义右分解及右既约分解一个有理分式阵必有左右分解及左右既约分解定理第三章矩阵的标准形与若干分解形式8.舒尔定理及矩阵的QR分解QR分解定理任意n阶复矩阵A，存在酉矩阵Q及上三角矩阵R，使得A=QR

舒尔定理任意n阶复矩阵A，存在酉矩阵U，使得