第四章数值积分与数值微分

PAGEPAGE24第4章数值积分与数值微分§1数值积分的基本概念与基本方法一、问题的提出在数学分析中，计算定积分的基本方法是求的原函数，根据牛顿—莱布尼兹公式求出定积分的值。然而，在科学或工程计算中，可能遇到下述不能或不宜用牛顿—莱布尼兹公式求定积分的问题：（1）被积函数的原函数不能用初等函数表示如，或被积函数很复杂，求原函数困难.（2）问题中需要计算许多次被积函数或积分区间不同的定积分.（3）问题中被积函数的表达式是未知的，而只能通过测量或实验等方式得到一些离散点处的函数值。基于上述原因，需要研究数值积分方法。数值积分的近似公式其中仅依赖于节点而与无关。二、有关求积公式的几个概念1．代数精度由于性态良好的函数（高阶光滑）可以用多项式近似，因此，可以用求积公式对多项式的计算精度来衡量公式的质量。定义1如果某个求积公式对于次数不超过的多项式都能精确成立，但对于次多项式不精确成立，则称该求积公式具有次代数精度。代数精度高的求积公式，意味着在不考虑输入数据以及计算过程的舍入误差的情况下，可以得到高精度的计算结果。2．求积公式的收敛性定义2在求积公式中，若其中，则称求积公式是收敛的。3．求积公式的稳定性一个求积公式是数值稳定的，是指当输入数据的误差很小时，输出数据的误差也很小。三、插值型求积公式给定一组节点，设在这些节点处的函数值为已知。如果被积函数用插值多项式近似，即其中为Lagrange插值基函数。对上式两边积分，得求积公式式中。称上述求积公式为插值型公式。定理1具有个插值节点的插值型求积公式其中，为Lagrange插值基函数，至少具有次代数精度。下面的定理给出了插值型求积公式数值稳定的一个充分条件。定理2若插值型求积公式中系数，则此求积公式是数值稳定的。§2牛顿——科特斯公式一、科特斯（Cotes）系数将区间分为等分，步长，选取等距节点，构造插值型求积公式上述公式称为牛顿——科特斯公式，称为科特斯系数。科特斯系数满足（1）当时，上述公式称为梯形公式（2）当时，上述公式称为辛普森公式（3）当时，上述公式称为科特斯公式这里。当时，科特斯系数有正有负，计算不稳定，因此的牛顿—科特斯公式是不用的。从另一个角度看，由于高次插值多项式可能出现龙格现象，不能保证计算精度。那么，从代数精度的角度，应采用高次插值多项式，而从求积公式的数据稳定性的角度，应采用低次多项式插值，两者是否矛盾？事实上，代数精度是在不考虑计算过程的误差的情况下衡量求积公式的质量的，但计算过程中必然有误差，选择算法必须在满足精度的前提下考虑计算速度。三、几种低阶求积公式的余项1、梯形公式的余项注意到在上非正（保号），应用积分第二中值定理即得。2、辛普森公式的余项为了研究辛普森公式的余项，根据在三点处的函数值构造次数不超过3的多项式，使等于用辛普森公式计算出的函数的积分值（近似值）。为此，令，构造满足其中条件是为了使余项出现，满足保号条件。由于辛普森公式具有3次代数精度（偶数阶牛顿——科特斯公式），它对求积是精确的（这是构造的原因），即而，（是的二重根）故注意到在上不变号，由积分第二中值定理可得。3、科特斯公式的余项。§3复化求积公式上节已经指出高阶牛顿——科特斯公式是不稳定的，因此，不能通过提高插值函数的阶的方法提高求积精度。为了提高精度，用分段低次插值函数作为被积函数的近似函数，这样建立的求积公式称为复化求积公式。最常用的复化求积公式是复化梯形公式和复化辛普森公式。一、复化梯形公式将分成个长度相等的小区间，每个小区间的长度为，分点的坐标为，则在每个子区间上，用线性插值，得所以上述求积公式称为复化梯形公式。其余项为假设,则由介值定理，存在，使，从而。可以看出。2、复化辛普森公式将子区间二等分，记中点为，在子区间上使用二次插值，得余项为可以看出。此外，由于中求积系数均为正数，故复化辛普森公式是数值稳定的。为了用计算机实现方便，通常将分成等分，可以写出与上面类似的辛普森公式。§4隆贝格求积公式复化求积公式的两难：（1）步长取得太大，精度难以保证；（2）步长太小，则计算量太大，有时不必要。解决思路：采用变步长方法。即在步长逐步分半的过程中，反复使用复化求积公式，直到所得的积分值满足精度要求为止。一、梯形法的递推化将区间进行等分，设节点为，，则梯形法求积公式为再将每一个子区间二等分，记相应的中点为，则此时梯形法求积公式为于是有递推公式。注意：上述递推公式中不变。二、隆贝格算法梯形法较简单，但精度较差，收敛速度慢。下面考察梯形法、辛普森法和科特斯法，当步长减半时误差的变化情况。即，当减半时，梯形法、辛普森法和科特斯法的误差大致上分别减至原有误差的和。由上述讨论，可得移项整理可得说明当很小时，也很小。因此，实践中常给定计算精度，用作为停止计算的准则。进一步，由于可以期望，用计算积分值可能得到更好的结果。定理4梯形法二分后的两个积分值的线性组合等于辛普森法积分值，即.用同样方法，依据科特斯公式可导出隆贝格公式：在变步长过程中，应用上述公式，就能将粗糙的梯形公式逐步加工成精度较高的辛普森公式、科特斯公式和隆贝格公式。三、理查德外推法理查德外推法是一种用精度较低的近似公式组合成精度较高的近似公式的方法，在数值计算的许多问题中都有应用。将区间等分后，设子区间的长度为，用梯形法计算的积分值记为。定理5设，则有（1）其中，系数与无关。利用公式（1），可得（2）记，则（消去了项）（3）其中也与无关。由（3）得（4）记，则又可消去项，得如此进行下去，每加速一次，误差的量级便提高2阶。一般地，记，则有递推公式上述方法称为理查德外推加速法。以表示二分后的梯形值，