2024届宁夏银川市一中数学高一第二学期期末教学质量检测试题含解析

2024届宁夏银川市一中数学高一第二学期期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．角的终边落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知圆，直线，点在直线上．若存在圆上的点，使得（为坐标原点），则的取值范围是A． B． C． D．3．等差数列满足，则其前10项之和为（）A．－9 B．－15 C．15 D．4．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．5．在正三棱锥中，，则侧棱与底面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．6．在等差数列an中，a1=1，aA．13 B．16 C．32 D．357．已知平面向量，，且，则实数的值为（）A． B． C． D．8．某中学举行高一广播体操比赛，共10个队参赛，为了确定出场顺序，学校制作了10个出场序号签供大家抽签，高一（l）班先抽，则他们抽到的出场序号小于4的概率为（）A． B． C． D．9．在中，，，则的形状是()A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定10．若关于的不等式在区间上有解,则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．正六棱柱各棱长均为，则一动点从出发沿表面移动到时的最短路程为__________．12．已知曲线与直线交于A，B两点，若直线OA，OB的倾斜角分别为、，则__________13．在△ABC中，点M，N满足，若，则x＝________，y＝________.14．（理）已知函数，若对恒成立，则的取值范围为．15．已知圆的圆心在直线，与y轴相切，且被直线截得的弦长为，则圆C的标准方程为________.16．已知，函数的最小值为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．函数在同一个周期内，当时，取最大值1，当时，取最小值-1．（1）求函数的单调递减区间．（2）若函数满足方程，求在内的所有实数根之和．18．已知数列的各项均不为零．设数列的前项和为，数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明数列是等比数列，并求的通项公式；（Ⅲ）证明：.19．解关于的方程：20．如图，单位圆与轴正半轴相交于点，圆上的动点从点出发沿逆时针旋转一周回到点，设()，的面积为(当三点共线时，)，与的函数关系如图所示的程序框图.(1)写出程序框图中①②处的函数关系式；(2)若输出的值为，求点的坐标.21．在直三棱柱中，，，，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

由，即可判断.【题目详解】，则与的终边相同，则角的终边落在第三象限故选：C【题目点拨】本题主要考查了判断角的终边所在象限，属于基础题.2、B【解题分析】

根据条件若存在圆C上的点Q,使得为坐标原点),等价即可,求出不等式的解集即可得到的范围【题目详解】圆O外有一点P,圆上有一动点Q,在PQ与圆相切时取得最大值.

如果OP变长,那么可以获得的最大值将变小.可以得知,当,且PQ与圆相切时,,

而当时,Q在圆上任意移动,存在恒成立.

因此满足,就能保证一定存在点Q,使得,否则,这样的点Q是不存在的，

点在直线上,,即

,

,

计算得出,,

的取值范围是，

故选B.考点：正弦定理、直线与圆的位置关系.3、D【解题分析】由已知(a4＋a7)2＝9，所以a4＋a7＝±3，从而a1＋a10＝±3.所以S10＝×10＝±15.故选D.4、D【解题分析】

利用，得出异面直线与所成的角为，然后在中利用锐角三角函数求出.【题目详解】如下图所示，设正方体的棱长为，四边形为正方形，所以，，所以，异面直线与所成的角为，在正方体中，平面，平面，，，，，在中，，，因此，异面直线与所成角的余弦值为，故选D.【题目点拨】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线，选择合适的三角形，利用锐角三角函数或余弦定理求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题．5、B【解题分析】

利用正三棱锥的性质，作出侧棱与底面所成角，利用直角三角形进行计算.【题目详解】连接P与底面正△ABC的中心O，因为是正三棱锥，所以面，所以为侧棱与底面所成角，因为，所以，所以，故选B.【题目点拨】本题考查线面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力，属于中档题.6、D【解题分析】

直接利用等差数列的前n项和公式求解.【题目详解】数列an的前5项和为5故选：D【题目点拨】本题主要考查等差数列的前n项和的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.7、B【解题分析】

先求出的坐标，再由向量共线，列出方程，即可得出结果.【题目详解】因为向量，，所以，又，所以，解得.故选B【题目点拨】本题主要考查由向量共线求参数的问题，熟记向量的坐标运算即可，属于常考题型.8、D【解题分析】

古典概率公式得到答案.【题目详解】抽到的出场序号小于4的概率：故答案选D【题目点拨】本题考查了概率的计算，属于简单题.9、C【解题分析】

利用余弦定理求出，再利用余弦定理求得的值，即可判断三角形的形状.【题目详解】在中，，解得：；∵，∵，，∴是直角三角形.故选：C.【题目点拨】本题考查余弦定理的应用、三角形形状的判定，考查逻辑推理能力和运算求解能力.10、A【解题分析】

利用分离常数法得出不等式在上成立，根据函数在上的单调性，求出的取值范围【题目详解】关于的不等式在区间上有解在上有解即在上成立，设函数数，恒成立在上是单调减函数且的值域为要在上有解，则即的取值范围是故选【题目点拨】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据可能走的路径，将所给的正六棱柱展开，利用平面几何知识求解比较.【题目详解】将所给的正六棱柱下图(2)表面按图(1)展开.，，，故从A沿正侧面和上表面到D1的路程最短为故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了空间几何体展形图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.12、【解题分析】

曲线即圆曲线的上半部分，因为圆是单位圆，所以，，，，联立曲线与直线方程，消元后根据韦达定理与直线方程代入即可求解.【题目详解】由消去得，则，由三角函数的定义得故.【题目点拨】本题主要考查三角函数的定义，直线与圆的应用.此题关键在于曲线的识别与三角函数定义的应用.13、【解题分析】特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，，，则，.考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.14、【解题分析】试题分析：函数要使对恒成立，只要小于或等于的最小值即可，的最小值是0，即只需满足，解得.考点：恒成立问题.15、或【解题分析】

由圆心在直线x﹣3y＝0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，距离d，由圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．【题目详解】设圆心为（3t，t），半径为r＝|3t|，则圆心到直线y＝x的距离d|t|，而（）2＝r2﹣d2，9t2﹣2t2＝7，t＝±1，∴圆心是（3，1）或（-3，-1）故答案为或．【题目点拨】本题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．16、5【解题分析】

变形后利用基本不等式可得最小值．【题目详解】∵，∴4x-5>0,∴当且仅当时，取等号，即时，有最小值5【题目点拨】本题考查利用基本不等式求最值，凑出可利用基本不等式的形式是解决问题的关键，使用基本不等式时要注意“一正二定三相等”的法则．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）．【解题分析】

（1）先求出周期得，由最高点坐标可求得，然后由正弦函数的单调性得结论；（2）由直线与的图象交点的对称性可得．【题目详解】（1）由题意，∴，又，，，由得，∴，令得，∴单调减区间是，；（2）在含有三个周期，如图，的图象与在上有六个交点，前面两个交点关于直线对称，中间两个关于直线对称，最后两个关于直线对称，∴所求六个根的和为．【题目点拨】本题考查由三角函数的性质求解析式，考查函数的单调性，考查函数零点与方程根的分布问题．函数零点与方程根的分布问题可用数形结合思想，把方程的根转化为函数图象与直线交点的横坐标，再利用对称性求解．18、（Ⅰ）2，4；（Ⅱ）证明见解析，；（Ⅲ）证明见解析.【解题分析】

（Ⅰ）直接给n赋值求出，的值；（Ⅱ）利用项和公式化简，再利用定义法证明数列是等比数列，即得等比数列的通项公式；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，再利用等比数列求和证明不等式.【题目详解】（Ⅰ），令，得，，；令，得，即，，．证明：（Ⅱ），①，②②①得：，，，从而当时，，④③④得：，即，，．又由（Ⅰ）知，，，．数列是以2为首项，以为公比的等比数列，则.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，因为当时，，所以.于是.【题目点拨】本题主要考查等比数列性质的证明和通项的求法，考查等比数列求和和放缩法证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19、【解题分析】

根据方程解出或，利用三角函数的定义解出，再根据终边相同角的表示即可求出.【题目详解】由，得，所以或，所以或，所以的解集为：.【题目点拨】本题考查了三角方程的解法，终边相同角的表示，反三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题.20、（1）见解析；（2）见解析【解题分析】

(1)通过实际问题得到与的函数关系为分段函数，从而判断出程序框填的结果.(2)分类讨论时和时两种情形下的点Q坐标，从而得到答案.【题目详解】(1)当时，，当时，函数的解析式为，故程序框图中①②处的函数关系式分别是，(2)时，令，即，或，点的坐标为或时，令，即，或，点的坐标为或故点的坐标为【题目点拨】本题主要考查算法框图，三