一元二次方程的解集及其根与系数的关系+第1课时 高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系新授课2.1等式第1课时1.掌握一元二次方程一般式解集的方法2.会用换元法解一元二次方程情境与问题：某校高三某毕业班的每一个同学都希望向全班其他同学赠送一张自己的照片，这样将互送出870张照片，你知道这个班共有多少名同学吗？设全班共有x名同学，则每个人要向别人送出x-1张照片，知识点：一元二次方程的解集x(x-1)=870能用分解因式法解这个方程吗？整理得x2-x-870=0

思考：形如ax2+bx+c=0的方程为一元二次方程，其中a,b,c是常数，且a≠0.那么，最简单的一元二次方程具有怎么样的形式？可以怎样得到这种方程的解集？

最简一元二次方程为x2=t，

其中t为常数.

如果一个方程可以化为这个形式，那么这个方程的解集是容易获得的.

例如，方程x2=3的解集为,方程x2=-2的解集为Ø.方程x2=0的解集为{0},

一般地，x2=t：(1)当t＞0时，解集为(2)当t=0时，解集为{0}；(3)当t＜0时，解集为Ø.

更进一步，形如(x-k)2=t(其中k,t是常数)的一元二次方程的解集也容易得到.因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为(x-k)2=t的形式，就可得到方程的解集.

例如，由(x-1)2=2可知x-1=

或x-1=,从而x=或x=,因此解集为.

一般地，(x-k)2=t：(1)当t＞0时，解集为(2)当t=0时，解集为{k}；(3)当t＜0时，解集为Ø.思考：怎样将x2+2x+3=0化为(x-k)2=t的形式？动手试试看，并写出这个方程的解集.利用配方法可得

x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2,因此，x2+2x+3=0可以化为(x+1)2=-2,从而可知解集为Ø.试一试：利用配方法求x2+bx+c=0的解集.因为x2+bx+c=x2+bx++c,原方程可以变形为，(1)当b2－4c＞0时，解集为(3)当b2－4c＜0时，解集为Ø.(2)当b2－4c=0时，解集为；事实上，利用配方法，总是可以将ax2+bx+c=0(a≠0)化为(x-k)2=t的形式，过程如下：因为a≠0,所以因此ax2+bx+c=0可以化为

ax2+bx+c=

从而可知，∆=b2-4ac的符号情况决定了上述方程的解集情况:(1)当∆=b2-4ac>0时，方程的解集为一般地，∆=b2-4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式.(2)当∆=b2-4ac=0时，方程的解集为(3)当∆=b2-4ac＜0时，方程的解集为Ø.由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定.

例1

求方程的解集.分析：这不是一个一元二次方程，但是通过把看成一个整体就可以转化为一个一元二次方程.解：设，则y≥0，且原方程可变为因此可知或(舍).从而即所以原方程的解集为

解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法一般称为换元法.归纳总结

使用时换元法，最好写出新变量的取值范围，以免出现增根.(1)x4-x2-2=0；(2)

练一练解：(1)设x2=y，则y≥0，且原方程可变为y2-y-2=0，求下列方程的解集：因此可知y=2或y=(舍),从而x2=2，即或所以原方程的解集为(2)设x2=y，则y＞0，且原方程可变为y2-2y-3=0，因此可