不等式及其性质+第1课时 高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

2.2.1不等式及其性质新授课2.2

不等式第1课时1.掌握不等式5个性质与2个推论2.掌握作差法、综合法证明不等式情境与问题：

某品牌酸奶的质量规定，酸奶中脂肪的含量f应不小于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，这可以用不等式表示为______________________.若f≥2.5%且p≥2.3%在不等式符号中，要特别注意“≥”“≤”．事实上，住意给定两个实数a，b，那么a≥b⇔a＞b或a＝b；知识点1：不等式的性质思考：5≥3，2≥2，2≤2这三个命题都是真命题吗？

不等式是刻画不等关系的工具，我们用数学符号“≠”“＞”“＜”

“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．a≤b⇔a＜b或a=b.

怎样理解两个实数之间的大小呢？设点P对应的数为x,则称x为点P的坐标，并记作P(x).

由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系.

如图，A(a)在B(b)的左边时，a＜b；A(a)在B(b)的右边时，a＞b．

要比较两个实数关a，b的大小，只要考察a-b与0的相对大小就可以了，即性质1如果a>b，那么a+c>b+c.性质2如果a>b，c>0，那么ac>bc.性质3如果a>b，c<0，那么ac<bc.思考：初中学过的不等式有哪些性质？利用前面的知识，给出性质1的直观理解以及这三个性质的证明.性质1：因为

(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b，且a＞b，点A和B'的相对位置保持不变因此

a+c>b+c.所以a-b＞0，从而

(a+c)-(b+c)＞0；性质2：因为ac－bc＝（a－b）c，又因为a＞b，所以a－b＞0，而c＞0，因此（a－b）c＞0，因此ac－bc＞0，即ac＞bc．性质3：因为ac－bc＝（a－b）c，又因为a＞b，所以a－b＞0，而c＜0，因此（a－b）c＜0，因此ac－bc＜0，即ac＜bc．（1）a＞b是a＋c＞b＋c的_______条件；思考：你会用充分条件、必要条件来描述不等式的性质吗？试用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空：（2）如果c＞0，则a＞b是ac＞bc的_______条件；（3）如果c＜0，则a＞b是ac＜bc的_______条件．充要充要充要性质4如果a＞b,b＞c,那么a＞c(传递性)在不等式的证明与求解中，还经常用到以下不等式的性质：证明：因为a－c＝(a－b)+(b－c)，又因为a＞b，所以a－b＞0；且b＞c，所以b－c＞0，因此(a－b)+(b－c)＞0，从而a－c＞0，即a＞c．性质5如果a＞b⇔b＜a

(对称性)

不等式性质对任意满足条件的实数都成立，因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母．推论1

如果a＋b＞c，那么a＞c－b．利用不等式的性质，还可以得到关于不等式的推论.知识点2：不等式的推论证明

a＋b＞c⇒a＋b＋（－b）＞c＋（－b）⇒a＞c－b．推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．推论1通常称为不等式的移项法则．推论2

如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d．证明根据性质1有a＞b⇒a＋c＞b＋c，c＞d

⇒b＋c＞b＋d，再根据性质4可知a＋c＞b＋d．有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向.例1

比较x2－x和x－2的大小.解：因为（x2－x）－（x－2）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，又因为（x－1）2≥0，所以（x－1）2＋1≥1＞0，从而（x2－x）－（x－2）＞0，因此x2－x＞x－2．归纳总结通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法．（1）作差：对要比较大小的两个代数式作差．（2）变形：对差进行变形（因式分解或者配方等）．（3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．（4）作出结论．作差法的步骤：已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．练一练解：（a3＋b3）－（a2b＋ab2）＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2（a－b）－b2（a－b）＝（a－b）（a2－b2）＝（a－b）2（a＋b）．∵a＞0，b＞0，且a≠b，∴（a－b）2＞0，a＋b＞0．∴（a3＋b3）－（a2b＋ab2）＞0，即a3＋b3＞a2b＋ab2．例2

（1）已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d；（2）已知a＞b，ab＞0，求证：证明：（1）因为a＞b，c＜d，所以a＞b，－c＞－d，根据推论2，得a－c＞b－d．（2）因为ab＞0，所以

＞0，又因为a＞b，所以a·

＞b·

，即

，因此

．不等式两侧同号取倒数，不等式方向改变.归纳总结

从已知条件出发，综